Материал: Введение в математическое моделирование технологического оборудования. курс лекций. Новокщенов С.Л., Бойко А.Ю

Для каждого показателя определяется множество значений (уровней, или градаций меры свойства), которые присваиваются ему в результате оценивания свойства. Следовательно, свойство объекта является реальностью, а показатель - субъективной мерой этой реальности, если, конечно, речь идет о реальных объектах.

Показатели всеобщих свойств материальных объектов, таких как пространство и время называются основными показателями. Подавляющее большинство показателей других свойств выражаются через показатели этих основных свойств. Поэтому единицы измерения основных показателей служат основой для построения стандартной системы единиц измерения физических величин и называются основными единицами измерения.

Выражение показателя некоторого свойства через основные единицы измерения, принятые в определенной стандартной системе единиц (мер), называется размерностью данного показателя. С точки зрения субъекта свойства делятся на внутренние (собственные) свойства объектов, показатели этих свойств называются параметрами, и внешние, представляющие собой свойства среды, связанные некоторыми отношениями с параметрами данного объекта. Показатели свойств внешней среды, влияющих на параметры исследуемого объекта, называются факторами. Свойства объектов выявляются только при их взаимодействии, или при сопоставлении объектов друг с другом. Сопоставление (комбинация) значений показателей, наблюдаемых свойств определенных объектов называется отношением.

Говорят, что отношение истинно, если оно подтверждается практическим экспериментом, или логическим выводом. Отношение считается ложным, если оно опровергается практической проверкой, или логическим выводом. Иначе отношение считается неопределенным. Понятия истинно, ложно, неопределенно являются логическими значениями любого отношения, результатами субъективной его оценки.

Отношение называется функциональным (функцией F), если оно представляет собой однозначное отображение множества X значений показателя некоторого свойства в множество Y значений показателя того же, или иного свойства. Формально это записывают как F:= X -> Y, или как F(X)=Y, или F I X ? Y, где “? ” декартово произведение множеств. Взаимодействие объектов определяется по результатам изменения значений показателей наблюдаемых свойств этих объектов.

Поэтому каждому действию, или взаимодействию, мы присваиваем определенный результат. Это может быть значение, или определенная комбинация значений, показателей свойств взаимодействующих объектов. Действия над значениями показателей свойств объектов, выполняемые по определенным правилам и приводящие к предполагаемому результату, называются операцией или процедурой.

Значения показателей свойств объектов обозначаются символами из некоторого заранее определенного множества А, называемого алфавитом. Множество объектов, взаимосвязанных между собой определенными отношениями, и выполняющих определенную общую для них целевую функцию или имеющих общее предназначение, называется системой. Система, состоящая из алфавита А, строго определенных множеств отношений (G), операций (Q) и предназначенная для символического описания объектов и систем определенного класса, называется формальной системой. Такие системы используются в качестве языков математического моделирования.

Так как все свойства объектов изменяются во времени, то любой набор значений показателей этих свойств относится к определенному значению показателя времени (к моменту времени). Это отношение называется состоянием объекта. Из вышесказанного становится очевидным, что математическое моделирование, прежде всего, предполагает использование абстрагирования и идеализации.

Отображая существенные (с точки зрения цели исследования) свойства оригинала и отвлекаясь от несущественного, модель выступает как специфическая форма реализации абстракции, т. е. как некоторый абстрактный идеализированный объект. При этом учитывая характер и уровень абстракции и идеализации весь процесс в большой степени зависит от качества переноса знаний с оригинала на модель.

В частности, существенное значение имеет выделение трех уровней абстракции, на которых может осуществляться моделирование: уровня потенциальной осуществимости (когда упомянутый перенос предполагает отвлечение от ограниченности познавательно-практической деятельности человека в пространстве и времени), уровня "реальной" осуществимости (когда этот перенос рассматривается как реально осуществимый процесс, хотя, быть может, лишь в некоторый будущий период человеческой практики) и уровня практической целесообразности (когда этот перенос не только осуществим, но и желателен для достижения некоторых конкретных познавательных или практических задач).

Математические модели реальных исследуемых процессов, происходящих во время работы кузнечно-прессового оборудования, довольно сложны и включают системы нелинейных функционально-дифференциальных уравнений. Ядро математической модели составляют уравнения с частными производными. В наиболее общем случае под математической моделью понимают функциональную зависимость

, (1.2)

которая адекватно описывает поведение объекта в интересующей области изменения факторов. В общем случае геометрическая интерпретация математической модели (1.2) имеет вид некоей линии в двухмерной системе координат; поверхности - в трехмерной системе координат и т.д.

Подытожив вышесказанное, можно сделать вывод, что моделирование - не только одно из средств отображения явлений и процессов реального мира, но и объективный практический критерий проверки истинности наших знаний, осуществляемой непосредственно или с помощью установления их отношения к другой теории, выступающей в качестве модели, адекватность которой считается практически обоснованной.

После введения понятия “математическая модель” следует подчеркнуть, что единая классификация видов математического моделирования затруднительна в силу многозначности понятия "модель" в науке и технике. Ее можно проводить по различным основаниям: по характеру моделей; по характеру моделируемых объектов; по сферам приложения модели (модель в технике, в физических науках, в химии, модель процессов живого, психики и т. п.) и его уровням ("глубине"), начиная, например, с выделения в физике моделей на микроуровне.

В связи с этим любая классификация методов моделирования обречена на неполноту, тем более, что терминология в этой области опирается не столько на "строгие" правила, сколько на языковые, научные и практические традиции, а еще чаще определяется в рамках конкретного контекста и вне его никакого стандартного значения не имеет (типичный пример - термин "кибернетическое" моделирование). Применение ЭВМ для решения подобных задач позволяет значительно повысить эффективность научных исследований, позволяет проводить моделирование сложных объектов и явлений.

Применительно к проблемам, возникающим при проектировании кузнечно-прессовых машин, эту задачу решают с помощью составления математических моделей объекта с учетом наложенных функциональных ограничений. Математическое моделирование в этом случае должно включать в себя следующие шаги:

- выбор расчетной схемы и определение необходимой детализации;

- математическое описание (составление системы уравнений);

- выбор метода решения;

- приведение модели (включающей уравнения, метод, исходные данные и начальные условия) к виду, удобному для решения на ЭВМ;

- составление программы для ЭВМ;

- проведение расчетов (моделирование);

- при необходимости повторить шаги 3 - 6;

- анализ результатов;

- при необходимости повторить шаги 1 - 8;

- оформление отчета (описание, схемы, рисунки, графики, формулы);

- при необходимости повторить шаги 1 - 10, 3 - 10, 8 - 10.

При проектировании разнообразных машин и механизмов используют методы математического моделирования. Здесь аналитическими методами решают две основные задачи - анализа и синтеза. В инженерной практике анализ и синтез проводят в несколько этапов:

- изучение явлений, процессов и принципов действия машины и взаимодействия ее компонентов или звеньев, в результате которого должны быть установлены качественные соотношения постоянных и переменных величин, определяющие изучаемый объект.

- составление физической модели. При этом под физической моделью понимают схему нагружения конструкции, электрическую схему, кинематическую и т.п., отображающую переменные и постоянные параметры конструкции, устройства и процессов, подлежащих изучению.

- составление математической модели.

Для количественного описания свойств объектов в модели используются специальные величины, которые называются параметрами. Параметр - величина, количественно характеризующая свойства объекта.

Выходные параметры - группа величин, которая характеризует результаты функционирования моделируемого объекта.

Внешние параметры характеризуют воздействие на объект извне. Особенность входных параметров в том, что их нельзя менять. Они не зависят от проектировщика и заданы Технической Задачей.

Внутренние параметры - группа величин, характеризующих свойства объекта. Внутренние параметры можно изменять. Они в распоряжении проектировщика. Второе название внутренних параметров - проектные. Проектирование - определение внутренних параметров.

Кроме этого математические модели характеризуются:

- степенью подобия моделируемому объекту;

- используемым математическим аппаратом (формой представления модели).

Для оценки выбранного варианта используют критерии качества, вычисляемые с использованием методов и программ для заданных параметров объекта. Каждый такой расчет условно называют испытанием. Целью испытаний является получение таблицы испытаний, в которых критерии качества выстраиваются в порядке убывания, т.е. первой стоит лучшая модель по данному критерию. Так как каждой модели соответствует определенный “набор” параметров, зашифрованный в номере испытаний, то из таблиц испытаний видно, что нужно сделать, чтобы получить наилучшую машину по тому, или иному критерию.

При проектировании кузнечно-прессовых машин наибольшее применение нашли функциональные математические модели, отражающие процессы, протекающие в объекте при его функционировании. Типичными функциональными моделями при этом являются дифференциальные уравнения в частных производных с заданными краевыми условиями или обыкновенные дифференциальные уравнения.

Основой функционального проектирования является одновариантный анализ объектов проектирования - определение выходных параметров объекта при заданных значениях внутренних и внешних параметров. Большинство задач одновариантного анализа сводится к решению систем обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ), а также систем нелинейных и линейных алгебраических уравнений. В связи с этим эффективность автоматизации функционального проектирования будет в значительной степени определяться эффективностью методов и алгоритмов для числового решения этих систем.

Применительно к кузнечно-прессовому машиностроению можно сказать, что задачи одновариантного анализа встречаются при составлении математических моделей, описывающие динамические свойства механических прессов или их узлов и представляют собой систему дифференциальных уравнений. При этом математическая модель может быть получена в нормальной форме Коши, либо в неявной форме ОДУ. Успешное решение задач одновариантного анализа создает предпосылки для постановки и решения задач многовариантного анализа, т.е. для исследования поведения объекта проектирования при изменении его внутренних и внешних параметров. Основными задачами многовариантного анализа являются анализ чувствительности и статистический анализ. Решение этих задач показывает, в какой степени отдельные внутренние и внешние параметры объекта влияют на его выходные параметры.

1.2. Математическое обеспечение автоматизированного проектирования

Математическим обеспечением САПР называют совокупность математических методов, моделей и алгоритмов, необходимых для выполнения автоматизированного проектирования и представленных в заданной форме.

Математическое обеспечение автоматизированного проектирования включает в себя математические модели объектов, методы и алгоритмы выполнения проектных процедур. Под математической моделью при автоматизированном проектировании понимают систему математических объектов (чисел, переменных, матриц, множеств и т.п.) и отношений между ними, отражающих свойства технического объекта, существенные для проектирования.

Основой математического обеспечения автоматизированного проектирования стали методы вычислительной математики. Однако при проектировании сложных технических объектов, в которых происходит различные физические процессы, математическая постановка задачи для большинства проектных процедур неочевидна, а их последующая алгоритмизация существующими математическими моделями зачастую оказывается неудовлетворительна. Поэтому значительное влияние на полученные результаты оказывает формализация задач, выбор и разработка математических моделей, а также выбор методов и алгоритмов выполнения проектных процедур.

Для объектов современной техники, например, таких как механические прессы, работающих в динамических режимах, следует учитывать пространственную устойчивость и нелинейные резонансные колебания узлов, а так же взаимодействие нелинейных, параметрических и автопараметрических систем с источниками энергии ограниченной мощности. Обобщенный метод постановки и решения задач для описанной задачи проектирования с использованием ЭВМ позволяет решить следующие задачи:

- учесть столько критериев качества, сколько необходимо для полного исследования функционирования машин и конструкций (с позиций различных противоречивых критериев, таких, как устойчивость, виброактивность, прочность, надежность, металлоемкость, КПД, динамическая нагруженность, технологическая эффективность, экономичность, степень защиты среды от вибрации и шумов и т.п.);

- определить допустимое множество решений;

- обнаружить несущественные критерии, значения которых мало меняются;

- выявить зависимые, или, наоборот, противоречивые критерии;

- определять несущественные по отношению к какому-либо критерию параметры;

- сформировать интегральные критерии и определить на допустимом множестве решений оптимальные параметры проектируемых машин и конструкций.

Изучение поведения элементов пресса, физических или информационных процессов, происходящих при его работе, выполняют с помощью составления функциональных математических моделей объекта проектирования. Обычно функциональные математические модели представляют собой системы уравнений, связывающие фазовые переменные, внутренние, внешние и выходные параметры. В общем случае процедура получения математических моделей конструктивных элементов включает в себя следующие операции:

- выбор свойств объекта, которые подлежат отражению в модели;

- сбор исходной информации о выбранных свойствах объекта;

- синтез структуры математической модели. Структура математической модели - общий вид математических отношений модели без конкретизации числовых значений, фигурирующих в них параметров;

- расчет числовых значений параметров математической модели;

- оценка точности и адекватности математической модели.

1.3. Общие принципы построения программного обеспечения математического моделирования технических систем

Развитие средств вычислительной техники, увеличение быстродействия ЭВМ, появление математического обеспечения ЭВМ и устройств, позволяющих автоматизировать не только расчетные, но и графические работы (системы машинной графики), осуществлять общение проектировщика с ЭВМ в "интерактивном" (диалогоориентированном, т.е. приближенном по форме к общению человека с человеком) режиме работы, обеспечило возможность автоматизации значительного объема проектно-конструкторских работ, привело к созданию различных систем автоматизированного проектирования (САПР), позволяющих с различной степенью детализации моделировать процесс проектирования. Основу САПР составляют математические модели деталей и процессов, которые на микроуровне отражают физические процессы, протекающие в сплошных средах и непрерывном времени. Как правило, такие модели не допускают аналитическое решение. Поэтому в САПР используются различные численные схемы решения моделей микроуровня.

Для получения законченной математической модели необходимо дополнительно выполнить ряд процедур:

1. дискретизировать задачу. Дискретизация подразумевает разделение рассматриваемых пространственных и временных областей на конечное число элементарных участков с представление фазовых переменных конечным числом значений в избранных узловых точках, принадлежащих элементарным участкам;

2. алгебраизировать задачу - аппроксимировать дифференциальные и интегральные уравнения алгебраическими.

При дискретизации и алгебраизации краевых задач применяют три основных подхода:

1. метод конечных разностей (МКР);

2. метод конечных элементов (МКЭ, Finite Element Method);

3. метод граничных элементов (МГЭ, Boundary Element Method).

С помощью этих методов формируется окончательная модель, исследуемая при выполнении различных процедур анализа проектируемого объекта. Основным отличием этих методов является способ дискретизации и алгебраизации задачи. При создании САПР целесообразно использовать следующие основные принципы:

1) блочно-модульный;

2) иерархии;

3) адаптации и развития;

4) информационного единства;

5) итерации.

Блочно-модульный принцип построения состоит в том, что система создается из отдельных самостоятельных блоков и модулей. Блоком системы проектирования называют ее часть, имеющую функциональную определенность (например, блок ограничений, блок управления и т.д.).

Модули – наименьшие структурные элементы блока (модуль определения контактных напряжений, расчета вращающего момента и т.п.). Принцип иерархии моделей состоит в том, что каждая математическая модель включается как составная часть в модель более высокого класса. Математическая модель детали входит в модель сборочной единицы, которая, в свою очередь, включается в модель изделия.

Таким образом, принцип иерархии отображает соотношения «старшинства», имеющиеся в любой сложной технической системе. Принцип адаптации и развития требует, чтобы система автоматизированного проектирования была согласованной со сложившейся практикой проектирования. Действующие методы расчета и проектирования, их программное обеспечение должны стать основой при разработке упрощенных и уточненных моделей.

Принцип информационного единства означает, что все потоки информации в системе должны быть совместимыми. Программирование должно осуществляться на одном из универсальных языков. Термины, условные обозначения, размерности физических величин должны быть одинаковыми во всех системах.

По принципу итерации система автоматизированного проектирования работает итеративно, т.е. путем последовательных приближений, постепенно уточняя и конкретизируя результаты. Первые циклы процесса автоматизированного проектирования выполняются, как правило, только для упрощенных моделей. Уточненные модели используются при разработке проекта на стадиях технического задания и проектирования (когда выбран основной вариант конструкции).

Высокая вероятность воспроизведения процессов, протекающих в технических объектах, может иметь место лишь при адекватности модели объекту, т.е. при отображении моделью основных его свойств. Такое отражение является главным требованием к моделям.

Далее рассмотрим, что представляет собой САПР механических прессов с программной точки зрения.

Программные средства для моделирования работы кривошипных прессов и других технических систем включает операционную систему, специальное программное обеспечение и прикладное программное обеспечение, в виде библиотеки моделей типовых элементов кривошипных прессов и подпрограмм расчета выходных параметров.

Основные функции специального программного обеспечения заключаются в синтезе математических моделей объекта и расчета процесса. Исходными данными здесь являются описания объекта и задания на анализ, написанные соответственно на языке описания объекта (ЯОО) и языке описания задания (ЯОЗ). ЯОО. Описание объекта содержит топологию и значения параметров его элементов. Все предложения и операторы записывают в строки, начиная с первой позиции. Строки, содержащие в первой позиции пробел, воспринимаются, как правило, как комментарий и игнорируются при обработке. Описание объекта начинается с заголовка