Материал: Теория вероятностей. учебно-методическое пособие. Колпачев В.Н., Каверина В.К
8. Независимые случайные величины X и Y заданы законами распределе-
ния
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
0,4 |
|
0,6 |
|
1,25 |
2 |
|
|
Y |
0,5 |
1,5 |
2 |
|
||
|
P |
0,25 |
|
0,15 |
|
0,2 |
… |
|
|
|
P |
0,4 |
0,1 |
… |
|
|
Найти дисперсию случайной величины |
Z Y 2 |
2Х2 . |
|
|
|
|
|
|||||||||
9. Плотность распределения вероятностей случайной величины Х равна |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
при |
x 0, |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
при |
0 x / 4, |
|
|
|
|
||
|
|
|
f x a cos2x |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
при |
x / 4. |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Найти коэффициент а, интегральную функцию распределения |
F x , |
M X , |
||||||||||||||
D X и вероятность P 0 X 
6 .
10. Автомат штампует детали. Контролируется длина детали X, которая распределена по нормальному закону с математическим ожиданием (проектная длина) а 145 мм. Фактическая длина изготовленных изделий 140,5 Х 149,5 мм. Найти вероятность того, что длина наудачу взятой детали
больше 147,7 мм. Какое отклонение длины детали от а можно гарантировать с вероятностью 0,94?
Вариант 9
1.Среди 17 студентов группы, из которых 8 девушек, разыгрываются 7 билетов, причем каждый может выиграть только один билет. Какова вероятность того, что среди обладателей билетов окажутся 4 девушки?
2.В урне 4 белых и 6 красных шаров. Наудачу извлекаются 3 шара. Найти вероятность того, что среди них окажется менее двух красных шаров.
3.Два завода выпускают одинаковые изделия. Вероятность брака для первого завода 0,05, для второго – 0,10. Первый завод имеет 200 станков; второй – 300. Изделия поступают на склад. Какова вероятность того, что взятое наудачу со склада изделие является бракованным.
4.Электрическая цепь состоит из 7 параллельно включенных приборов. Вероятность надежной работы каждого из них 0,9, а взаимное влияние в цепи отсутствует. Найти вероятность того, что откажет менее половины приборов.
5.Что вероятнее – выиграть у равносильного противника (ничейный результат исключается) не менее трех партий из пяти, не менее 30 партий из 50 или ровно 30 партий из 50?
6.При штамповке металлических клемм получается в среднем 98 % годных. Какова вероятность того, что среди 200 клемм будут две бракованные; более двух бракованных?
41
7. В команде 11 спортсменов, из них 7 первого разряда и 4 второго. Наудачу выбраны 3 спортсмена. Составить закон распределения дискретной случайной величины X – числа спортсменов первого разряда среди отобранных.
Найти M X , D X и X .
8. Случайная величина X задана законом распределения
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
|
|
0,2 |
1,2 |
|
1,5 |
3 |
|
|
|
|
|
P |
|
0,2 |
0,15 |
0,4 |
… |
|
|
||
Найти |
M (2X 2 X ) и |
D(2X 2 |
X ) . |
|
|
|
|
|
||||
9. Плотность распределения вероятностей случайной величины X равна |
||||||||||||
|
|
|
|
|
0 |
|
при |
|
x 0, |
|
||
|
|
f x |
|
|
|
|
при |
0 x , |
|
|||
|
|
a sin x |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
0 |
|
при |
|
x . |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Найти коэффициент а, интегральную функцию распределения F x , |
M X , |
|||||||||||
D X |
и вероятность |
P(0 X 2 / 3) . |
|
|
|
|
|
|||||
10. Ha станке изготавливается деталь. Ее длина X – случайная величина, распределенная по нормальному закону с параметрами а 22, 0 см, 1, 4 см.
Найти вероятность того, что длина детали будет заключена между 20 и 24,1 см. Какое отклонение длины детали от а можно гарантировать с вероятностью 0,90; 0,95? В каких пределах, симметричных относительно а, будет лежать практически длина любой детали?
Вариант 10
1.Бригада рабочих, состоящая из 6 сборщиков и 10 разнорабочих, произвольным образом делится на 2 равные группы. Какова вероятность того, что в каждой группе окажется одинаковое число сборщиков?
2.В урне 7 черных и 5 желтых шаров. Найти вероятность того, что среди наудачу извлеченных 4-х шаров окажется более 2-х желтых.
3.Три станка-автомата штампуют однотипные детали. Первый станок вырабатывает 45 % всех деталей, второй – 35 %, третий – 20 %. При этом каждый из станков штампует нестандартных деталей в среднем соответственно 2,5 %; 2 %; 1,5 %. Найти вероятность того, что наудачу взятая со склада деталь стандартна.
4.На автобазе имеется 12 автомашин. Вероятность выхода на линию каждой машины равна 0,8. Найти вероятность нормальной работы автобазы в ближайший день, если для этого необходимо иметь на линии не менее 9 автомашин.
42
5.Пусть вероятность того, что наудачу взятая деталь нестандартна, равна 0,1. Найти вероятность того, что среди 200 взятых наудачу деталей окажется не более 20 нестандартных; ровно 20 нестандартных деталей.
6.При штамповке металлических клемм получается в среднем 99 % годных. Найти вероятность того, что среди 500 клемм будет хотя бы одна бракованная; не более двух бракованных.
7.Вероятность попадания в цель при одном выстреле из орудия равна 0,4. Производится четыре выстрела. Составить закон распределения дискретной
X , D X и
X .
8.Независимыеслучайныевеличины Х иY заданызаконамираспределения
X 2 3 1,5 P 0,35 0,25 …
Y |
2 |
0,6 |
1,5 |
2 |
P |
0,15 |
0,5 |
0,15 |
… |
Найти дисперсию случайной величины |
Z 5Y 2 |
3X . |
|
9. Плотность распределения вероятностей случайной величины Х равна |
|||
|
0 |
при |
x 0, |
|
|
при |
0 x / 2, |
f x a cos x |
|||
|
0 |
при |
x / 2. |
|
|||
Найти коэффициент |
а, интегральную функцию распределения F x , |
M X , |
D X и вероятность |
Р 0 Х / 4 . |
|
10. Диаметр детали – случайная величина, распределенная по нормальному закону с параметрами: а 60 мм, 1,5 мм. Найти вероятность того,
что диаметр наудачу взятой из партий детали составит от 58 до 62,4 мм; отличается от а не более чем на 1,2 мм? Какое отклонение диаметра детали от а можно гарантировать с вероятностью 0,95? В каком интервале с вероятностью 0,9973 будут заключены диаметры практически всех изготовленных деталей?
Вариант 11
1.Для проведения лабораторных работ группа студентов, в которой 10 студентов и 6 студенток, произвольным образом делится на 2 равные подгруппы. Найти вероятность того, что в каждой из подгрупп окажется по одинаковому числу студенток.
2.На книжной полке 8 журналов, из которых 5 в переплете. Наудачу взяты 4 журнала. Найти вероятность того, что среди них окажется не менее трех в переплете.
3.В двух урнах имеются шары: в первой – 7 красных и 5 желтых, во вто-
43
рой – 10 красных и 4 желтых. Не глядя извлекаются из первой урны 2 шара, а из второй – 1 шар. Из этих трех шаров затем наудачу вынимается один шар. Найти вероятность того, что этот шар красный.
4.Автобаза обслуживает 12 магазинов. От каждого из них заявка на автомашину на следующий день может поступить с вероятностью 0,4. Найти вероятность того, что на следующий день поступит не более 9-ти заявок.
5.В системе установлено 200 независимо работающих предохранителей. Для каждого из них вероятность выхода из строя по истечении заданного времени работы равна 0,05. Если вышло из строя менее 20 предохранителей, то система не требует ремонта. Найти: вероятность выхода из строя 20 предохранителей; вероятность того, что система не потребует ремонта по истечении заданного времени работы.
6.Радиоаппаратура состоит из 800 независимо работающих элементов. Вероятность отказа одного элемента в течение года работы равна 0,005 и не зависит от состояния других элементов. Какова вероятность отказа двух элементов за год; более двух элементов за год?
7.В коробке находятся 5 деталей первого сорта и 3 – второго сорта. Составить закон распределения дискретной случайной величины X – числа дета-
X .
8. Дискретная случайная величина X задана законом распределения
X |
0,5 |
0,7 |
1,2 |
2 |
P |
0,3 |
0,2 |
0,1 |
… |
Найти М(2Х2 5) и D(2X 2 5) .
9. Дифференциальная функция распределения f(x) случайной величины X
равна
|
0 |
при |
x 1, |
|
|
при |
1 x 2, |
f x a(x 0,5) |
|||
|
0 |
при |
x 2. |
|
|||
Найти коэффициент а, интегральную функцию распределения F x , M X , D X , вероятность Р 1 Х 1,5 .
10. Автомат штампует детали. Контролируется длина Х, которая распределена по нормальному закону с математическим ожиданием (проектная длина) а 135 мм. Фактическая длина изготовленных деталей 131 Х 139 мм. Найти вероятность того, что длина наудачу взятой детали меньше 133 мм. Какое отклонение длины детали от а можно гарантировать с вероятностью 0,96?
44
Вариант 12
1.У сборщика имеется 10 деталей, не отличающихся по внешнему виду. Из них 6 деталей первого сорта, а 4 ‒ второго. Какова вероятность того, что среди наудачу взятых 5 деталей окажутся 3 первого сорта?
2.В ящике 10 деталей, среди которых 6 окрашенных. Наудачу извлекаются четыре детали. Найти вероятность того, что среди них окажется не менее трех окрашенных.
3.В двух урнах находятся шары. В первой – 6 белых и 4 черных, во второй – 8 белых и 2 черных. Не глядя извлекаются из первой урны 2 шара и из второй – один и из этих трех шаров наудачу извлекается один шар. Найти вероятность того, что последний шар белый.
4.Два равносильных шахматиста играют матч. Что вероятнее: выиграть не менее двух партий из четырех или не менее трех партий из пяти?
5.Вероятность того, что наудачу взятая деталь из партии стандартна, равна 0,8. Найти вероятность того, что среди 600 взятых случайным образом деталей окажется oт 500 до 530 стандартных; ровно 500 стандартных.
6.Радиоаппаратура состоит из 1000 элементов. Вероятность отказа одного элемента в течение года работы равна 0,001 и не зависит от состояния других элементов. Какова вероятность отказа не менее трех элементов за год; ровно трех элементов за год?
7.Вероятность попадания в цель при одном выстреле из орудия равна 0,4. Составить закон распределения дискретной случайной величины X – числа
промахов при пяти выстрелах. Найти M X , D X и X .
8. Независимыеслучайныевеличины Х иY заданызаконамираспределения
X |
2 |
0,8 |
1,5 |
2 |
P |
0,35 |
0,25 |
0,4 |
… |
Y |
0,8 |
0,6 |
1,5 |
4 |
P |
0,25 |
0,35 |
0,2 |
… |
Найти среднее квадратическое отклонение величины Z 2Y 2 X .
9. Случайная величина X задана плотностью распределения вероятностей
|
0 |
при |
x / 6, |
|
sin3x |
при |
/ 6 x / 3, |
f x 3 |
|||
|
0 |
при |
x / 3. |
|
|||
Найти: F x , M X , D X |
и Р( / 4 Х |
/ 3) . |
|
10. На станке изготавливается партия деталей. Длина детали X - случайная величина, распределенная по нормальному закону с параметрами а 22,5 см и 1,5см. Найти вероятность того, что длина детали будет за-
ключена между 21 и 24,5 см. Какое отклонение длины детали от а можно гарантировать с вероятностью 0,91; 0,99? В каких пределах, симметричных отно-
45