Материал: Введение в математическое моделирование технологического оборудования. курс лекций. Новокщенов С.Л., Бойко А.Ю

S₃ – третий пресс ремонтируется, второй и первый - исправны.

S₄ - три пресса ремонтируются.

Переходы системы S из состояния в состояние происходят практически мгновенно, в случайные моменты выхода из строя того или иного станка или окончания ремонта. При анализе случайных процессов с дискретными состояниями удобно пользоваться геометрической схемой – графом состояний. Вершины графа – состояния системы, дуги графа – возможные переходы из состояния в состояние.

Переходы между состояниями S₁ и S₂, S₂ и S₃ на приведенном рисунке не показаны, так как предполагается, что прессы выходят из строя независимо друг от друга.

Последовательность однородных событий, следующих одно за другим в какие-то случайные моменты времени называют потоком событий.

В рассмотренном выше примере – это поток отказов и поток восстановлений.

Другими примерами потока событий могут быть: поток вызовов на телефонной станции, поток покупателей в магазине и т.д.

Положение каждой точки случайно, и, в общем случае, определяется интенсивностью потока событий. Интенсивность потока событий () – это среднее число событий, приходящееся на единицу времени.

Поток событий называется стационарным, если его вероятностные характеристики не зависят от времени.

Поток событий называется потоком без последствий, если для любых двух непересекающихся участков времени число событий, попадающих на один из них, не зависит от того, сколько событий попало на другой. Другими словами, это означает, что события, образующие поток, появляются в те или иные моменты времени независимо друг от друга и вызваны каждое своими собственными причинами.

Поток событий называется ординарным, если события в нем появляются поодиночке, а не группами по нескольку сразу.

Поток событий называется простейшим (или стационарным пуассоновским), если он обладает сразу тремя свойствами: 1) стационарен, 2) ординарен, 3) не имеет последствий.

Простейший поток имеет наиболее простое математическое описание. Он играет среди потоков такую же особую роль, как и закон нормального распределения среди других законов распределения. А именно, при наложении достаточно большого числа независимых, стационарных и ординарных потоков (сравнимых между собой по интенсивности) получается поток, близкий к простейшему.

Для простейшего потока с интенсивностью  интервал T между соседними событиями имеет так называемое показательное (экспоненциальное) распределение с плотностью

, (14.17)

где - параметр показательного закона.

Для случайной величины T, имеющей показательное распределение, математическое ожидание m_T есть величина, обратная параметру, а среднее квадратичное отклонение равно математическому ожиданию

(14.18)

Вопросы для самоподготовки:

1. Как выполняется постановка задачи и выделение исходных данных при математическом моделировании главных исполнительных механизмов кузнечно-штамповочных машин?

2. Охарактеризуйте основные этапы построения математической модели кривошипно-ползунного механизма?

3. На каких методах основано математическое моделирование упругих деформаций в технологической системе?

4. Охарактеризуйте аппарат вероятностного моделирования технологической системы?

Лекция №15 Оптимальное проектирование главных приводов кузнечно-штамповочных машин с применением методов математического моделирования

Теоретические вопросы:

15.1. Проблема оптимального проектирования. Общая постановка задачи оптимального проектирования

15.2. Конструктивные схемы приводов, используемых в кузнечно-прессовых машинах

15.3. Расчет многоступенчатого редуктора главного привода механического пресса минимальных размеров

15.1. Проблема оптимального проектирования. Общая постановка задачи оптимального проектирования

При проектировании технических устройств важное значение занимает определение оптимальных вариантов конструкций машин и аппаратов, параметров схем, режимов работы технологического оборудования и т.д. Задача поиска оптимальных значений параметров управления возникает во многих случаях применения управляющих вычислительных устройств для автоматической оптимизации технологических процессов.

Основой принятия оптимальных решений с помощью ЭВМ является математическая модель, которая призвана помочь человеку принять оптимальное решение с точки зрения того или иного критерия. И основные этапы решения задач принятия оптимальных решений с помощью ЭВМ можно представить в виде следующей последовательности элементов.

Важнейшим вопросом при поиске оптимальных решений является выбор задачи.

И правильно выбрать задачу позволяют два основных требования:

1. должно существовать, как минимум, два варианта ее решения;

2. надо четко представлять в каком смысле искомое решение должно быть наилучшим.

Выбор задачи завершается ее содержательной постановкой, которая заключается в выборе исходных данных и назначении критериев, по которым выбирается оптимальный вариант.

Исходными данными при проектировании изделия, как правило, являются указанные в техническом задании на разработку значения номинальных параметров, требований стандартов и технологии изготовления к определенным характеристикам изделия.

В зависимости от назначения проектируемого изделия может быть указан критерий качества (или эффективности) для разрабатываемой машины, схемы или процесса. Естественным является стремление в процессе проектирования получить наилучшее значение этого критерия, поэтому такой критерий называют критерием оптимальности проектируемого объекта. В качестве критерия оптимальности в зависимости от характера и назначения проектируемого объекта может быть принята его стоимость, масса, потребляемая мощность, КПД, или другая, более сложная характеристика.

Таким образом, при оптимальном проектировании необходимо определить и обосновать критерий оптимальности проектируемого изделия и четко выделить показатели и характеристики R₁, R₂, …, R_m.

Для проведения расчетов выделяют некоторую совокупность независимых конструктивных параметров (независимых переменных)

x₁, x₂, …, x_n (15.1)

Переменные x₁, x₂, …, x_n, представляют собой, например, геометрические размеры изделия или значения других конструктивных параметров.

Критерий оптимальности является функцией независимых конструктивных параметров

F=F(x₁, x₂, …, x_n) (15.2)

Показатели и характеристики, на значения которых наложены ограничения, являются также функциями независимых конструктивных параметров

R₁=R₁(x₁, x₂, …, x_n)

R₂=R₂(x₁, x₂, …, x_n) (15.3)

R_n=R_m(x₁, x₂, …, x_n)

Функции R₁, R₂, …, R_m будем в дальнейшем называть функциями ограничений.

В формализованном виде задача оптимального проектирования в общей постановке заключается в определении независимых переменных (независимых конструктивных параметров)

x₁, x₂, …, x_n, (15.4)

при которых критерий оптимальности проектируемого объекта

F=F(x₁, x₂, …, x_n), (15.5)

являющийся нелинейной функцией переменных, имеет минимально (или максимально) возможное значение, при условии, что переменные x₁, x₂, …, x_n принимают лишь положительные значения, т.е.

, (15.6)

и выполняются ограничения, заданные в форме неравенств, для некоторых, в общем случае нелинейных, функций этих переменных (функций ограничений)

(15.7)

Ограничения, заданные в форме уравнений, можно использовать для исключения переменных и, таким образом, получить задачу с одним типом ограничений в виде неравенств.

В математическом отношении оптимальное проектирование сводится к задачам нелинейного программирования. В общем случае задачи нелинейного программирования ничего нельзя сказать заранее о расположении точки, в которой функция F имеет минимально (максимально) возможное значение.

Эта точка может находиться как на поверхности, образованной поверхностями ограничений, так и внутри ее. Функция F таким образом может достигать экстремального значения не в определенной точке, а на некотором множестве точек (гиперлинии или гиперповерхности).

Другая особенность задачи нелинейного программирования (часто встречающаяся в практических задачах) состоит в том, что в области допустимых значений x₁, x₂, …, x_n, оптимизируемая функция может иметь не один, а несколько локальных экстремумов. Решение задачи нелинейного программирования состоит в определении глобального экстремума, т.е. наименьшего (или наибольшего) значения F(x₁, x₂, …, x_n) во всей области допустимых значений переменных. Таким образом, сложность задачи определяется выбором критерия оптимальности.

Во многих практических проектных задачах решение этой проблемы оказывается очень сложным: качество изделия оценивается значениями целого ряда экономических и технических характеристик. В этом случае оптимальное проектирование должно обеспечивать улучшение показателей не по одной, а сразу по нескольким характеристикам. Такого рода задачи называют многокритериальной оптимизацией. Решение такого рода задач выполняется с помощью современных ЭВМ на основе системы оптимального проектирования, под которой понимают совокупность методов, алгоритмов и программ, реализующих с помощью ЭВМ автоматизированный поиск на математической модели проектируемого объекта определенных конструктивных параметров, при которых критерий оптимальности конструкции имеет минимально (или максимально) возможное значение при условии выполнения ограничений, накладываемых требованиями стандартов, технических условий и технологии.

Структура программного комплекса, реализующего оптимальное проектирование на ЭВМ, может быть представлен в виде следующей схемы (рис. ). Прекращение поиска здесь осуществляется на основе сравнения результатов расчетов двух или нескольких последовательных итераций и наиболее распространенной оценкой является норма разности значений двух последовательных итераций x_k и x_k+1 и модуль разности двух последовательных значений. Так, поиск оптимума прекращается, если норма разности

(15.8)

становится меньше заданного значения,

Рассматриваемая система по минимальным управляющим указаниям со стороны пользователя, должна обеспечивать следующие операции: формировать модель объекта, выбирать для каждой конкретной задачи проектирования наиболее эффективные методы решения и осуществлять их применение в требуемой последовательности. Для формирования рабочей модели объекта и поисковой программы система должна использовать следующие признаки, определяющие, по существу, характер и особенности решаемой задачи оптимального проектирования:

• модификацию проектируемого объекта;

• список ограничений;

• критерий оптимальности;

• указание о дискретной или непрерывной области изменения отдельных конструктивных параметров;

• требования к точности решения.

15.2. Конструктивные схемы приводов, используемых в кузнечно-прессовых машинах

В кривошипных кузнечно-прессовых машинах наиболее для привода основного рабочего механизма широко применяются цилиндрические зубчатые колеса. Эти привода выполняются в основном как одно-, двух- или трехступенчатые с консольными зубчатыми колесами.

Применяются также междуопорные расположение колес и смешанное. Привод коленчатого вала может быть как односторонний, так и двусторонний.

Большое влияние на долговечность работы зубчатых колес оказывает состояние подшипников валов, на которых закреплены зубчатые колеса, а также толчки и вибрации, передаваемые на них от ползуна. Зубчатые колеса при этом должны крепиться на достаточно жестких валах.

При консольном расположении колес их ставят на клиновых шпонках. В некоторых видах прессов (например, в КГШП) зубчатые колеса выполняются в виде бандажей, укрепляемых на корпусе муфты.

Совершенство конструкции КШМ, эффективность ее работы и эксплуатации определяются энергетическими показателями, основными из которых является эффективный КПД КШМ:

, (15.9)

где А_Д – полезная работа деформирования; E – затраты входной энергии. Проектирование привода любой конструкции ведут с учетом характеристик технологического нагружения. Технологическая нагрузка в общем случае является функцией многих факторов – материала, температуры, скорости деформирования, смазки, типа технологического процесса и т.п.

В практике динамических расчетов наибольшее распространение нашли графики зависимостей технологического усилия от перемещения ползуна, полученные либо на основе экспериментальных данных, либо на основе моделирования процесса численными методами, либо аппроксимацией отдельных точек, рассчитанных по известным формулам теории обработки металлов давлением, кусочно-линейными, степенными функциями или сплайнами. Большинство таких графиков хорошо аппроксимируются полиномом вида:

. (15.10)

При анализе динамики КШМ не следует использовать в качестве исходных данных графики зависимости усилия деформирования от времени. Используемое в таких аппроксимациях время нагрузочной и разгрузочной фазы деформирования является результатом расчета и не может быть задано в качестве исходного.

15..3. Расчет многоступенчатого редуктора главного привода механического пресса минимальных размеров

При проектировании многоступенчатых редукторов главных приводов механических прессов возникает задача о распределении передаточных чисел между ступенями, которое бы обеспечило минимальные размеры и, как следствие, массу редуктора. Главным показателем, определяющим габариты редуктора с цилиндрическими колесами, является сумма межосевых расстояний между валами.