Материал: Уравнения и неравенства с двумя переменными

1) Вычисление  п-го  члена  геометрической  прогрессии  по  формуле(«прямое» применение).2) Нахождение  знаменателя  и  первого  члена  прогрессии по формуле п-го члена геометрической прогрессии («не прямое» применение).3) Использование характеристического свойства геометрической прогрессии для нахождения членов и знаменателя геометрической прогрессии.4) Комбинированные задания.Кроме того, в некоторых заданиях не указана явно геометрическая прогрессия – ее необходимо «увидеть», задать, обосновать и только затем решать, используя соответствующие формулы.Упражнения:№ 625 (а, б), № 626 (а). «Прямое» применение формулы п-го члена геометрической прогрессии.№ 630, № 631. «Не прямое» применение формулы п-го члена геометрической прогрессии, либо на использование характеристического свойства геометрической прогрессии.№ 631 (а).Р е ш е н и е(с_п) – геометрическая прогрессия;с₅ = –6, с₇ = –54.

I  с п о с о б.         с5 = с1 · q4                               с7 = с1 · q6

q² =  , q² = 9, q = 3 или q = –3.II  с п о с о б. | с₆ | =   = 18; значит,с₆ = 18 или с₆ = –18, тогдаq =  ;  q =   = –3 или q =   = 3.О т в е т: 3; –3.Обычно удобнее решать первым способом, но можно и вторым, способы равносильны.№ 632 (а), № 633 (б).№ 629. В  этой  задаче  используются  межпредметные  связи  с  геометрией.А₁ВС₁ подобен АВС, и коэффициент подобия равен  .Площади этих треугольников относятся как квадраты их соответствующих линейных размеров, значит,  , то есть  .Аналогично докажем, что 

.  И т. д.

Значения площадей треугольников образуют геометрическую прогрессию (х_п), где х₁ = 768 и q =  . Площадь А₉ВС₉ равна десятому члену этой прогрессии. Вычислим его:



О т в е т:   см².

№ 638. Задача аналогична той, которую решали перед введением понятия геометрической прогрессии.

№ 643. Задание повышенной сложности можно прорешать с учащимися, чтобы закрепить не только навыки применения свойств арифметической и геометрической прогрессии, но и умение действовать по аналогии.

Р е ш е н и е

Пусть a; b; c – арифметическая прогрессия.

По условию  a + b + c = 21 (*) и a;  (b – 1);  (c + 1) – геометрическая прогрессия. По свойству арифметической прогрессии 2b = а + с, значит, из (*) 3b = 21, b = 7.

а + с = 21 – 7 = 14;

с = 14 – а.

По свойству геометрической прогрессии

(b – 1)² = a · (с + 1);

36 = а (15 – а);

а² – 15а + 36 = 0;

а = 3 или а = 12, тогда

с = 14 – 3 = 11 или с = 14 – 12 = 2.

О т в е т: 3; 7; 11 или 12; 7; 2.

V. Итоги урока.Домашнее задание: № 625 (в, г), № 626 (б), № 634, № 639. У р о к  67                                                                   Дата:
НАХОЖДЕНИЕ СУММЫ ПЕРВЫХ пЧЛЕНОВ
ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ ПРОГРЕССИИЦели: вывести формулу суммы первых п членов геометрической прогрессии; формировать умение применять эту формулу при решении задач.Ход урокаI. Организационный момент.II. Проверочная работа.В а р и а н т  11) Выпишите формулу п члена геометрической прогрессии.2) В геометрической прогрессии (b_п) известны b₁ = 1,6 и q = 2. Найдите b₅; b_k.3) Найдите  первый  член  геометрической  прогрессии (b_п),  в которой b₆ =  , q =  .4) Найдите знаменатель геометрической прогрессии, если известно, что b₄ = 25, b₆ = 16. В а р и а н т  21) Выпишите характеристическое свойство геометрической прогрессии.2) В геометрической прогрессии (а_п) известны а₁ = 3,2 и q =  . Найдите а₄; а_{k + 1}.3) Найдите  первый  член  геометрической  прогрессии (а_п),  в которой а₅ =  , q =  .4) Найдите  знаменатель  геометрической  прогрессии  (b_n),  в  которой b₆ = 100, b₈ = 9.О т в е т ы:

Задание	Вариант 1	Вариант 2
1	2	3
1	bn= b1 · qn – 1	bn2 = bn – 1 · bn + 1
1	2	3
2	25,6; 0,8 · 2k	0,4; 1,6 ·
3	9
4	или –	0,3 или –0,3

                                                                      III. Объяснение нового материала.

1. У с т н а я   р а б о т а  (актуализация знаний).Упростить выражение:а)  ;            б)  ;            в) 3^{п + 1} – 3^{п – 1}.2. Привести легенду об индийском принце и изобретателе шахмат, который в награду за изобретение попросил столько пшеничных зерен, сколько их получится, если на 1-ю клетку положить одно зерно, на вторую – в два раза больше, на третью – в два раза больше, чем на вторую, и т. д. до 64-й клетки.Количество зерен в клетках составляет геометрическую прогрессию 1; 2; 2²; 2³; … 2⁶³. Если мы сумму обозначим через S, тоS = 1 + 2 + 2² + 2³ + … + 2⁶³. Домножим обе части на знаменатель геометрической прогрессии:2S = 2 + 2² + 2³ + … + 2⁶³ + 2⁶⁴;2S – S = (2 + 2² + 2³ + … + 2⁶³ + 2⁶⁴) – (1 + 2 + 2² + 2³ + … + 2⁶³);S = 2⁶⁴ – 1.Если подсчитать это число и перевести на килограммы, то масса превысит триллион тонн.3. Решая предыдущую задачу, мы уже определим принцип вывода формулы суммы первых п членов геометрической прогрессии.Повторим эти рассуждения для произвольных b₁ и q.S_п = b₁ + b₂ + b₃ + … b_{п – 1} + b_п;                       (1) , так как b₁q = b₂, , получаем .               (2)Вычитаем почленно из (2) равенство (1) и получаемS_n (q – 1) = b_nq – b₁, тогда

– формула суммы  первых    п членов геометрической    прогрессии.

Задать учащимся вопрос: а как быть в случае, когда q =1?4. Также можно дать задание самостоятельно преобразовать формулу, чтобы выражать сумму только через b₁, q и п. IV. Формирование умений и навыков.Упражнения:№ 648, № 649 (а, г). Самостоятельное решение упражнений на «прямое» применение формулы II.№ 651 (а, б), № 653. Решение у доски с комментариями.№ 654.Р е ш е н и еа) (х_п) – геометрическая прогрессия; х₅ = 1  =  ; q =  .х₅ = х₁ · q⁴;     = х₁ ·  ;     =   · х₁;   х₁ = 90.S₅ =  ;     S₅ =   = 134 .О т в е т: 134 .При решении этого примера можно использовать обе формулы нахождения суммы первых п членов геометрической прогрессии, и учащиеся должны уметь выбирать формулу в зависимости от задачной ситуации.№ 655. Это задание повышенной трудности, для решения которого следует не только подставлять значения в формулу, но и оценивать результат, исключать посторонние решения.Р е ш е н и е

а1 > 0, a3 > 0, a5 > 0  а2 < 0, а4 < 0

q < 0

а₁ = 2, a₅ = 162;a₅ = а₁ · q⁴;      162 = 2 · q⁴;                        q⁴ = 81;                        q = –3, так как q < 0.S₆ =  ;     S₆ =