Материал: Теория вероятностей. учебно-методическое пособие. Колпачев В.Н., Каверина В.К
3. ВАРИАНТЫ РАСЧЕТНО-ГРАФИЧЕСКОЙ РАБОТЫ
3.1. Характеристика заданий
Студенты выполняют один из 30 вариантов расчетно-графической работы, каждый из которых содержит 10 заданий. Приступая к выполнению расчет- но-графической работы, студент должен знать основные определения, понятия и формулы теории вероятностей. Для этого ему нужно будет изучить первую и вторую главы данного пособия.
Первое задание расчетно-графической работы связано с классическим определением вероятности. Отметим, что в этом задании потребуется от студента знание элементов комбинаторики. При решении первой задачи студент должен обратить внимание на примеры 1.1 – 1.10.
Второе задание посвящено теоремам сложения и умножения вероятностей. В первую очередь, студенту необходимо разобраться с такими понятиями, как совместные и несовместные, зависимые и независимые события, а также с понятиями суммы и произведения событий. В этой задаче требуется обратить внимание на примеры 1.11 и 1.12.
Третье задание связано со знанием студентами формулы полной вероятности (см. примеры 1.13 и 1.14).
Четвертое, пятое и шестое задания расчетно-графической работы на-
правлены на освоение студентом схемы Бернулли. Отметим, что в четвертом задании следует использовать формулу Бернулли, в пятом – локальную и интегральную формулы Муавра-Лапласа, а в шестом задании – формулу Пуассона. Решая эти задачи, студент должен обратить внимание на примеры 1.15 – 1.20.
Седьмое и восьмое задания расчетно-графической работы посвящены дискретной случайной величине. Седьмое задание требует от студентов умения составлять закон распределения дискретной случайной величины (см. примеры 2.1 и 2.2). Восьмое задание связано с вычислением числовых характеристик дискретной случайной величины. При выполнении этого задания студентам следует обратить внимание на пример 2.3.
В девятом задании расчетно-графической работы студенты познакомятся с непрерывной случайной величиной. Выполняя данное задание, студент может использовать пример 2.4.
Десятое задание расчетно-графической работы посвящено нормальному закону распределения непрерывной случайной величины. При решении десятого задания необходимо обратить внимание на пример 2.5.
31
3.2. Индивидуальные задания
Вариант 1
1.В урне 4 черных, 6 белых и 5 красных шаров. Наудачу извлечены 7 шаров. Найти вероятность того, что среди них окажутся 2 черных, 3 белых и 2 красных шара.
2.Рабочий обслуживает 3 станка. Вероятность того, что в течение смены первый станок потребует его внимания, равна 0,2; второй – 0,25; третий – 0,3. Найти вероятность того, что в течение смены внимания рабочего потребуют какие-либо два станка; все три станка.
3.Три станка подают детали в общий бункер. Вероятность выпуска бракованной продукции для первого станка 0,03, для второго – 0,02 и для третьего – 0,01. Производительность первого станка в 3 раза больше производительности второго, а производительность третьего в два раза больше, чем второго. Какова вероятность того, что взятая наудачу деталь из бункера окажется годной?
4.Вероятность надежной работы конструкции при приложении расчетной нагрузки равна 0,96. Найти вероятность того, что из 10 конструкций, испытанных независимо друг от друга, больее двух выйдут из строя.
5.Вероятность выхода из строя каждого из 900 независимо работающих элементов некоторого узла в течение заданного времени равна 0,1. Найти вероятность того, что по истечении заданного времени будут работать 800 элементов; будут работать от 800 до 850 элементов.
6.Завод отправил на базу 2000 изделий. Вероятность повреждения изделия в пути равна 0,0015. Найти вероятность того, что в пути будет повреждено: хотя бы одно изделие; не более одного изделия.
7.В бригаде 8 рабочих, из них 5 учатся. Наудачу по списку отобраны 3
человека. Составить закон распределения дискретной |
случайной |
величины |
||||||
X – числа рабочих, которые учатся. Найти M X , D X |
и X . |
|
||||||
8. Случайная величина Х задана законом распределения |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Х |
|
0,7 |
1,5 |
4 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
Р |
0,2 |
0,4 |
0,1 |
… |
|
|
|
Найти математическое ожидание |
и |
дисперсию |
случайной |
величины |
||||
Z2X 2 1,5X .
9.Плотность распределения вероятностей случайной величины X равна
32
|
0 |
|
при |
|
x 0, |
|
|
|
2a x |
|
|
|
|
|
|
|
при 0 |
x 2a, |
|
|
|||
f x |
2a2 |
|
|
|
|||
|
|
при |
|
x 2a. |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
Найти интегральную функцию |
распределения |
F x , |
M X , |
D X и |
|||
вероятность P a X 1,5a . |
|
|
|
|
|
|
|
10. Диаметр детали – нормально распределенная случайная величина с параметрами: a 75 мм, 2 мм. Найти вероятность того, что диаметр наудачу взятой из партии детали составит от 74 до 76,4 мм; отличается от а не более чем на 1,4 мм. Какое отклонение диаметра от а можно гарантировать с вероятностью 0,92? В каких пределах лежат диаметры практически всех изготовленных деталей?
Вариант 2
1.В партии из 7 деталей 5 стандартных. Наудачу отобраны 3 детали. Какова вероятность того, что среди них 2 детали стандартны?
2.В поисках нужной книги студент опрашивает 3-х товарищей. Вероятности получить нужную книгу у 1-го, 2-го, 3-го товарищей соответственно равны 0,3; 0,4; 0,5. Определить вероятность того, что студент получит книгу только у одного из товарищей.
3.Часы изготавливаются на трех заводах и поступают в магазин. Первый завод производит 40 % всей продукции, второй – 35 %, третий – 25 %. Из продукции первого завода спешат 10 % часов, у второго – 15 %, у третьего – 20 %. Какова вероятность того, что купленные часы спешат?
4.Вероятность выхода из строя конструкции при приложении расчетной нагрузки 0,05. Какова вероятность того, что из восьми конструкций, испытанных независимо друг от друга, не менее шести выдержат нагрузку?
5.Произведено 100 выстрелов, вероятность попадания при одном выстреле – 0,95. Найти вероятность того, что попали 96 раз; не менее 96 раз.
6.Завод отправил на базу 2000 изделий. Вероятность повреждения изделия в пути равна 0,002. Найти вероятность того, что будет повреждено не более трех изделий.
7.Устройство состоит из четырех независимо работающих элементов. Вероятность отказа каждого элемента в течение времени t равна 0,2. Составить закон распределения случайной величины X – числа работающих элементов в
X , D X и X .
8. Независимыеслучайныевеличины Х иY заданы законамираспределения.
33
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
0,4 |
|
0,6 |
1,25 |
|
2 |
|
|
Y |
0,5 |
|
1,5 |
2 |
|
|
|
P |
0,25 |
0,15 |
0,2 |
|
… |
|
|
P |
0,4 |
|
0,1 |
… |
|
|
|
Найти дисперсию случайной величины Z 3X 2 |
2Y . |
|
|
|
|
|||||||||||
9. Плотность распределения вероятностей случайной величины X равна |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
0 |
|
|
при |
|
x 1, |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
при |
0 x 2, |
|
|
|
|
|||
|
|
|
f x c(x2 1) |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
0 |
|
при |
|
x 2. |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Найти коэффициент |
с, |
интегральную функцию распределения F x , |
M X , |
|||||||||||||
D X и вероятность |
P 1,5 X 2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
10. Автомат штампует детали. Контролируемая длина детали X распределена по нормальному закону с математическим ожиданием (проектная длина) а 120 мм. Фактическая длина изготовленных деталей не менее 116,5 мм и не более 123,5 мм. Найти вероятность того, что длина наудачу взятой детали меньше 117,2 мм. Какое отклонение длины детали от математического ожидания можно гарантировать с вероятностью 0,99?
Вариант 3
1.В цехе работают шесть мужчин и четыре женщины. По табельным номерам наудачу отобраны семь человек. Найти вероятность того, что среди отобранных окажутся три женщины.
2.Вероятности того, что нужная сборщику деталь содержится в первом, втором, третьем или четвертом ящиках, соответственно равны: 0,6; 0,7; 0,8; 0,9. Найти вероятность того, что нужная деталь содержится не менее чем в двух ящиках.
3.На автобазе имеется 80 грузовых и 20 легковых автомашин. Вероят-
ность того, что грузовая машина неисправна, равна 0,08, а легковая – 0,05. Найти вероятность того, что наудачу по номеру вызванная автомашина окажется исправной.
4.Произведено 12 независимых выстрелов по цели. Вероятность попадания при одном выстреле равна 0,85. Найти вероятность того, что будет не менее двух промахов в цель.
5.Событие В появится в том случае, если событие А наступит не менее 150 раз. Найти вероятность появления события В, если произведено 200 независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события А рав-
на 0,7.
6.Завод отправил на базу 1000 изделий. Вероятность повреждения изделия в пути равна 0,002. Найти вероятность того, что в пути будет повреждено
34
ровно три изделия; менее трех.
7. На складе имеются 8 покрышек, из них 3 - изношенных. Наудачу отобраны 3 покрышки. Составить закон распределения дискретной случайной величины X – число годных покрышек среди отобранных. Найти M X , D X
иX .
8.Случайная величина X задана законом распределения
X |
‒0,3 |
0,5 |
1 |
2 |
P |
0,2 |
0,2 |
0,25 |
… |
Найти математическое ожидание и дисперсию величины Z 2X 3X 2 .
9. Плотность распределения вероятностей случайной величины X равна
|
0 |
при |
x 1, |
|
|
при |
1 x 3, |
f x a(x 1) |
|||
|
0 |
при |
x 3. |
|
|||
Найти коэффициент а, интегральную функцию распределения F x , M X , D X и вероятность P(1 X 1,5) .
10. Автомат штампует детали. Контролируемая длина детали Х распределена по нормальному закону с математическим ожиданием (проектная длина) а 135 мм. Фактическая длина изготовленных деталей 131 X 139 мм. Найти вероятность того, что длина наудачу взятой детали меньше 133 мм. Какое отклонение длины детали от а можно гарантировать с вероятностью 0,96?
Вариант 4
1.В группе 16 студентов, среди которых 4 отличника. По списку наудачу отобраны 9 студентов. Найти вероятность того, что среди отобранных студентов 3 отличника.
2.ОТК проверяет три изделия на соответствие стандарту. Вероятность того, что первое изделие стандартно, равна 0,8; второе – 0,9; третье – 0,95. Найти вероятность того, что из проверенных изделий только одно стандартно; хотя бы одно стандартно.
3.В первой урне 10 шаров, из них 8 белых; во второй – 20 шаров, из них 4 белых. Из каждой урны наудачу извлекли по одному шару, а затем из этих шаров взяли один шар. Найти вероятность того, что этот шар белый.
4.Вероятность безотказной работы каждого из семи независимо работающих элементов некоторого устройства равна 0,85. Найти вероятность того, что выйдут из строя не более трех элементов.
5.Испытывается каждый из 120 элементов некоторого устройства. Веро-
35