Материал: Введение в математическое моделирование технологического оборудования. курс лекций. Новокщенов С.Л., Бойко А.Ю

Для составления математической модели и расчета многоступенчатых редукторов рассмотрим эту задачу для двухступенчатого редуктора.

Межосевое расстояние для i-й ступени редуктора (i = 1, 2) определяется по следующей зависимости:

, (15.11)

где m_i - модуль зубчатых колес i-й ступени; z_iш и z_ik - число зубьев шестерни и колеса; i - передаточное отношение.

Сумма межосевых расстояний:

(15.15)

Если принять, что z_1ш=z_2ш, то это равенство можно записать в виде:

. (15.16)

Модуль зуба определяется изгибной прочностью. Используя равенство, запишем (Y_F1=Y_F2; K_F1=K_F2 и K_m1=K_m2):

, (15.18)

где T_1ш и T_2ш - вращающие моменты на шестернях первой и второй ступеней редуктора; _bd1 и _bd2 - коэффициенты ширины колес первой и второй ступеней; [_F1] и [_F2] - допускаемые напряжения при изгибе для материалов шестерен первой и второй ступеней соответственно.

Учитывая, что T₂=i₁T₁, при [_F1]=[_F2] и _bd1=_bd2, получим

. (15.19)

Подставляя равенство (10.6) в уравнение (10.3) находим, что

. (15.20)

Общее передаточное отношение:

(15.21)

Для нахождения экстремума функции a_=w, в которой переменные i₁ и i₂ связаны зависимостью g=i-i₁i₂=0, применим метод Лагранжа:

Функция Лагранжа

, (15.22)

где  - некоторая постоянная.

Условия экстремальных значений функции L запишем в следующем виде:

; i = 1, 2 (15.23)

Решение этого уравнения дает следующую зависимость между передаточным отношением двух последовательных ступеней:

(15.24)

С учетом равенства (10.8) можно записать:

(15.25)

Решение этого уравнения представлено на рис. , а зависимость суммарного относительного межосевого расстояния от передаточного отношения первой ступени рассматриваемого редуктора показана на рис. . На этом рисунке прослеживается ярко выраженный минимум относительного межосевого расстояния.

Кроме этого, из приведенного выше расчета несложно установить границы целесообразного (с точки зрения суммарного межосевого расстояния) перехода от одно- к двухступенчатому редуктору.

Для одноступенчатого редуктора привода механического пресса межосевое расстояние равно

(15.26)

а для двухступенчатого редуктора

. (15.27)

Приравнивая a₁=a_, получим условие, определяющее границу целесообразного перехода в виде:

(15.28)

Это уравнение с учетом выражения (10.12) дает значение суммарного передаточного отношения i = 8,64, выше которого целесообразен переход с одно- на двухступенчатый редуктор независимо от числа зубьев шестерни.

Вопросы для самоподготовки:

1. В чем заключается общая постановка задачи оптимального проектирования?

2. Опишите конструктивные схемы приводов, используемых в кузнечно-прессовых машинах?

3. Охарактеризуйте основные этапы расчета многоступенчатого редуктора главного привода механического пресса минимальных размеров?

Лекция №16 Моделирование процессов разрушения деталей. Прочность и долговечность

Теоретические вопросы:

16.1. Основы механики разрушения

16.2. Исследования усталостного разрушения. Критерий Гриффитса

16.3. Испытания на вязкость разрушения

16.1. Основы механики разрушения

В общем случае процесс разрушения представляет собой такой процесс, при котором физическое тело делится на две или более части. Разрушения можно наблюдать в различных масштабах: от больших разрушений конструкций до очень малых, представляющих собой расхождение атомов. Механика разрушения имеет две стороны, одна из которых представляет собой анализ (расчет) напряжений, возникающих в элементе конструкции или детали с трещиной. Другой стороной являются экспериментальные исследования на вязкость разрушения (трещинностойкость). В области, где не удовлетворяется условие маломасштабной текучести, нельзя использовать коэффициент интенсивности напряжений. Для описания характеристик трещиностойкости при полномасштабной, или полной, текучести находят применение такие параметры, как J-интеграл и раскрытие в вершине трещины COD. Понятие J-интеграла было введено с целью исследования свойств концентрации деформаций, которые происходят в окрестности вершины трещины в материале, поведение которого носит нелинейных характер. Такие материалы рассматриваются с различных сторон. Большое внимание, в частности, уделяют упругопластическому поведению металлов при их разрушении. Обычно при описании такого поведения используют представленные в форме приращений зависимости напряжение-деформация. В общей постановке задач механики напряжений зависимости напряжения - деформация являются нелинейными. Поэтому наиболее удобным здесь является такой подход, при котором постепенно увеличивают нагрузку и на каждом шаге следят за получаемыми результатами. И наиболее полно процессы, происходящие в рассматриваемом случае, позволяет отследить на ЭВМ метод конечных элементов, основанный на применении определяющих уравнений в приращениях. Программы расчета и ввода-вывода данных, используемые в механике разрушений, предназначены для решения упругопластических задач и составляются таким образом, что позволяют используя лишь исходные данные, определить коэффициент интенсивности напряжений, J-интеграл и раскрытие трещины. Основные возможности программ перечислим ниже:

1. можно решать задачи, соответствующие плоскому напряженному состоянию и плоской деформации;

2. в программе использованы треугольные элементы с постоянной деформацией;

3. для решения системы линейных уравнений вся рассматриваемая область разбивается на элементы;

4. для упругопластических задач используют теорию течения, так и деформационную теорию. В качестве условия текучести применяется условие Мизеса;

5. упругопластические задачи решаются методом наращивания нагрузки.

Таким образом, изучение хрупкого разрушения связано с использованием закономерностей развития трещины при средних напряжениях ниже предела текучести. Одним из самых надежных подходов к оценке возможности хрупкого разрушения является такой подход, который основан на учете коэффициента интенсивности напряжений. Для реальных конструкций, содержащих трещины, получение аналитических решений связано со значительными математическими трудностями. Поэтому при расчетах коэффициента интенсивности напряжений становится необходимым использование численных методов, обладающих наименьшими ограничениями, является метод конечных элементов. Существующие методы расчета можно разделить на две большие группы, состоящие из расчетов, основанных на обычных и специальных сетках. В последнем случае применяются конечные элементы, среди которых есть один или несколько таких, структура которых учитывает трещину. И к основным методам вычисления коэффициента интенсивности напряжений можно отнести следующие: прямой метод, метод линейного интегрирования и метод податливости.

Прямой метод вычисления коэффициента интенсивности напряжений. Этот метод основывается на том факте, что распределение напряжений для упругого решения вблизи вершины трещины. Зная распределение напряжений вокруг вершины трещины, можно определить величину коэффициента интенсивности напряжений K. Наиболее важным вопросом при проведении расчетов данным методом является выбор размера элемента сетки. Ведь, как показывают проведенные многочисленные расчеты для определения коэффициента К данным методом необходима очень мелкая сетка элементов. И насколько малы должны же быть элементы? Каков должен быть характер изменения размера элемента по мере удаления от вершины трещины?

И в связи с этим был разработан такой подход при использовании рассматриваемого метода, при котором решение методом конечного элемента производится дважды. Вначале решение строится на грубой сетке элементов, а затем из рассматриваемого тела выделяется небольшая область вокруг вершины трещины, которая идеализируется более мелкими конечными элементами. Ее анализ проводится также, причем в качестве граничных условий берутся величины, найденные в первом решении.

Метод линейного интегрирования. Дж. Р. Райс показал, что в упругой области значение контурного интеграла определяется следующим образом:

, (16.1)

пропорционально квадрату коэффициента интенсивности напряжений. Здесь Г – произвольный контур, окружающий вершину трещины, W₀ – плотность энергии деформации; T, u – векторы нагрузки и перемещения соответственно.

Данные численных проверок показывают, что этот метод обеспечивает примерно ту же точность, что и прямой метод, и соответственно ему свойственны те же недостатки.

Энергетический метод или метод податливости. Метод состоит в определении упругой энергии W для двух или более состояний равновесия тела с трещиной. Величина W может вычисляться при этом по следующей формуле

, (16.2)

Здесь - обобщенные внешние усилия, u_i – соответствующие им узловые перемещения.

Специальные методы определения коэффициентов интенсивности напряжений. Трещина представляет собой бесконечно острый разрез, точное распределение напряжений вокруг которого не может быть найдено с помощью сетки обычных структурных элементов. Однако ценой измельчения сетки можно приблизиться к действительному распределению напряжений, однако при этом значительно увеличивается время счета. Однако, решая эту задачу с помощью специальной сетки, затруднения могут возникнуть при получении матрицы жесткости, особенно в тех случаях, когда специальный элемент имеет сложную форму. Но этот этап существенно упрощается, когда элемент представляет собой правильный многоугольник, симметричный относительно трещины и имеющий четыре узла. К недостаткам данного метода можно отнести то, что при расчете тела с симметричной трещиной необходимо производить идеализацию всей модели, а не только симметричной части.

Определение коэффициента интенсивности напряжений методом граничных коллокаций. Метод граничных коллокаций (МГК) не обеспечивает такого общего подхода к решению задач, как метод конечных элементов (МКЭ). Но есть определенный класс задач, где возможно его применение, и где все преимущества МГК становятся неоспоримыми. И основным преимуществом МГК является обеспечение достаточно высокой точности при малых объемах исходных данных, что приводит к сравнительно небольшим системам линейных уравнений.

16.2. Исследования усталостного разрушения. Критерий Гриффитса

Одной из актуальнейших проблем современного кузнечно-прессового машиностроения является проблема повышения долговечности элементов машин по критериям прочности при одновременном снижении их металлоемкости. Это в свою очередь поставило задачу проведения дальнейших более глубоких исследований в области вопросов определения и оценки величины усталостной прочности материалов и конструкций. Сегодня при моделировании процессов циклического разрушения ввиду недостаточной изученности механизма разрушения реальных материалов и отсутствия надежных расчетных способов предсказания характеристик прочности и долговечности особое значение приобрели экспериментальные методы исследования.

При этом применяют два вида моделей реальных объектов: геометрически подобные модели и так называемые «условно-подобные» модели, тождественные по характеру напряженного состояния в поверхностном слое с натурными образцами. Каждый из этих типов моделей имеет ограниченную область применения в силу специфики характера явлений усталости. Геометрически подобные образцы, удовлетворяющие критериям кинетического подобия, позволяют судить по данным испытаний моделей о положении фронта трещины, скоростях процесса разрушения и относительных величинах длительности разрушения натурных испытаний.

Из экспериментальных данных известно, что условие образования макротрещины на поверхности детали при усталостном разрушении с достаточной точностью может быть представлено уравнением

, (16.1)

где - максимальное приведенное напряжение;

N_t – число циклов, соответствующее началу образования трещины; m – показатель степени;

C – некоторая константа.

График функции (11.1) принято называть кривой усталости по первой макротрещине. В общем случае при сложном напряженном состоянии функция S определяется величиной главных напряжений ₁, ₂, ₃ в рассматриваемой точке образца.

На основании анализа опытных данных можно сформулировать общую гипотезу макроскопического разрушения в произвольной точке с координатами, , учитывающую индивидуальную предысторию нагружения всех точек сечения, по которым продвигается фронт трещин. Обобщая соотношение (16.1) на случай движущейся трещины, будем считать, что фронт трещины проходит через точку , в момент времени по числу N при условии

Для элементов машин и конструкций в экстремальных условиях нагружения (в зонах концентрации, в местах действия высоких температурных и остаточных напряжений, в окрестности трещин) используются традиционно применяемые в инженерной практике расчеты прочности, основанные на определении номинальных и местных напряжений (методы сопротивления материалов), оказываются недостаточными и в целом ряде случаев неправомерными.

Поэтому запасы прочности и долговечности в рамках проверочных расчетов устанавливают на базе деформационных критериев разрушения, т.е. по предельным нагрузкам, местным упругопластическим деформациям, коэффициентам интенсивности напряжений и деформаций по размерам дефектов типа трещин.

Большинству базовых или несущих деталей машин характерны неоодносные и неоднородные напряженные состояния. Эти состояния наиболее характерны для зон конструктивной концентрации напряжений – отверстий, выточек, галтелей, патрубков, мест изменения толщин и присоединения укрепляющих элементов, резьб и т.п. Разрушение узла, детали или соединения представляет собой заключительный этап работы элемента конструкции при заданном силовом, деформационном или тепловом воздействии. Действительный процесс нагружения проходит в несколько этапов: