Министерство образования и науки Российской федерации
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования
«Воронежский государственный архитектурно–строительный университет»
В.Н. Колпачев, В.К. Каверина, В.В. Горяйнов, А.Д. Чернышов
ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
Учебно-методическое пособие
Воронеж 2015
УДК 519.21(075) ББК 22.17я7
К615
Рецензенты:
кафедра математического анализа Воронежского государственного университета;
Н.В. Минаева, д-р физ.-мат. наук, проф. кафедры высшей математики Воронежского государственного университета инженерных технологий
Колпачев, В.Н.
К615 Теория вероятностей: учеб-метод. пособие /
В.Н. Колпачев, В.К. Каверина, В.В. Горяйнов, А.Д. Чернышов; Воронежский ГАСУ – Воронеж, 2015. – 69 с.
Содержит теоретический материал по курсу «Теория вероятностей», изучаемому студентами, обучающимися по направлениям подготовки бакалавров «Управление персоналом» и «Менеджмент». Приведены 30 вариантов расчет- но-графической работы с примерами решения типовых задач.
Предназначено для самостоятельной работы студентов указанных направлений. Будет полезно студентам других специальностей и направлений подготовки бакалавров.
Библиогр.: 6 назв.
УДК 519.21(075) ББК 22.17я7
ISBN 978-5-89040-534-0 |
© Колпачев В.Н., Каверина В.К., |
|
Горяйнов В.В., Чернышов А.Д., 2015 |
|
© Воронежский ГАСУ, 2015 |
2
ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение……………………….………………………………………..... 4
1.Случайные события …………………………………………………. 5
1.1.Элементы комбинаторики……………………………………….. 5
1.1.1. Принцип умножения……………………………………… 5
1.1.2.Размещения………………………………………………... 5
1.1.3.Перестановки……………………………………………… 6
1.1.4.Сочетания………………………………………………….. 6
1.2.Основные определения…………………………………………... 7
1.3.Классическое определение вероятности………………………... 8
1.4.Теоремы сложения и умножения вероятностей………………... 10
1.5.Формула полной вероятности…………………………………… 12
1.6.Схема Бернулли…………………………………………………... 14
1.6.1.Формула Бернулли………………………………………... 14
1.6.2.Формула Пуассона………………………………………... 14
1.6.3.Локальная формула Муавра-Лапласа……………………. 15
1.6.4.Интегральная формула Муавра-Лапласа………………... 16
2.Случайные величины……………………………………………….. 18
2.1.Дискретные случайные величины………………………………. 18
2.2. Числовые характеристики дискретной случайной величины… |
19 |
2.2.1. Математическое ожидание дискретной |
|
случайной величины……………………………………… |
19 |
2.2.2. Дисперсия дискретной случайной величины…………… |
20 |
2.2.3.Среднее квадратическое отклонение…………………….. 21
2.3.Непрерывные случайные величины…………………………….. 25
2.4.Числовые характеристики непрерывной случайной величины. 26
2.5. Нормальный закон распределения……………………………… |
29 |
3. Варианты расчетно-графической работы………………………… |
31 |
3.1.Характеристика заданий…………………………………………. 31
3.2.Индивидуальные задания………………………………………... 32
Заключение………………………………………………………………. 68
Библиографический список рекомендуемой литературы………… 68
3
ВВЕДЕНИЕ
Теория вероятностей – раздел математики, который изучает закономерности случайных явлений. Возникновение теории вероятностей относится к середине XVIII века и связано с именами Гюйгенса, Паскаля, Ферма и Якова Бернулли. Современное развитие теории вероятностей характеризуется большим интересом к ней, а также расширением круга ее практических приложений.
Предлагаемое учебно-методическое пособие содержит краткий теоретический материал и варианты расчетно-графической работы по курсу «Теория вероятностей», изучаемому студентами, обучающимися по направлениям подготовки бакалавров «Управление персоналом» и «Менеджмент».
Данное пособие состоит из трех глав. Первая глава посвящена случайным событиям и включает основные определения теории вероятностей, элементы комбинаторики, классическое определение вероятности, теоремы сложения и умножения вероятностей, формулу полной вероятности и схему Бернулли.
Во второй главе приводятся сведения о случайных величинах – дискретных и непрерывных. Рассматриваются такие их числовые характеристики, как математическое ожидание, дисперсия и среднее квадратическое отклонение. Описан нормальный закон распределения непрерывной случайной величины.
Тридцать вариантов и характеристика заданий расчетно-графической работы приведены в третьей главе. Каждый вариант содержит 10 заданий. Подробное решение задач, подобных входящим в расчетно-графическую работу, приведено в тексте учебно-методического пособия.
Авторы выражают благодарность кандидату физ.-мат. наук, доценту А.М. Дементьевой, внимательно прочитавшей рукопись. Ее ценные замечания и рекомендации помогли улучшить содержание пособия.
4
1. СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ
1.1.Элементы комбинаторики
1.1.1.Принцип умножения
Пусть необходимо выполнить одновременно k действий. Если первое действие можно выполнить n1 способами, второе - n2 способами, ..., k -е дейст-
вие - nk способами. Тогда все k действий вместе можно выполнить
n1 n2 nk способами.
Пример 1.1. Сколько существует двузначных чисел?
Решение. Двузначное число – это число, состоящее из двух цифр: первая цифра показывает число десятков, вторая цифра – число единиц. Первая цифра может быть любой, кроме 0, следовательно n1 9, вторая цифра может быть
любой, поэтому n2 10. Значит, всего двузначных чисел: |
n1 n2 9 10 90 . |
Другой способ решения этой задачи – это простой перебор всех двузначных чисел.
Пример 1.2. Подбрасывают три игральные кости и наблюдают за числом очков, выпавших на каждой кости. Сколько различных комбинаций может быть?
Решение. В первом действии подбрасываем первую игральную кость, на выпавшей грани может появиться от одного до шести очков, т.е. n1 6 . Анало-
гично n2 6 , n3 6 . Тогда число всех комбинаций: n1 n2 n3 6 6 6 216.
Замечание 1.1. Если на выполнение какого-либо из k действий наложено ограничение, то подсчет удобнее начинать с выполнения именно этого действия.
Пример 1.3. В машине 7 мест, одно место водителя. Сколькими способами могут сесть в машину 7 человек, если место водителя могут занять только трое из них?
Решение. Учитывая замечание 1.1, начнем с места водителя n1 3, следующее место может занять любой из оставшихся человек, т.е. n2 6 , анало-
гично |
n3 5, |
n4 4, |
n5 3, |
n6 2 , |
n7 1. |
Следовательно, |
n1 n2 n3 |
n4 n5 n6 |
n7 3 6 5 4 3 2 1 2160. |
|
|
||
|
|
|
1.1.2. Размещения |
|
|
|
Пусть A - множество, состоящее из элементов a1,a2 ,...,an . |
|
|||||
Определение 1.1. Упорядоченные наборы, |
состоящие из k элементов |
|||||
5