Материал: Введение в математическое моделирование технологического оборудования. курс лекций. Новокщенов С.Л., Бойко А.Ю

Лекция №3 Иерархия математических моделей и формы их представления

Теоретические вопросы:

3.1. Иерархия математических моделей

3.2. Структурные и функциональные модели

3.3. Теоретические и эмпирические модели

3.1. Иерархия математических моделей

При математическом моделировании достаточно сложного технического объекта (ТО), такого, например, как механический пресс, описать его поведение одной математической моделью, как правило, не удается, а если такая модель и была построена, то она оказалась бы слишком сложной для выполнения количественного анализа. Поэтому к таким ТО применяют принцип декомпозиции. Он заключается в условном разбиении ТО на отдельные более простые блоки и элементы, допускающие их независимое исследование с последующим учетом взаимного влияния блоков и элементов друг на друга. В свою очередь, принцип декомпозиции можно применять и к каждому выделенному блоку вплоть до уровня достаточно простых элементов.

В таком случае возникает иерархия математических моделей, связанных между собой блоков и элементов. Иерархические уровни выделяют и для отдельных типов ММ. Так, например, среди функциональных математических моделей иерархические уровни отражают степень детализации описания процессов, протекающих в ТО, его блоках или элементах.

С этой точки зрения обычно выделяют три основных уровня: микро-, макро- и метауровень. Математические модели микроуровня описывают процессы в системах с распределенными параметрами (в континуальных системах), а математические модели макроуровня – в системах с сосредоточенными параметрами (в дискретных системах). Если математическая модель образована лишь описанием взаимных связей между укрупненными элементами, то такая модель относится к математическим моделям метауровня. Таким образом, математическая модель обычно относят к высшему уровню иерархии, математическая модель макроуровня – к среднему, а математическая модель микроуровня – к низшему.

3.2. Структурные и функциональные модели

Различные особенности и признаки математических моделей лежат в основе дальнейшей их типизации (или классификации). Среди таких признаков выделяют характер отображаемых свойств технического объекта, степень их детализации, способы получения и представления математической модели. Один из существенных признаков классификации связан с отражением в математической модели тех или иных особенностей проектируемого технического объекта.

Так, если математические модели отображают устройство ТО и связи между составляющими его элементами, то ее называют структурной математической моделью.

Если же математическая модель отражает физические, механические, химические или информационные процессы, то ее относят к функциональным математическим моделям.

Существуют так же и комбинированные математические модели, которые описывают как функционирование, так и устройство ТО. Такие математические модели называют структурно-функциональными математическими моделями. Структурные математические модели в свою очередь делят на топологические и геометрические, составляющие два уровня иерархии математических моделей этого типа. Первые отображают состав проектируемого технического объекта и связи между его элементами. Геометрическая математическая модель дополнительно к информации, представленной в топологической математической модели, содержит сведения о форме и размерах ТО и его элементах, об их взаимном расположении.

Функциональные математические модели состоят из соотношений, связывающих между собой фазовые переменные, т.е. внутренние, внешние и выходные параметры проектируемого технического объекта. Функционирование сложных технических объектов нередко удается описать лишь при помощи совокупности его реакций не некоторые неизвестные (или заданные) входные воздействия (сигналы). Такую разновидность функциональной математической модели относят к типу черного ящика и обычно называют имитационной математической моделью, имея ввиду то, что она лишь имитирует внешние проявления функционирования ТО, не раскрывая и не описывая существа протекающих в нем процессов. Имитационные математические модели широкое применение находят при изучении функционирования и принципов построения систем управления сложными техническими объектами. По форме представления имитационная математическая модель является примером алгоритмической математической модели, поскольку связь в ней между внешними и выходными параметрами технического объекта удается описать лишь в форме алгоритма, пригодного для реализации в виде ЭВМ-программы.

Если связи между параметрами технического объекта можно выразить в аналитической форме, то говорят об аналитических математических моделях. При этом одной из характерных особенностей функциональной математической модели является наличие или отсутствие среди ее параметров случайных величин. При наличии таких величин математическую модель называют стохастической, а при их отсутствии – детерминированной.

Для анализа стохастической математической модели используют методы теории вероятностей, случайных процессов и математической статистики. Однако основной трудностью применения таких методов при проектировании сложных технических объектов является то, что вероятностные характеристики случайных величин часто оказываются неизвестными или известными с невысокой степенью точности.

Так же наиболее существенными признаком классификации является их возможность описывать изменение параметров проектируемого технического объекта во времени. Если при этом в математической модели отражено влияние лишь инерционных свойств, то ее обычно называют динамической. В противоположность этому математическая модель, которая не учитывает изменение во времени параметров технического объекта, называют статической. Если изменение параметров технического объекта происходит столь медленно, что в рассматриваемый фиксированный момент времени этим изменением можно пренебречь, то говорят о квазистатической математической модели. Стационарные математические модели описывают технические объекты, в которых протекают так называемые установившиеся процессы, т.е. процессы, в которых интересующие нас выходные параметры постоянны во времени. К установившимся относят и периодические процессы, в которых некоторые выходные параметры остаются неизменными, а остальные претерпевают колебания.

Если интересующие выходные параметры технического объекта изменяются медленно и в рассматриваемый фиксированный момент времени таким изменением можно пренебречь, то говорят о квазистационарной математической модели. С точки зрения последующего анализа важным свойством математической модели является ее линейность. В линейной математической модели технического объекта его параметры связаны линейными соотношениями. Это означает, что при изменении какого-либо внешнего (или внутреннего) параметра технического объекта линейная математическая модель предсказывает линейное изменение зависящего от него выходного параметра, а при изменении двух или более параметров – сложение их влияний, т.е. такая математическая модель, обладает свойством суперпозиции. Но большинство процессов, протекающих в технических объектов являются нелинейными в связи с чем для количественного анализа нелинейных математических моделей используют методы вычислительной математики, для чего ее обычно линеаризуют, т.е. нелинейные соотношения между параметрами заменяют приближенными линейными и получают так называемую линеаризованную математическую модель проектируемого технического объекта. Помимо этого каждый параметр технического объекта может быть двух типов – непрерывно изменяющимся в некотором промежутке своих значений или принимающим только некоторые дискретные значения.

Возможна и промежуточная ситуация, когда в одной области параметр принимает все возможные значения, а в другой – только дискретные. В связи с этим выделяют непрерывные, дискретные и смешанные математические модели. В процессе анализа математическая модель этих типов могут быть преобразованы одна в другую, но при таком преобразовании следует контролировать выполнение требования адекватности математической модели проектируемому техническому объекту.

3.3. Теоретические и эмпирические модели

По способу получения математические модели делят на теоретические и эмпирические. Первые получают в результате изучения свойств технического объекта и протекающих в нем процессов, а вторые являются итогом обработки результатов наблюдения внешних проявлений этих свойств и процессов. Один из способов построения эмпирических моделей заключается в проведении экспериментальных исследований, связанных с измерением фазовых переменных проектируемого технического объекта и последующим обобщении результатов этих измерений в алгоритмической форме или в виде аналитической математической модели. Таким образом, построение эмпирической математической модели сводится к решению задач идентификации. При построении теоретических математических моделей, прежде всего, стремятся использовать известные фундаментальные законы сохранения таких субстанций, как масса, электрический заряд, энергия, количество движения и момент количества движения. Кроме того, привлекают определяющие соотношения (называемые также уравнениями состояниями), в роли которых могут выступать так называемые феноменологические законы. Сочетание теоретических соображений качественного характера с обработкой результатов наблюдения внешних проявлений свойств изучаемого технического объекта приводит к смешанному типу математических моделей, называемых полуэмпирическими. При построении таких моделей используют основные положения теории размерностей.

Вопросы для самоподготовки:

1. Приведите классификацию математических моделей?

2. Для чего предназначены структурные и функциональные математические модели?

3. Для чего предназначены теоретические и эмпирические математические модели?

Лекция №4 Подобие физических явлений

Теоретические вопросы:

4.1. Расчетные схемы технологического оборудования

4.2. Подобие физических явлений

4.3. Теоретические основы моделирования

4.1. Расчетные схемы технологического оборудования

Для дальнейшего обсуждения и обоснования подходов к решению проблем проектирования средствами математического моделирования технических устройств и процессов, происходящих в них, представляется целесообразным предварительно рассмотреть условную схему, показанную на рис. 1.

Данная схема определяет последовательность проведения отдельных этапов общей процедуры вычислительного эксперимента. Исходной позицией служит технический объект (ТО), под которым будем понимать конкретное техническое устройство, его агрегат или узел. На первом этапе осуществляют неформальный переход от рассматриваемого (разрабатываемого) ТО к его расчетной схеме (РС). При этом в зависимости от направленности вычислительного эксперимента и его конечной цели акцентируют те свойства, условия работы и особенности ТО, которые вместе с характеризующими их параметрами должны найти отражение в РС, и, наоборот, аргументируют допущения и упрощения, позволяющие не учитывать в РС те качества ТО, влияние которых предполагают в рассматриваемом случае несущественным.

Иногда вместо РС используют термин содержательная модель ТО, а в некоторых случаях – концептуальная модель.

Содержание второго этапа состоит, по существу, в формальном, математическом описании РС. Это описание выполняется в виде математических соотношений, устанавливающих связь между параметрами, характеризующими РС ТО, и называют математической моделью.

На третьем этапе проводят качественный и оценочный анализ построенной ММ. При этом могут быть выявлены противоречия, ликвидация которых потребует уточнения или пересмотра РС. Количественные оценки могут дать основания для упрощения модели путем исключения из рассмотрения некоторых параметров, соотношений или их отдельных составляющих, несмотря на то, что влияние описываемых ими факторами учтено в РС. Итогом анализа на рассматриваемом этапе является обоснованный выбор рабочей ММ ТО, которая подлежит в дальнейшем детальному количественному анализу.

Рис. 1. Основные этапы математического моделирования

Четвертый этап состоит в обоснованном выборе метода количественного анализа ММ, в разработке эффективного алгоритма вычислительного эксперимента, а пятый этап – в создании работоспособной программы, реализующей этот алгоритм средствами вычислительной техники. Получаемые на шестом этапе (в итоге работы программы) результаты вычислений должны прежде всего пройти тестирование путем сопоставления с данными количественного анализа упрощенного варианта ММ рассматриваемого ТО.

4.2. Подобие физических явлений

Подобие есть определенное отношение между значениями показателей свойств различных объектов, наблюдаемое и измеряемое исследователем в процессе познания. Под подобием понимается такое взаимно однозначное соответствие (отношение) между свойствами объектов, при котором существует функция или правило приведения значений показателей данных свойств одного объекта к значениям тех же показателей другого объекта. Подобие физических явлений и процессов является логическим обобщением понятия геометрического подобия на более сложные объекты, поэтому естественно начать изучение механического подобия с этого простейшего случая:

Два геометрических объекта подобны, если один из них может быть размещен внутри другого таким образом, чтобы в результате равномерной деформации они полностью совпали бы.

Объекты, удовлетворяющие данному определению, не только геометрически подобны, но также сходственно расположены. Естественным обобщением понятия геометрического подобия на сложные процессы, происходящие в природе, является физическое и, в частности, механическое подобие явлений:

Два физических явления подобны, если по численным значениям характеристик одного явления можно получить значения сходственных характеристик другого простым пересчетом, аналогичным переходу от одной системы единиц измерения к другой.

Необходимым и достаточным признаком физического подобия двух явлений является равенство численных значений независимых безразмерных комбинаций для рассматриваемых систем. Условия постоянства независимых безразмерных комбинаций двух подобных систем называются критериями подобия. В зависимости от полноты учета параметров различают:

1. абсолютное (теоретическое) подобие, которое предполагает пропорциональное соответствие значений всех параметров данных объектов,

2. практическое подобие - определенное функциональное взаимно однозначное соответствие параметров и показателей определенного подмножества свойств, существенных для данного исследования;

3. практическое полное подобие - соответствие показателей и параметров выделенных свойств во времени и пространстве;

4. практически не полное подобие - соответствие параметров и выделенных свойств показателей только во времени, или только в пространстве;

5. практическое приближенное подобие - соответствие выделенных параметров и показателей с определенными допущениями и приближениями.

По адекватности природы объектов различают:

1. физическое подобие, предполагающее адекватность физической природы объектов (частными случаями физического подобия являются механическое, электрическое и химическое подобия объектов);

2. математическое подобие, предполагающее адекватность формального описания свойств объектов (частными случаями математического подобия являются статистическое, алгоритмическое, структурное и графическое подобие показателей свойств объектов).

По мере развития науки о моделировании, подобие приобретает все более широкое содержание. Возникли особые виды подобия:

1. квазиподобие, основанное на использовании переменных масштабных коэффициентов;

2. эквивалентное подобие, основанное на сравнении эквивалентных в том или ином смысле описаний, например на взаимно однозначном соответствии функций на некотором интервале;

3. алгоритмическое подобие, основанное на сопоставлении выполняемых алгоритмов;

4. кибернетическое подобие, основанное на подобии функций управления, реализуемых различными объектами.

Но, несмотря на различие физических процессов, протекающих в типовых элементах разнообразных технических объектов, большинство этих элементов удается объединить в три группы, каждую из которых удобно охарактеризовать на примере так называемых пассивных электрических двухполюсников: резистора, конденсатора без потерь заряда и индуктивной катушки без сопротивления. Резистор в этом случае является характерным представителем типового элемента, обладающего свойством оказывать сопротивление переносу некоторой физической субстанции. Это свойство пассивных электрических двухполюсников можно вывести из сопоставления процесса изменения напряжения u_c в контуре электрической цепи, состоящей из активного сопротивления R, емкости C, индуктивности L, источника напряжения E и выключателя K, которое описывается такими же дифференциальными уравнениями, как и процесс колебания груза, подвешенного на пружине, под воздействием силы тяжести и некоторого импульса. Однако, параметры уравнений, описывающих эти два процесса, будут иметь различную размерность. Но коэффициенты подобия безразмерны и будут иметь одинаковые численные значения. Это математическое подобие позволяет изучать механические колебания на электрических моделях и наоборот. Таким образом, говоря о математическом подобии двух объектов, мы всегда имеем в виду подобие, вернее тождественность, математических описаний однородных свойств данных объектов. Аналогию между математическими моделями типовых элементов механических систем и электрических двухполюсников называют электромеханической. Она нашла широкое применение при построении математических моделей сложных механических систем, состоящих из большого числа взаимодействующих между собой элементов.