Материал: Теория вероятностей. учебно-методическое пособие. Колпачев В.Н., Каверина В.К
деталей составляет 0,15. Найти вероятность того, что более 9 деталей окажутся стандартными.
5.Электрическая цепь состоит из 600 параллельно включенных потребителей. Вероятность отказа каждого из них равна 0,1, а взаимное влияние в цепи отсутствует. Найти вероятность того, что откажут 40 потребителей.
6.Вероятность изготовления бракованной детали равна 0,002. Найти вероятность того, что среди 1000 деталей окажется не менее трех бракованных.
7.Вероятность нестандартности детали – 0,1. Наудачу отобраны 4 детали. Составить закон распределения дискретной случайной величины X – числа нестандартных деталей среди отобранных. Построить многоугольник распределе-
X , D X и X .
8. Дискретная случайная величина X задана законом распределения
X |
‒2 |
2,5 |
2 |
3 |
P |
0,2 |
0,4 |
0,1 |
… |
Найти M 3X 2X 2 и D 3X 2X 2 .
9. Плотность распределения вероятностей случайной величины X задана графически:
Найти аналитическое выражение для f x ; интегральную функцию распределения F x , M X , D X и вероятность P 0,25 X 1 .
10. Диаметр изготовляемой в цехе партии деталей является случайной величиной, распределенной по нормальному закону с параметрами: a 45 мм,1 мм. Найти вероятность того, что диаметр наудачу взятой детали составляет от 44 до 47 мм; отклоняется от а не более чем на 1,1 мм. Какое отклонение диаметра детали от а можно гарантировать с вероятностью 0,96? В каком интервале с вероятностью 0,9973 будут заключены диаметры изготовленных деталей?
Вариант 22
1. Из полной колоды карт (52 штуки) извлекаются наугад сразу 3 карты. Найти вероятность того, что эти карты будут: тройка, семерка, туз.
56
2. Устройство состоит из 4 независимо работающих узлов, каждый из которых в течение времени t может выйти из строя. Вероятность выхода из строя за время t первого узла p1 0,2, второго узла p2 0,15, третьего p3 0,1, чет-
вертого p4 0,12 . Найти вероятность того, что за время t выйдут из строя два узла.
3.В двух урнах находятся шары. В первой – 6 белых и 3 черных, во второй – 4 белых и 7 черных. Из второй урны не глядя вынут один шар и переложен в первую. Затем из первой урны наудачу извлекается один шар. Какова вероятность того, что этот шар черный.
4.Отбирают для контроля 10 деталей. Известно, что брак при изготовлении деталей составляет 20 %. Найти вероятность того, что не менее 8 деталей окажутся стандартными.
5.Испытывается каждый из 1400 независимо работающих элементов некоторого устройства. Вероятность того, что элемент выдержит испытание, равна 0,9. Найти вероятность того, что выдержат испытание от 1250 до 1300 элементов; ровно 1250 элементов.
6.Вероятность изготовления бракованной детали равна 0,005. Найти вероятность того, что среди 600 деталей окажется не более 4-х бракованных.
7.В комплекте 10 деталей, из них 7 деталей первого сорта, остальные второго. Наудачу извлечены 4 детали. Составить закон распределения дискретной случайной величины X – числа стандартных деталей среди отобранных.
X , D X и X .
8. Закон распределения случайной величины X имеет вид
X |
5 |
2 |
3 |
4 |
P |
0,1 |
0,3 |
0,4 |
… |
Найти дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины
ZX 2 2X .
9.Плотность распределения вероятностей случайной величины X задана графически:
Найти аналитическое выражение для плотности f x ; интегральную функцию распределения F x , M X и вероятность P 1 X 1,5 .
57
10. Автомат штампует детали. Контролируется длина детали X, которая распределена по нормальному закону с математическим ожиданием (проектная длина) а=155 мм. Фактическая длина изготовленных деталей 149,5 X 160,5
мм. Найти вероятность того, что длина наудачу взятой детали больше 157,2 мм. Какое отклонение длины детали от а можно гарантировать с вероятностью
0,92?
Вариант 23
1.Из полной колоды карт (52 штуки) извлекаются наугад сразу 4 карты. Найти вероятность того, что эти карты будут королями.
2.Прибор состоит из 3-х независимо работающих узлов, каждый из которых может в течение времени t выйти из строя. Вероятность безотказной рабо-
ты за время t первого узла равна p1 0,8, второго узла p2 0,9, третьего – p3 0,7 . Найти вероятность того, что за время t выйдут из строя ровно 2 узла; хотя бы 1 узел; все 3 узла.
3.В 4-х урнах белые и черные шары, одинаковые на ощупь. В первой – 3 белых и 1 черный шар, во второй – 6 белых и 4 черных, в третьей – 9 белых и 1 черный, в четвертой – 2 белых и 5 черных. Из наудачу выбранной урны случайным образом вынимается 1 шар. Найти вероятность того, что он белый.
4.Отбирают для контроля 30 деталей. Известно, что брак при изготовлении деталей составляет 15 %. Найти вероятность того, что не более двух деталей окажутся стандартными.
5.Контролируются 700 пневматических шин. Известно, что доля негодных шин при изготовлении составляет 10 %. Найти вероятность того, что не менее 620 и не более 660 шин окажутся годными; ровно 640 шин окажутся годными.
6.Автомат штампует детали. Вероятность того, что изготовленная деталь окажется бракованной, равна 0,004. Найти вероятность того, что среди 1000 деталей будет не менее трех бракованных.
7.Устройство состоит из 3-х элементов, работающих независимо. Вероятность работы элемента в одном испытании равна 0,85. Составить закон распределения дискретной случайной величины X – числа отказавших элементов в
X , D X и X .
8. Независимыеслучайныевеличины X иY заданызаконамираспределения
.X |
1 |
3 |
5 |
6 |
P |
0,2 |
0,3 |
0,4 |
… |
Y |
1,5 |
2 |
2,5 |
P |
0,2 |
0,5 |
… |
Найти дисперсию случайной величины Z 3X 2Y 2 .
9. Плотность распределения вероятностей случайной величины X задана графически:
58
Найти аналитическое выражение для f x , интегральную функцию распределения F x , математическое ожидание M X , дисперсию D X и вероятность P 0 X 0,5 .
10. На станке изготавливается деталь. Ее длина X – случайная величина распределенная по нормальному закону с параметрами: a 25 см, 2 см. Найти вероятность того, что длина детали заключена между 23 и 26,4 см. Какое отклонение длины детали от а можно гарантировать с вероятностью 0,85; 0,95? В каких пределах будут лежать длины практически всех деталей?
Вариант 24
1.В коробке находятся 6 деталей первого сорта, 7 – второго и 4 – третьего сорта. Найти вероятность того, что среди наудачу выбранных 8-ми деталей окажутся 3 детали первого сорта; 3 детали второго сорта и 2 – третьего сорта.
2.Для сигнализации об аварии установлены три независимо работающих сигнализатора. Вероятность того, что при аварии сработает 1-й сигнализатор, равна 0,9, 2-й – 0,85, 3-й – 0,8. Найти вероятность того, что при аварии сработают два сигнализатора; все три.
3.В телеателье имеются 4 кинескопа. Вероятности того, что кинескоп выдержит гарантийный срок службы соответственно равны 0,2; 0,85; 0,9; 0,95. Найти вероятность того, что взятый наудачу кинескоп выдержит гарантийный срок службы.
4.Вероятность выигрыша по одному билету лотереи равна 1/8. Найти вероятность того, что лицо, имеющее 6 билетов, выиграет не более чем по двум билетам.
5.Контролируется работа каждого из 100 независимых узлов устройства. Вероятность того, что узел окажется неисправным, равна 0,2. Найти вероятность того, что не менее 70 узлов окажутся исправными; ровно 70 узлов окажутся исправными.
6.Вероятность нарушения герметичности баллона равна 0,005. Найти вероятность того, что среди 600 баллонов окажется хотя бы один негерметичный; менее двух негерметичных.
59
7. В партии из 6 деталей имеется 4 стандартных. Наудачу отобраны 3 детали. Составить закон распределения дискретной случайной величины X – чис-
ла стандартных деталей среди отобранных. Найти M X , D X и X .
8. Независимыеслучайныевеличины X иY заданызаконамираспределения
.X 2 3 4,5
P 0,15 0,6 …
|
|
|
|
|
Y |
0,5 |
1 |
2,5 |
3 |
P |
0,2 |
0,1 |
0,3 |
… |
Найти дисперсию случайной величины Z X 2 3Y .
9. Плотность распределения вероятностей f x случайной величины X задана графически:
Написать аналитическое выражение для f x , найти интегральную функцию
распределения F X , математическое ожидание |
M X , дисперсию |
D X , |
P 1 X 0 . |
|
|
10. Диаметр изготавливаемой в цехе партии деталей является случайной величиной, распределенной по нормальному закону с параметрами a 80 мм,2,2 мм. Найти вероятность того, что диаметр наудачу взятой детали соста-
вит от 79 до 81,8 мм. С какой вероятностью он отличается от математического ожидания не более чем на 1,8 мм? Какое отклонение диаметра детали от математического ожидания можно гарантировать с вероятностью 0,91? В каком интервале с вероятностью 0,9973 будут заключены диаметры изготовленных деталей?
Вариант 25
1.В ящике лежат 5 красных, 7 синих и 6 зеленых шаров, одинаковых на ощупь. Наудачу извлекаются 6 шаров. Какова вероятность того, что будут вынуты 1 зеленый, 2 синих и 3 красных шара?
2.Отдел технического контроля проверяет изделия на стандартность. Вероятность того, что первое изделие стандартно, равна 0,95, вероятность того, что стандартно второе изделие, равна 0,98. Найти вероятность того, что из двух проверенных изделий только одно стандартно.
3.В пирамиде установлены 5 винтовок, из которых 3 снабжены оптиче-
60