Материал: Уравнения и неравенства с двумя переменными

 _{– 1} + х_{п + 1,}х_п – х_{п – 1} = х_{п + 1} – х_п, то есть разность между последующим и предыдущим членами последовательности (х_п) остается постоянной. Значит, (х_п) – арифметическая прогрессия  .

IV. Формирование умений и навыков.Задачи, решаемые на этом уроке, более разнообразны по сравнению с предыдущим уроком. Теперь мы можем использовать определение арифметической прогрессии, ее свойство и признак, формулу п-го члена.Кроме того, появляются задачи, в тексте которых не задана арифметическая прогрессия в явном виде. Нужно «перевести» условие на математический язык, «увидеть» арифметическую прогрессию, решить задачу и формулировку ответа опять «перевести» на язык условия.Упражнения:1. № 580, № 585. Самостоятельное решение заданий на «прямое» применение формулы п-го члена и нахождения разности.№ 582. Решение у доски с объяснениями. Необходимо самостоятельно задать арифметическую прогрессию (х_п), гдех₁ = 50 (м/мин) – скорость поезда в конце первой минуты;d = 50 (м/мин) – увеличение скорости;х₂₀ –?х₂₀ = х₁ + d (20 – 1);х₂₀ = 50 + 50 · 19 = 50 · 20 = 1000 (м/мин).Обращаем внимание, что скорость принято выражать в км/ч, значит, ответ   · 60 = 60 (км/ч).№ 587.2. № 589, № 593. Эти упражнения на неоднократное применение формулы п-го члена арифметической прогрессии, сводящиеся к решению системы уравнений либо неравенства.Особое внимание следует уделить анализу условия. Решение полученной системы уравнений и неравенства ученики могут осуществить самостоятельно.3. Упражнение на применение свойства арифметической прогрессии носит развивающий характер.Первый член арифметической прогрессии равен 7. Найдите второй и третий ее члены, если известно, что они являются квадратами двух последовательных натуральных чисел.Р е ш е н и еПусть (а_п) – арифметическая прогрессия, гдеа₁ = 7;а₂ = п²;а₃ = (п + 1)², п  N.По свойству арифметической прогрессии:а₂ =  ;а₁ + а₃ = 2а₂;7 + (п + 1)² = 2п²;п² – 2п – 8 = 0;п = 4 или п = –2. Так как п  N, то –2 – не удовлетворяет условию.а₂ = 4² = 16;а₃

 = 5² = 25.

V. Итоги урока.

– Сформулируйте свойство арифметической прогрессии.

– Сформулируйте признак арифметической прогрессии.

Домашнее задание: № 581, № 588, № 591; 594

У р о к  61                                                                          Дата:
ФОРМУЛА п-го ЧЛЕНА АРИФМЕТИЧЕСКОЙ ПРОГРЕССИИ
(аналитическая)

Цели: вывести аналитическую формулу п-го члена арифметической прогрессии; формировать умения задавать арифметическую прогрессию аналитической и рекуррентной формулами; закрепить умения и навыки применения формул п-го члена и свойства арифметической прогрессии.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Проверка домашней работы.

1. № 594. У доски – решение с комментариями ученика.

Р е ш е н и е

d = –18,7 – (–20,3) = 1,6;

а_п = –20,3 + 1,6 (п – 1);

а_п = –21,9 + 1,6п.

Пусть а_п > 0, тогда –21,9 + 1,6п > 0;

п >  ;

п > 13,6875.

Значит, п = 14 – порядковый номер первого положительного члена арифметической прогрессии.

а₁₄ = –21,9 + 1,6 · 14 = 0,5.

2. Ответы учащихся на вопросы  по домашней работе.

III. Объяснение нового материала.

1. а_п = а₁ + d (п – 1) – формула п-го члена арифметической прогрессии. Запишем ее в виде а_п = d · п + (а₁ – d), так как (а₁ – d) – некоторое число, то обозначим его b = а₁ – d и k = d, тогда получаем, что любая арифметическая прогрессия может быть задана формулой вида  , где k и b – некоторые числа. Такие формулы мы встречали при изучении последовательностей. Делаем вывод, что арифметическую прогрессию можно задать не только рекуррентной

, но и аналитической формулой.

Более того, верно и обратное утверждение: последовательность (а_п), заданная формулой вида а_п= k · п + b, где k и b – некоторые числа, является арифметической прогрессией.

 Найдем разность (п + 1)-го и п-го членов последовательности (а_п):

а_{п + 1}– а_п = k (п + 1) + b – (kп + b) = kп + k + b – kп – b = k. Значит, при любом п справедливо а_{п + 1} = а_п+ k и по определению (а_п) – арифметическая прогрессия с разностью k.  

IV. Формирование умений и навыков.

Упражнения:

№ 597. Можно решать устно.

№ 583. При решении этой задачи необходимо использовать сведения из курса геометрии (подобие треугольников). Обозначив А₁В₁ = х, получим А₂В₂ = 2х; А₃В₃ = 3х; … А_пВ_п = п · х, где х = 1,5 (см), получим последовательность, заданную формулой А_пВ_п = 1,5 · п, то есть формула имеет вид а_п= kп + b, где k = 1,5; b = 0. Дальнейшие вычисления проводим, используя формулу п-го члена арифметической прогрессии.

V. Самостоятельная работа.

В а р и а н т  1

1. Зная первые два члена арифметической прогрессии 3,4; –0,2; …, найдите следующие за ними четыре ее члена.

2. В арифметической прогрессии (b_п) известны b₁ = –0,8, d = 4. Найдите b₃; b₂₄.

3. В арифметической прогрессии (х_п) известны х₁ = 14 и d = 0,5. Найдите номер члена прогрессии, равного 34.

4.* Мастерская изготовила в январе 106 изделий, а в каждый следующий месяц изготовляла на 12 изделий больше, чем в предыдущий. Сколько изделий изготовила мастерская в июне?

В а р и а н т  2

1. Зная первые два члена арифметической прогрессии 2,8; –0,4; …, найдите следующие за ними четыре ее члена.

2. В арифметической прогрессии (а_п) известны а₁ = –1,2, d = 3. Найдите а₄; а₂₁.

3. В арифметической прогрессии (

b_п) известны b₁ = 12 и d = 3. Найдите номер члена прогрессии, равного 27.4.* Бригада стеклодувов изготовила в январе 80 изделий, а в каждый следующий месяц изготовляла на 17 изделий больше, чем в предыдущий. Сколько изделий изготовила мастерская в августе?Упражнения под звездочкой не обязательны для выполнения.О т в е т ы:

Задание	I вариант	II вариант
1	–3,8; –7,4; –11; –14,6	–3,6; –6,8; –10; –13,2
2	b3 = 7,2; b24 = 71,2	а4 = 7,8; а21 = 58,8
3	п = 41	п = 6
4	166	199

Так как самостоятельная работа носит обучающий характер, то целесообразно проверить ее на этом уроке.VI. Итоги урока.Анализ результатов самостоятельной работы.Домашнее задание: № 590, № 592, № 594; № 598.              У р о к  62                                                Дата:
НАХОЖДЕНИЕ СУММЫ ПЕРВЫХ пЧЛЕНОВ
АРИФМЕТИЧЕСКОЙ ПРОГРЕССИИЦели: вывести формулу суммы первых п членов арифметической прогрессии; формировать умение применять эту формулу при решении задач.Ход урокаI. Организационный момент.II. Актуализация знаний.У с т н о:1. Сформулируйте определение арифметической прогрессии.2. Приведите пример арифметической прогрессии.3. Сформулируйте определение разности арифметической прогрессии.4. Назовите формулу п-го члена арифметической прогрессии.П и с ь м е н н о:

В а р и а н т  1. № 578 (а).

В а р и а н т  2. № 578 (б).

III. Объяснение нового материала.1. Создание проблемной ситуации.З а д а ч а. Ученик мастера изготовил в первую неделю работы 15 гончарных изделий, а в каждую следующую неделю изготовлял на 5 изделий больше, чем в предыдущую. Сколько изделий ученик изготовил за восьмую неделю? Сколько изделий ученик изготовил всего в течение десяти недель?