Материал: Введение в математическое моделирование технологического оборудования. курс лекций. Новокщенов С.Л., Бойко А.Ю

Результаты расчета с использованием подобных методик содержат:

1. полную картину формоизменения металла в течение всего процесса деформирования включая поля скоростей, напряжений, деформаций, скоростей деформации и температуру в поковке;

2. энергосиловые параметры процесса;

3. распределение контактных напряжений на поверхности инструмента;

4. предсказание возможности образования дефектов и анализ проработки металла и текстуры.

В общем случае на поверхности контакта металла и инструмента имеются зоны скольжения и прилипания, протяженность и расположение которых зависят от форм штампа и заготовки, стадии процесса, условий трения, температуры, скорости движения штампов и других параметров. Полная система уравнений вязко-пластического неизотермического течения металла в эйлеровой системе координат применительно к задачам горячей обработки металлов давлением включает в себя:

- уравнения движения без учета массовых сил:

- кинематические соотношения:

- уравнение несжимаемости:

- определяющие соотношения, связывающие девиаторы тензоров скоростей деформации и напряжений:

- уравнение теплопроводности:

- реологическое уравнение:

Краевые условия на участках скольжения металла по инструменту являются смешанными и включают в себя кинематическое ограничение и уравнение для касательных напряжений на границе, задающее закон трения.

Реализация этих условий представляет наибольшую сложность для численного моделирования методом конечных элементов, поскольку в силу нелинейности и наличия ограничений в виде неравенств они не могут быть непосредственно включены в результирующую систему уравнений. Таким образом, граничные условия до начала решения мгновенной квазистационарной задачи могут быть заданы лишь с некоторой степенью приближения с последующим итерационным уточнением.

При этом определяются узлы, в которых выполняется условие отрыва, и граничные условия в них заменяются, а также уточняются касательные напряжения на остальных участках скольжения. Анализ технологического процесса строится на основе решения систем уравнений вязко-пластического течения металла и уравнений теплопроводности, выполняемые в едином итерационном цикле, оканчивающимся при достижении условия сходимости для соответствующих функций. Сходимость итерационного процесса контролируется относительной нормой разности решений.

При дискретизации системы уравнений вязко-пластического течения металла вводится понятие виртуальных скоростей. При выводе дискретных уравнений используют матрицы-столбцы для компактного обозначения векторов и тензоров. Аппроксимация сопротивлений пластической деформации осуществляется непосредственно на основе экспериментальных данных, представленных в виде таблиц или графиков, с использованием 3-мерных кубических сплайнов на неравномерной сетке. Сплайн-аппроксимация осуществляется в трехмерной области (параллелепипеде), ограниченной минимальными и максимальными значениями параметров.

13..3. Влияние сил, действующих во время совершения технологической операции, на базовые детали кузнечно-штамповочной машины

Эффективность процесса деформирования зависит от конструктивного исполнения кинематических пар и звеньев привода и главного исполнительного механизма КШМ, а также от условий эксплуатации, определяемых параметрами технологического процесса. Все механизмы и узлы КШМ функционально связаны между собой следующим образом (рис. 18).

Число необходимых преобразований видов энергий в КШМ, протяженность энергетических цепей и конструктивное исполнение КШМ обуславливается видом входной энергии. В зависимости от вида входной энергии E и характера ее преобразования и получения заданных параметров поковки или штамповки производится выбор и расчет привода с элементами конструкции, производится выбор и расчет главного передаточного механизма (ГПМ) или главного исполнительного механизма (ГИМ) и технологической оснастки для получения заданных параметров поковки.

Рис. 18. Структурная схема кузнечно-штамповочной машины

В КШМ статического действия (в гидравлических прессах), кривошипных прессах энергия от ГПМ передается через ГИМ непосредственно на обрабатываемую заготовку. В КШМ динамического действия (например, в молотах, и винтовых прессах) в ГИМ при разгоне аккумулируется кинетическая энергия, которая при деформировании заготовки преобразуется в работу пластической деформации.

При внедрении прогрессивных процессов требуются значительно более высокие энергии для совершения работы деформирования. При увеличении кинетической энергии маховичных прессов максимальное усилие КШМ превышает общепринятое удвоенное номинальное усилие, что приводит к увеличению материалоемкости пресса и его стоимости.

Применение предохранителей позволяет ограничить усилие пресса до заданного значения. Однако частые срабатывания предохранителя приводят к дополнительным потерям энергии к снижению ресурсов работы КШМ. Поэтому целесообразно определить зону технологических нагрузок и работы деформирования, при которых предохранитель не срабатывает, а максимальное усилие пресса не превышает двойного номинального усилия.

Проанализировав широчайшее многообразие конструкций КШМ, как объектов технологического машиностроения, исследования вопросов определения зон технологических нагрузок и работоспособности деталей КШМ под действием технологической нагрузки, можно определить следующие контактные системы:

1. априорно устойчивая система - состоит из любого конечного числа линейно-уп­ру­гих, в общем случае, трехмерных тел, контактно вза­и­мо­дей­ству­ющих при произ­воль­ных статических нагрузках, на­чальных (конструктивных) зазорах, натягах и их со­четаниях в условиях гладких поверхностей деталей или контактного трения скольжения, соответствующего законам Кулона;

2. в системе могут иметь место любые варианты взаиморасположения, кон­так­­ти­ро­вания и конфигурации деталей, практически встречающихся в современных конструкциях тяжелых кривошипных прессов и родственных машин;

3. система находится под воздействием любых внешних по отношению к ней активных нагрузок и внешних граничных усло­вий, которые задаются в виде наложения или отсутствия связей, исключающих те или иные перемеще­ния точек тел.

Постановка исследуемого класса задач основана на едином системном подходе, который преследует взаимосвязанные конструкторские и технологические цели проектирования:

1. получение высокоточной информации о полях сил контактных взаимодействий, дефор­маций и напряжений – полной и одинаково достоверной картины для всех точек и на­правлений в объеме каждой проектируемой детали, имеющей в модели контактной сис­темы конфигурацию, в разумной мере близкую к конструкции в металле;

2. исследование функциональных возможностей выполнения технологических операций (или других действий) с той или иной точностью, зависящей от принципиальной кон­струкции и общей, в том числе, контактной деформируемости единой системы дета­лей проектируемой машины.

Методология математического моделирования идентифицированных систем предусматривает:

1. дискретизацию областей поверхностей возможного контактиро­ва­ния смежных тел множествами попарно сопряженных точек, кото­рые мо­гут войти в контакт друг с другом в нагруженном состоянии системы;

2. построение дискретных моделей тел по МКЭ при обеспечении принципиальной структуры алгоритма, инвариантной к использованию МГЭ или иного чис­ленного метода дискретизации;

3. учет у каждого из контактирующих тел от нуля до шести кинема­ти­чес­ких – как у абсолютно твердого тела – степеней сво­боды, ре­а­ли­зуемых при пе­ре­мещениях, вызванных деформированием тел нагру­жен­ной систе­мы;

4. выявление заранее не известных зон проскальзывания и сцеп­ления в сжатых контактных стыках при наличии кулоновского трения.

Основу дискретного моделирования фрикционных систем предоставляет метод контактных сил и переносных перемещений, обобщенный в работах /32, 35/ на класс систем любого конечного числа трехмерных упругих тел с кулоновским трением в стыках. Пусть два линейно-упругих трехмерных гладких тела произвольной формы кон­тактно взаимодействуют при наличии начального зазора между ними; натяг, если он есть, учитывается как отрицательный зазор. Тело 1 (по условию или предположению) не имеет кинематических степеней свободы; тело 2 имеет таких степеней.

Вводятся две системы координатных осей: абсолютная с началом в действительно или условно закрепленной от перемещений точке тела 1 и подвижная с началом в произволь­ной точке тела 2. При дефор­мировании тел под нагрузкой локальные окрестности точки – на­чала отсчета, а с ними и оси подвижной системы совершают как жесткое целое переносное перемеще­ние, характеризуемое обобщенными коор­ди­натами (k =1,…,s), зависящими от выбора начала их отсчета. Координаты определяют величины, которые при излагаемом подходе понима­ются как кинематические, в данном случае, переносные перемещения тела.

Эти пере­мещения соответствуют представлению об условно недефор­мируемом теле, с кото­рым жестко связана подвижная система отсчета. Перемещения точек тела относи­тельно последней происходят за счет его деформирования и в терминах кине­матики называются относительными. При любой дискретной аппроксимации тел на предполагаемых с запасом поверхностях кон­такта рассматриваются N пар сопряженных точек. Структура излагаемого далее алгорит­ма принципиально не зависит от численного метода его реализации.

Поскольку для этой цели в рассматриваемой математической модели выбран МКЭ, то парами сопряженных точек будут узлы элемен­тов, сетки которых строятся с учетом практического обеспечения сопряженности.

В процессе контактного деформирования взаимодействующих тел абсолютные перемеще­ния и сопряженных точек пары i по нормалям к поверхностям тел 1 и 2 не должны в сумме превышать начального зазора

. (2.1)

Используя идеологию метода сил /19, 20, 25/, выражения и целесообразно записать в варианте разъединения, т.е. раздельного кодирования и численного анализа деформируемости тел при реальных или условных (обсуждаемых ниже) закреплениях. С учетом того, что тело 1 кинематически неподвижно, а тело 2 – подвижно, поскольку мо­жет иметь переносные перемещения, получается:

; (13.15)

, (13.16)

где – искомые нормальные силы контактного взаимодействия гладких тел в узлах пары j; – коэффициенты влияния каждого из тел (= 1,2) в контактных узлах по направлениям нормалей; – перемещения контактных узлов по тем же направлениям при деформировании тела  приложенной к нему заданной внешней нагрузкой. Выражения (13.15) и (13.16) структурно различаются тем, что в пере­мещение , относящееся к кинематически подвижному телу, помимо относительной компоненты за счет деформиру­емости, входит заранее неизвестное переносное перемещение по нормали узла i тела 2. Условие закрытия зазора, вытекающее из (13.16), а в более общем смысле (при наличии натя­га) – условие контактирования сопряженных узлов пары i, имеет вид:

(13.17)

В каждом из уравнений (2.4) величины и зависят от условий закрепления соответ­ствующего тела ; кроме того, переносное перемещение зависит от выбора начала от­счета осей тела 2. Поскольку выбор связей для условного закрепления кинематически подвижных тел произволен, то для обоснования корректности излагаемого метода требуется доказательство независимости, или инвариантности, получаемых результатов от вариантов основной системы. Теоретическое доказательство указанной инвариантности представлено в работе /28/ и подтверждено численными экспериментами.

Формирование полного алгоритма на базе исходного уравнения (13.18) содержит этап представления символически записанных членов через обобщенные координаты переносного пере­мещения. Искомое представление сводится, как известно /13, 20, 28/, к построению кинемати­ческой матрицы [A], определяющей – для конкретного тела и варианта его условного за­крепления – связь

(13.18)

между вектором , содержащим N компонентов и вектором , состоящим из s координат .

Из матричного соотношения (13.5) следует выражение

, (13.19)

раскрывающее смысл коэффициентов как перемещений узла i кинематически подвижного тела 2 вдоль соответ­ствующей нормали при переносном перемещении этого тела на = 1.

Система N квазиканонических уравнений метода сил, а точнее – метода контак­тных сил и переносных перемещений /28, 29/

(13.20)

содержит N+s основных неизвестных: N искомых контактных сил и s переносных переме­щений .

Для определенности решения задачи система N уравнений (13.7) дополняется s уравнениями равновесия тела 2. Уравнениям статики свободного абсолютно твердого тела, испытывающего действия заданных и контактных сил, удобно придать форму

(13.21)

где при произвольном пространственном нагружении – суммы проекций (m = 1,2,3) и мо­ментов (m = 4,5,6) заданных сил по отношению к выбранным координатным осям.

Объединенная система уравнений (2.7) и (2.8) является основой полного алгоритма рассматриваемого метода.

Величины и вычисляются по МКЭ в перемещениях. Строятся глобальные матрицы жесткости раздельно кодируемых тел и проводится их частичное обращение, необходимое для получения только тех коэффициентов влияния, которые входят в уравнения (2.7).

Контактные силы и, следовательно, узлы, где они действуют, находятся итерационным пу­тем. На n-ом этапе итераций (n = 1,2,…) в контакте рассматриваются (на первом этапе – пред­положительно) пар тех или иных узлов. Решается соответствующая система уравнений (13.7) и (13.8).

Узлы, в которых по расчету на данном этапе получается, что < 0, остаются в числе контактных и на следующем этапе, где перед расчетом исключаются узлы с > 0. На каждом этапе проверяется выполнение условия взаимного непроникания тел в узлах вне зоны контролируемого контакта

(13.22)