Материал: Теория вероятностей. учебно-методическое пособие. Колпачев В.Н., Каверина В.К
пуска бракованной лампочки равна 0,004, для завода № 2 – 0,005, а для завода № 3 – 0,006. Какова вероятность того, что взятая наудачу лампочка окажется бракованной?
4.Вероятность того, что станок в течение часа потребует внимания рабочего, равна 0,4. Предполагается, что неполадки на станках независимые. Найти вероятность того, что в течение часа внимания рабочего потребуют не менее двух станков из четырех, обслуживаемых им.
5.Из партии деталей отобраны для контроля 210 штук. Известно, что доля стандартных деталей во всей партии составляет 90 %. Найти вероятность того, что более 190 деталей окажутся стандартными; ровно 190 деталей окажутся стандартными.
6.Вероятность того, что изделие не выдержит испытание, равна 0,001.Найти вероятность того, что из 5000 изделий более двух не выдержат испытание.
7.В комплекте 80 % окрашенных деталей, остальные – не окрашены. Наудачу отобраны три детали. Составить закон распределения дискретной случайной величины X – числа окрашенных деталей среди отобранных. Найти
X , D X и X .
8. Дискретная случайная величина X задана законом распределения
X |
1 |
2 |
3 |
P |
0,2 |
0,5 |
… |
Найти M X 2 2X и D X 2 2X .
9. Случайнаявеличина X задана плотностью распределения вероятностей
|
0 |
при |
x 1, |
|
|
при |
1 x 1, |
f x c x 1 |
|||
|
0 |
при |
x 1. |
|
|||
Найти: коэффициент с, интегральную функцию распределения F x , |
M X , |
D X и вероятность P 0 X 0,5 . |
|
10. На станке изготавливается деталь. Ее длина X – случайная величина, распределенная по нормальному закону с параметрами a 23,5 см и 1,7 см.
Найти вероятность того, что длина детали будет заключена между 22 и 26 см. Какое отклонение длины детали от а можно гарантировать с вероятностью 0,9; 0,95? В каких пределах будут лежать длины практически всех деталей?
Вариант 18
1. Колода из 52-х карт произвольно делится пополам. Найти вероятность
51
того, что в каждой половике будет ровно по два туза.
2. В приборе имеются четыре независимо работающих блока. Вероятность выхода из строя за время Т блока № 1 равна p1 0,18 ; № 2 – p2 0,15;
№ 3 – p3 0,12 и № 4 – p4 0,1. Найти вероятность того, что за время Т выйдет из строя хотя бы один блок; только один блок.
3.Для участия в студенческих спортивных соревнованиях выделено из группы № 1 четыре студента, из группы № 2 – шесть и из группы № 3 – пять студентов. Вероятность того, что выбранный студент из первой группы попадет
всборную команду, равна 0,5, из второй – 0,4, из третьей – 0,3. Найти вероятность того, что наудачу выбранный студент попадет в сборную.
4.Вероятность того, что станок в течение часа потребует внимания рабочего, равна 0,6. Предполагается, что неполадки на станках независимые. Найти вероятность того, что в течение часа внимания рабочего потребуют не более двух станков из четырех, обслуживаемых им.
5.Отбирают для контроля 500 деталей. Известно, что вероятность брака таких деталей равна 0,1. Найти вероятность того, что от 440 до 470 деталей окажутся стандартными; ровно 440 деталей окажутся стандартными.
6.Аппаратура содержит 2000 независимых элементов. Вероятность отказа каждого из них равна 0,0005. Какова вероятность отказа хотя бы одного элемента; менее трех элементов?
7.В комплекте 9 деталей, среди которых шесть нужного размера. Наудачу отобраны четыре детали. Составить закон распределения дискретной случайной величины X – числа деталей нужного размера среди отобранных. Найти
X , D X и X .
8. Независимыеслучайныевеличины X иY заданызаконамираспределения
|
|
|
|
X |
1 |
1,5 |
2 |
P |
0,2 |
0,5 |
0,3 |
|
|
|
|
Y |
1,75 |
0,8 |
1,6 |
P |
0,2 |
0,5 |
… |
Найти дисперсию случайной величины Z X 2 2Y .
9. Плотность распределения вероятностей случайной величины X задана графически:
Найти и аналитическое выражение для f x ; интегральную функцию распределения F x , M X , D X и вероятность P 0 x 0,5 .
52
10. Диаметр изготавливаемой в цехе партии деталей является случайной величиной, распределенной по нормальному закону с параметрами a 40 мм,0,8 мм. Найти вероятность того, что диаметр наудачу взятой детали соста-
вит от 39 до 42 мм; отклоняется от а не более чем на 1 мм. Какое отклонение диаметра от а можно гарантировать с вероятностью 0,99? В каком интервале с вероятностью 0,9973 будут заключены диаметры изготовленных деталей?
Вариант 19
1.Для уменьшения общего количества игр на соревнованиях 14 команд разбиты по жребию на две подгруппы по 7 команд в каждой. Найти вероятность того, что 2 наиболее сильные команды окажутся в разных подгруппах.
2.В урне 8 синих и 7 зеленых шаров. Наудачу извлекаются 6 шаров. Найти вероятность того, что среди них окажется не менее 5 синих.
3.Вероятности того, что во время работы ЭВМ произойдет сбой в арифметическом устройстве, в оперативной памяти или в остальных устройствах, относятся как 3,5:2,5:4,0. Вероятности обнаружения сбоя в них соответственно равны 0,9; 0,95; 0,85. Найти вероятность того, что возникающий в машине сбой будет обнаружен.
4.На участке четыре независимо работающих станка. Вероятность надежной работы каждого из них – 0,85. Найти вероятность того, что в данный момент работает менее трех из них.
5.Со склада отбирают 300 автопокрышек. Вероятность изношенности покрышки равна 0,15. Найти вероятность того, что более 270-ти покрышек окажутся неизношенными; ровно 270 автопокрышек окажутся неизношенными.
6.Вероятность изготовления бракованной детали равна 0,008. Найти вероятность того, что среди 500 деталей окажется хотя бы одна бракованная; не более одной бракованной.
7.Вероятность нестандартности детали равна 0,14. Наудачу отобраны три детали. Составить закон распределения дискретной случайной величины X –
X и X .
8. Дискретная случайная величина X задана законом распределения
|
X |
1 |
|
0 |
0,5 |
1,2 |
|
2 |
|
|
P |
0,1 |
|
0,05 |
0,2 |
0,3 |
|
… |
|
Найти M X 2 X 1 и D X 2 X 1 . |
|
|
f x случайной величины X |
||||||
9. Плотность распределения |
вероятностей |
||||||||
задана графически: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
53
Найти |
и аналитическое |
выражение для f x . |
Определить интегральную |
функцию |
распределения |
F x , дисперсию |
D X и вероятность |
P 0,5 x 0 . |
|
|
|
10. Автомат штампует детали. Контролируется длина детали X, которая распределена по нормальному закону с математическим ожиданием (проектная длина) a 150 мм. Фактическая длина изготовленных деталей находится в пределах 145 155 мм. Найти вероятность того, что длина наудачу взятой детали будет больше 152 мм. Какое отклонение длины детали от а можно гарантировать с вероятностью 0,93?
Вариант 20
1.В партии из 35-ти изделий есть 5 бракованных. Подвергаются контролю 17 наудачу выбранных изделий. Партия будет принята, если среди них окажется 15 годных. Найти вероятность того, что партия будет принята.
2.В урне 8 синих и 7 красных шаров. Найти вероятность того, что среди 9 наудачу извлеченных шаров окажется более 6 синих.
3.В двух урнах находятся шары. В первой – 9 красных и 8 синих, во второй – 11 красных и 6 синих. Из первой урны вынут один шар и переложен во вторую. Затем из второй урны извлекается наудачу один шар. Найти вероятность того, что это синий шар.
4.В типографии 4 машины. Вероятность надежной работы каждой из них
–0,9. Найти вероятность того, что в данный момент в типографии работает не менее 3-х машин.
5.Вероятность того, что наудачу взятая деталь из партии стандартна, равна 0,92. Найти вероятность того, что среди взятых наудачу 600 деталей менее 50 окажутся нестандартными; ровно 50 деталей окажутся нестандартными.
6.Вероятность неточной сборки прибора равна 0,004. Найти вероятность того, что среди 500 приборов окажется более четырех неточно собранных.
7.В урне 6 белых и 2 черных шара. Наудачу извлечены 5 шаров. Составить закон распределения дискретной случайной величины X – числа белых
шаров среди извлеченных. Найти M X , D X и X . 54
8. Случайные величины X и Y заданы законами распределения
|
|
|
|
|
.X |
0,5 |
2 |
3 |
3,5 |
P |
0,25 |
0,4 |
0,15 |
… |
|
|
|
|
Y |
2,5 |
3 |
4,5 |
P |
0,5 |
0,3 |
… |
Найти среднее квадратическое отклонение случайной величины: Z 3X Y 2 . 9. Плотность распределения вероятностей f x задана графически:
Найти и аналитическое выражение для f x . Определить функцию распределения F x , M X , D X и вероятность Р(-0,5<Х<0).
10. Автомат штампует детали. Контролируется длина детали X, которая распределена по нормальному закону с математическим ожиданием (проектная длина) а=158 мм. Фактическая длина изготовленных деталей находится в пределах 157,6 158,4 мм. Найти вероятность того, что длина наудачу взятой детали будет больше 158,2 мм. Какое отклонение длины детали от а можно гарантировать с вероятностью 0,91? В каких пределах с вероятностью 0,9973 будут заключены длины изготовленных деталей?
Вариант 21
1.С конвейера для комплектования поступают детали, из которых 10 % с дефектами. Комплекты состоят из 20 деталей. Контролируют наудачу отобранные 9 деталей из комплекта, и комплект признается годным, если среди них не более двух деталей с дефектами.
2.В коробке лежат 12 белых и 8 красных шаров одинаковых на ощупь. Вынули 8 шаров. Какова вероятность того, что красных шаров вынуто не более двух?
3.В вычислительной лаборатории имеются 6 клавишных автоматов и 4 полуавтомата. Вероятность того, что за время выполнения некоторого расчета автомат не выйдет из строя, равна 0,98; для полуавтомата эта вероятность равна 0,95. Студент проводит расчет на выбранной наудачу машине. Чему равна вероятность того, что до окончания расчета машина не выйдет из строя?
4.Контролируются 12 деталей. Известно, что вероятность бракованных
55