Материал: Введение в математическое моделирование технологического оборудования. курс лекций. Новокщенов С.Л., Бойко А.Ю

где просматриваются все узлы i, не вошедшие в , но имеющие какую-то вероятность вступить в контакт. Если для некоторой пары узлов условие (2.9) не выполняется, то такая пара вводится в зону контакта следующего приближения.

Итерационный поиск завершается, когда очередной этап не выявляет необходимости изменения зоны контакта. От совместного действия заданных внешних и найденных контактных сил вычисляются по МКЭ (с использо­ванием уже построенных матриц жесткости) поля узловых перемещений и напряжений в деформированных телах моделируемой контактной системы.

Вопросы для самоподготовки:

1. Приведите классификацию сил, действующих в машинах?

2. На чем основано математическое моделирование формообразующих операций обработки металлов давлением?

3. Охарактеризуйте влияние сил, действующих во время совершения технологической операции, на базовые детали кузнечно-штамповочной машины?

Лекция №14

Построение математической модели главного исполнительного механизма кузнечно-штамповочной машины. Вероятностное моделирование технологических систем

Теоретические вопросы:

14.1. Постановка задачи и выделение исходных данных

14.2. Этапы построения математической модели кривошипно-ползунного механизма

14.3. Математическое моделирование упругих деформаций в технологической системе. Вероятностное моделирование технологических систем

14.1. Постановка задачи и выделение исходных данных

Проблема создания прочной и неметаллоемкой машины, способной противостоять возникающим внешним статическим и динамическим силам, особенно при их наиболее благоприятном сочетании, с увеличением быстроходности и мощности требует для своего решения рассмотрения и учета многих факторов.

Главным при этом оказывается установление кинематических параметров исполнительного механизма кривошипных прессов, которые имеют в рабочем состоянии с учетом зубчатой передачи одну степень свободы. Это означает, что положение всех звеньев при любом числе кривошипов определяется одной обобщенной координатой, которой обычно является угол его поворота. Поэтому основной задачей исследования кривошипно-ползунного механизма является установление функциональной связи между заданными перемещениями, скоростью и ускорением рабочего звена.

В связи с возрастающей сложностью конструкций проектируемого кузнечно-прессового оборудования, применением средств механизации и автоматизации затраты на решение задач традиционными методами значительно увеличиваются, кроме того значительно возрастают и риски, связанные с возможностью принятия неоптимальных решений.

Осложняющим обстоятельством здесь является то, что рассматриваемые задачи являются многокритериальными с противоречивыми целевыми функциями, которые необходимо выделить конструктору еще на этапе разработки эскизного проекта.

Стадия эскизного проектирования заключается в разработке совокупности конструкторских документов, содержащих принципиальные решения и разработки общих видов, дающих представление об устройстве разрабатываемого изделия, принципе его действия, габаритах и основных параметров. Кроме этого на этой стадии оформляется пояснительная записка с необходимыми расчетами.

На этом этапе появляется необходимость и возможность всестороннего рассмотрения конструкции, т.е. должно быть учтено большое число часто противоречивых требований. Так, в каждой машине должны удовлетворяться такие требования, как минимальная масса и достаточная надежность, быстроходность и минимальная динамическая нагруженность, малая стоимость, долговечность и другие. На практике эту задачу решают, прорабатывая несколько альтернативных вариантов с выполнением соответствующих расчетов.

После разработки эскизного проекта машины конструктор определяет и назначает пределы изменения каждого из параметров машины, от которых зависят все остальные характеристики машины. Здесь же конструктор формулирует ряд критериев - характеристики, которые в ходе проектирования позволяют судить о качестве машины, составляется ее математическая модель.

Далее для выбора оптимальных параметров проектируемой машины необходимые расчетные формулы алгоритмизуются и представляются в виде программы для ЭВМ, которая в общем случае позволяет описать поведение исследуемого объекта для любого заданного набора параметров и вычислить все критерии качества.

Наиболее простым примером, рассмотрение которого наиболее полно отражает возможности аппарата математического моделирования, является составление математической модели кривошипно-ползунного механизма. В таком механизме шатун совершает плоское движение, обеспечивающее преобразование движения одного органа (входного звена) преобразуется в движение рабочего инструмента (выходного звена).

К применяемому в кривошипных прессах механизму и станине для совершения той или иной технологической операции посредством надштамповой и подштамповой плит устанавливаются штамповые блоки.

В связи со сложностью переходных процессов, происходящих в системе “пресс-инструмент”, штамповые блоки при составлении математических моделей заменяют массой, устанавливаемой на двух пружинах и соединяемых с механизмом через демпфер с заданным коэффициентом вязкого сопротивления (рис. 19).

Кривошипные механизмы делят в общем случае на плоские (с движением всех звеньев в параллельных плоскостях), пространственные, четырёхзвенные и многозвенные. Наиболее распространённые плоские четырёхзвенные К. м. делятся на три группы: шарнирные четырёхзвенные, кривошипно-ползунные, кривошипно-кулисные.

Рис. 19.

Шарнирные четырёхзвенные кривошипные механизмы бывают двух видов: двухкривошипные, предназначенные для преобразования равномерного вращения одного кривошипа в неравномерное вращение другого. Частным случаем такого механизма является шарнирный параллелограмм для передачи вращения с одного кривошипа на другой без изменения скорости: кривошипно-коромысловый кривошипный механизм, преобразующий вращение кривошипа в качательное движение коромысла.

Для составлении функциональной математической модели нам потребуются следующие исходные данные, достаточные для вывода уравнений, описывающие физические процессы: масса штампового блока - m, кг; коэффициент жесткости K; коэффициент вязкого сопротивления  и угловая скорость ; радиус кривошипа R.

Для решения подобной задачи обычно требуется:

1. построить математическую модель движения пуансона (дифференциаль­ное уравнение вынужденного движе­ния). Сформули­ровать математическую задачу (задачу Коши). Привести уравнение движения к безразмерным переменным.

2. построить дискретную модель задачи, заменив производные вхо­дящие в дифференциальное уравнение и начальные условия, конечно-разностными отношениями. Задать число разбиений и шаг сетки . За­писать систему алгебраических уравнений для зна­чений сеточной функции.

3. составить программу и с помощью компьютера решить систему уравнений.

14.2. Этапы построения математической модели кривошипно-ползунного механизма

Первой задачей на стадии эскизного проектирования той или иной машины является разработка ее главного исполнительного механизма. При этом главной задачей математического моделирования исполнительных механизмов машин состоит в том, чтобы с помощью методов вычислительной математики определить такую модель, которая наилучшим образом описывает рассматриваемый технологический процесс с точки зрения статистических критериев оценки модели. Получить математическую модель исследуемого объекта можно либо на основе теоретических представлений о нем, либо эмпирическим путем постановки эксперимента, который может быть активным или пассивным. В нашем случае при построении математической модели кривошипно-ползунного механизма будем основываться на теоретических представлениях о его работе, которые изложены во многих исследовательских работах отечественных и зарубежных ученых.

Первым этапом построения модели является определение системы координат для данного механизма. В нашем случае выберем направление оси к основанию механизма и обозначим вертикальное перемещение шатуна через “x”, а перемещение ползуна через “y”. При работе механизма на массу “m” действует передаваемая через демпфер усилие, пропорциональное скорости перемещения:

, (14.1)

а также сила инерции, связанная с массой формулой:

(14.2)

и сила сопротивления пружины:

(14.3)

Согласно принципу Даламбера:

(14.4)

Перемещение ползуна связано с угловой скоростью кривошипа  и радиусом R зависимостью:

(14.5)

Производная по t:

(14.6)

При достаточно больших коэффициентах вязкости переходные процессы, связанные с наличием начального отклонения от равновесного положения и наличием начальной скорости быстро затухают, следовательно рассматривают стационарные затухания под действием внешней силы, т.е. рассматривают задачу Коши:

(14.7)

Далее перейдем к безразмерным параметрам. Для чего введем следующие новые переменные:

(14.8)

Введем обозначения: ;

C учетом введенных обозначений уравнение примет вид:

(14.9)

Следующим этапом является дискретизация математической модели. Для этого заменяем в полученном дифференциальном уравнении производные конечно-разностными отношениями.

(14.10)

Аппроксимация произведена с погрешностью h², следовательно, чем меньше h, тем точнее вычисления.

(14.11)

Шаг сетки , где N - задано. Обозначим U_n=z(nh).

Запишем производную функции z через U_n:

(14.12)

Из этой системы находим неизвестную функцию

(14.13)

. (14.14)

и

. (14.15)

Аналогично выписываем уравнения для =4, 5,…, .

Данная система является трехдиагональной, то есть ненулевыми эле­ментами в ней будут только элементы главной диагонали и двух сосед­них. Такие системы обычно решают методом прогонки.

14.3. Математическое моделирование упругих деформаций в технологической системе. Вероятностное моделирование технологических систем

При обработке деталей на механических прессах, сам пресс, блок штамповочный, инструмент и элементы его крепления, деформируемая заготовка представляют собой упругую систему, называемую системой “пресс-инструмент”

Во время деформирования заготовки сила сопротивления деформации изменяется под действием переменных условий, а именно неравномерности свойств материала заготовки. Колебания силы резания приводят к упругим деформациям деталей системы “пресс-инструмент” и смещению этих деталей по отношению друг к другу за счет наличия зазоров в соединениях. Кроме этого упругая система “пресс-инструмент” обладает не бесконечной жесткостью, причем эта жесткость также является случайной величиной, т.е. может изменять свое значение от наименьшего до наибольшего. Все это вместе взятое оказывает влияние на формирование точности получаемой детали.

Таким образом, наличие и формирование погрешности обработки деталей на механических прессах определяются следующими факторами:

1. недостаточная жесткость пресса;

2. колебание силы деформирования;

3. погрешность установки (базирования) заготовки в матрице;

4. погрешности обработки, вызванные неточностью изготовления инструмента и его износом;

5. тепловые деформации;

6. ошибки рабочего (наладчика, станочника) и т.д.

Действие всех этих факторов, влияющих на точность обработки, приводит к возникновению суммарной погрешности обработки.

Для определения точности штамповки сегодня применяется расчетно-аналитический метод определения точности, согласно которому, элементарные погрешности , определяемые действием каждого из приведенных выше факторов, принимаются практически независимыми друг от друга. Их суммирование производят по вероятностному методу:

, (14.16)

где n – количество учитываемых погрешностей;

k_i – коэффициент, учитывающий закон распределения i-ой погрешности (ki = 1,0…1,73) для разных законов распределения, например, для нормального закона распределения k = 1;

d_г – i-я элементарная погрешность обработки.

Вероятностные задачи и математические модели рассматривает теория массового обслуживания систем, которая является одним из разделов теории вероятностей. Эта теория работает со следующими типами моделей:

• детерминированная математическая модель - отражает поведение объекта (системы, процесса) с позиций полной определенности в настоящем и будущем.

• вероятностная математическая модель - учитывает влияние случайных факторов на поведение объекта (системы, процесса) и, следовательно, оценивает будущее с позиций вероятности тех или иных событий.

Неопределенные факторы, входящие в задачу, представляют собой случайные величины (или случайные функции). Дальнейшее решение задачи определяет вид случайных процессов:

• Марковский случайный процесс. Случайный процесс, протекающий в системе, называется Марковским, если для любого момента времени t₀ вероятностные характеристики процесса в будущем зависят только от его состояния в данный момент t₀ и не зависят от того, когда и как система пришла в это состояние;

• процесс с дискретным состоянием. Процесс называется процессом с дискретным состоянием, если его возможные состояния S₁, S₂, … можно заранее определить, и переход системы из состояния в состояние происходит «скачком», практически мгновенно;

• процесс с непрерывным временем. Процесс называется процессом с непрерывным временем, если моменты возможных переходов из состояния в состояние не фиксированы заранее, а неопределенны, случайны и могут произойти в любой момент.

Пример. Технологическая система (участок) S состоит из трех механических прессов, каждый из которых в случайный момент времени может выйти из строя (отказать), после чего мгновенно начинается ремонт узла, тоже продолжающийся заранее неизвестное, случайное время.

Здесь возможны следующие состояния системы:

S₀ – три пресса исправны;

S₁ - первый пресс ремонтируется, второй и третий - исправны;

S₂ - второй пресс ремонтируется, первый и третий - исправны;