Материал: Введение в математическое моделирование технологического оборудования. курс лекций. Новокщенов С.Л., Бойко А.Ю

1) инкубационный период;

2) торможение;

3) стационарный период;

4) заключительное ускоренное разрушение.

Каждый из этих периодов характеризуется определенным размером трещины, скоростью ее распространения, ускорением и т.д. Долговечность детали с трещиной полностью определяется кинетическими зависимостями разрушения и является интегральной характеристикой процесса.

Раскрытие трещины в твердом теле может осуществляться по трем различным путям, показанным на рис. . При нормальных напряжениях возникают трещины типа «разрыв» (тип I), перемещения берегов трещины перпендикулярны плоскости трещины. При плоском сдвиге образуется трещина типа II, или трещина типа «сдвиг», перемещения берегов трещины происходит в плоскости трещины и перпендикулярно ее фронтальной линии.

Трещина типа «среза», или типа III, образуется при анти-плоском сдвиге: перемещения берегов трещины совпадают с плоскостью трещины и параллельны ее направляющей кромке. В технике наиболее важное значение имеет трещина типа I. Одно из основных уравнений механики разрушения было получено Гриффитсом еще в 1921 г.

Рассмотрим бесконечную пластину единичной толщины с центральной поперечной трещиной длиной 2a. Края пластины неподвижны, а напряжение в ней равно σ, как показано на рис. , а. На рис. б приведена диаграмма «нагрузка—удлинение». Запасенная в пластине упругая энергия представлена площадью OAB. Если длина трещины увеличится на величину ∂a, то жесткость пластины уменьшится (линия ОС); это означает, что нагрузка несколько уменьшится, поскольку края пластины неподвижны.

Следовательно, упругая энергия, запасенная в пластине, уменьшится до величины, равной площади ОСВ. Увеличение длины трещины с a до a+dа приведет к освобождению упругой энергии, равной по величине площади ОАС.

Если пластина нагружена до более высокого напряжения, то при увеличении длины трещины на величину dа освободится большая энергия. Гриффитс предположил, что трещина будет расти лишь в том случае, если освобождаемая при этом энергия достаточна для обеспечения всех затрат энергии, связанных с этим ростом. В противном случае необходимо увеличить напряжение. Треугольник ODE представляет собой энергию, выделяемую при распространении трещины.

Условие, необходимое для роста трещины, следующее:

(16.2)

где U — упругая энергия, а W — энергия, необходимая для роста трещины. Основываясь на расчетах поля напряжений для эллиптического отверстия, выполненных Инглисом, Гриффитс получил выражение для dU/da в виде

(16.3)

на единицу толщины пластины, где Е — модуль Юнга. Обычно величину dU/da заменяют величиной

(16.4)

которая называется «скоростью высвобождения упругой энергии», приходящейся на каждую вершину трещины. Величину G называют также трещинодвижущей силой; ее размерность — энергия, деленная на единицу толщины пластины и на единицу изменения длины трещины, что также может быть представлено в виде силы, приходящейся на единицу изменения длины трещины. Энергию, расходуемую на распространение трещины, обозначают через R=dW/da и называют сопротивлением росту трещины. В первом приближении можно считать, что энергия, необходимая для образования трещины (для разрыва атомных связей), одинакова для любых приращений dа. Это означает, что R — константа.

Теперь энергетическое условие (11.2) можно перефразировать следующим образом: для распространения трещин необходимо, чтобы G было, по крайней мере, равно R. Если R — константа, то, значит, величина G должна превысить некоторое критическое значение GIc. Следовательно, распространение происходит при следующем условии:

, или (16.5)

Критическое значение G1с (критическую скорость высвобождения энергии) можно получить, измерив напряжение σс, необходимое для разрушения пластины с трещиной размером 2а, и вычислив из уравнения (11.5) величину G1с.

Гриффитc вывел свое уравнение для стекла — очень хрупкого материала. Он предположил, что величина R определяется только поверхностной энергией. В вязких материалах, например металлах, при вершине трещины образуются пластические деформации. Для образования новой зоны пластических деформаций при вершине трещины необходима большая энергия. Поскольку эта пластическая зона должна быть образована в процессе роста трещины, то энергию, необходимую для распространения трещины, можно положить равной энергии, необходимой для образования этой трещины. Это означает, что в металлах величина R определяется главным образом энергией деформации в пластической зоне; поверхностная энергия в этом случае настолько мала, что ею можно пренебречь.

Энергетический критерий есть необходимое условие распространения трещины. Этот критерий не обязательно должен быть достаточным. Если материал при вершине трещины не находится на грани разрушения, то трещина не будет расти даже при достаточной энергии для ее развития: материал должен до конца исчерпать свою способность воспринимать нагрузку и продолжать деформироваться. Однако последний критерий эквивалентен энергетическому критерию:

(16.6)

Очевидно, критерий по напряжениям и энергетический критерий выполняются одновременно. Уравнение (11.6) справедливо для случая плоского напряженного состояния, а в случае плоского деформированного состояния его следует дополнить коэффициентом (1-ν²), что приведет к соотношениям

и (16.7)

16.3. Испытания на вязкость разрушения

Расчетные методы анализа ползучести элементов машин применяются в настоящее время в основном для деталей достаточно простой конфигурации. Сегодня известно два принципиально различных метода моделирования напряженно-деформированного состояния в задачах ползучести. Каждый из этих методов связан с теорией ползучести. Один из них основан на теории старения, другой базируется на гипотезе упрочнения. В основу теории старения положено предположение, что при определенной температуре между деформацией, напряжением и временем существует зависимость

, (16.7)

где e – сумма упругой и пластической деформации;  - действующее напряжение;  – время. Согласно теории упрочнения в качестве уравнения состояния процесса ползучести принимается функциональная связь между пластической деформацией p, скоростью пластической деформации , напряжением и температурой

(16.3)

Вопросы для самоподготовки:

1. Приведите основные положения механики разрушения?

2. На чем основаны исследования усталостного разрушения?

3. Охарактеризуйте значения критерия Гриффитса?

Лекция №17 Кузнечно-штамповочные машины как объект динамического анализа

Теоретические вопросы:

17.1. Цель и постановка задач динамического анализа

17.2. Элементы динамических моделей и их приведение

17.3. Методика создания математических моделей элементов

17.1. Цель и постановка задач динамического анализа

Динамический характер явлений, приводящих к утере работоспособности кузнечно-прессовых машин, обусловлен различными причинами, как общего плана, характерными для всех машин, так и специфическими особенностями кузнечно-штамповочного оборудования.

Так как практически все КШМ во время рабочего хода преобразуют накопленную за время хода приближения и технологической паузы энергию в работу деформирования, то это приводит к возникновению динамических явлений.

При этом сам процесс деформирования происходит, как правило, за короткий промежуток времени, что приводит к возбуждению в системе машины значительных по амплитуде колебаний. Поэтому главная цель решения динамических задач механики деформируемого тела (динамического анализа) заключается в определении реакции деформируемой механической системы на заданное зависящее от времени возмущение.

В результате решения задачи требуется определить перемещения, скорости, ускорения элементов этой системы, напряжения и деформации в них, а также производные от них величины. Важным является то, что при решении задачи учитываются силы инерции, а искомые величины ищутся как функции времени. Для КШМ анализ динамики позволяет решить следующие задачи, возникающие в процессе проектирования и модернизации оборудования:

1) определение нагрузок в деталях машины, их значений и характера изменения во времени, что является основой для расчетов на статическую и усталостную прочность;

2) определение характера движения звеньев, что является основой расчета точностных параметров машины.

Таким образом, при исследовании динамики КШМ необходимо:

1) разработать расчетную схему и динамическую модель машины;

2) составить математическую модель;

3) решить полученные уравнения;

4) провести анализ результатов расчетов;

5) осуществить экспериментальную проверку.

Аналитические решения динамических процессов, происходящих в КШМ, возможны для узкого круга задач при принятии большого количества упрощающих допущений. Численное решение уравнений движения, полученных вручную на основании использования классических уравнений механики, также имеет свои недостатки.

Большая трудоемкость при алгоритмизации и программировании, значительная вероятность ошибок на стадии составления математической модели, необходимо заново решать задачу в полном объеме даже при незначительных изменениях структуры машины затрудняли использование методов математического моделирования при расчетах КШМ. Обычно динамические модели машин принято разделять по виду дифференциальных уравнений, описывающих их движение, на линейные и нелинейные.

Нелинейность динамических моделей машин обусловлена нелинейностями упругих характеристик соединений, динамических характеристик приводных двигателей, и исполнительных органов, передаточных механизмов и др. Существенную нелинейность динамических моделей машин с узлами трения вносит изменение структуры уравнений при переходе этапа скольжения поверхностей к этапу их относительного покоя.

В некоторых случаях динамическая модель машины может является нелинейной из-за переменности структуры уравнений, хотя движение модели в пределах отдельных этапов описывается линейными дифференциальными уравнениями. Такие системы называются кусочно-линейными. Решение задач динамики в общем виде может осуществляться как точными, так и приближенными методами. К точным методам относят методы поэтапного аналитического интегрирования и точечных отображений, а к приближенным – методы гармонического баланса и прямой линеаризации.

Наиболее простым, и вместе с тем универсальным способом решения задач динамики является метод аналитического интегрирования дифференциальных уравнений движения на этапах с последующим припасовыванием решений. Используя этот метод, получают для каждого возможного этапа движения аналитическое решение соответствующей системы дифференциальных уравнений.

Далее выбирают возможный режим движения, т.е. последовательность смены этапов движения. На границах этапов выполняют припасовывание решений. Поскольку перемещения и скорости от этапа к этапу движения меняются плавно, без скачков, то условием стыкования является равенство перемещений и скоростей в конце предыдущего и начале последующего шагов.

Для решения задач динамики систем с трением используют метод точечных отображений. При решении большей части задач методом точечных отображений использовали кусочно-линейную аппроксимацию нелинейностей, позволяющую получать аналитические выражения точечных отображений в явном или параметрическом виде. Полученные выражения на отдельных этапах припасовывают.

Для решения задач характерны совместное рассмотрение структур разбиения фазового пространства и пространства параметров, получение непрерывных зависимостей, описывающих движение, от параметров. Таким образом, метод точечных отображений позволяет всесторонне исследовать структуру фазового пространства и ее зависимость от параметров. Недостаток метода – возможность исследования систем лишь с малым числом степеней свободы. Метод гармонического баланса является одним из вариантов метода усреднения. Решение отыскивают в виде ряда Фурье, который подставляют в исходное уравнение.

В результате определяют такие коэффициенты, которые удовлетворяют уравнению. Метод прямой линеаризации отличается от метода гармонического баланса тем, что решение отыскивают в виде линейной функции, зависящей от параметров искомого решения. Приближенные методы основаны на описании параметров движения (перемещений и скоростей) непрерывными функциями. Характеристики сило трения существенно нелинейны, имеют разрывы и изломы.

В простейшем случае уравнение движения, которое решается при динамическом анализе, может быть записано в следующем виде:

(17.1)

где [M], [B], и [K] - матрицы масс, демпфирования и жесткости соответственно; - векторы перемещения, скорости, и ускорения; t - время.

При квазистатическом анализе силами инерции пренебрегают. В простейшем случае уравнение квазистатического анализа имеет следующий вид:

(17.2)

При статическом анализе приложенная к системе нагрузка считается стационарной, т.е. не зависящей от времени. В простейшем случае уравнение статического анализа имеет следующий вид:

(17.3)

Теоретической основой для составления уравнений движения масс служат уравнения Лагранжа второго рода для неконсервативных систем

, (17.4)

где Т, П – кинетическая и потенциальная энергии системы; q_i – обобщенные координаты; Q_i – обобщенные силы.