Материал: Теория вероятностей. учебно-методическое пособие. Колпачев В.Н., Каверина В.К

ятность того, что элемент выдержит испытание, равна 0,9. Найти вероятность того, что выдержат испытание ровно 110 элементов; более 110 элементов.

6.Автомат штампует детали. Вероятность того, что изготовленная деталь окажется бракованной, равна 0,002. Найти вероятность того, что среди 500 деталей окажется хотя бы одна бракованная; не более одной бракованной.

7.Вероятность того, что в библиотеке необходимая студенту книга свободна, равна 0,3. Составить закон распределения дискретной случайной величины X – числа библиотек, которые посетит студент, если в городе 4 библиоте-

X , D X и X .

8. Независимые случайные величины Х и Y заданы законами распределе-

ния

Найти дисперсию случайной величины Z 2X 2 1,5Y .

9. Плотность распределения вероятностей случайной величины X равна

10. Диаметр детали – нормально распределенная случайная величина X с параметрами: a 70 мм, 1,8 мм. Найти вероятность того, что диаметр нау-

дачу взятой детали из партии составит от 69 мм до 70,9 мм; отличается от а не более чем на 1,5 мм. Какое отклонение диаметра от а можно гарантировать с вероятностью 0,93? В каких пределах лежат диаметры практически всех изготовленных деталей?

Вариант 5

1.В ящике 10 деталей, среди которых 7 окрашенных. Сборщик наудачу извлекает 4 детали. Найти вероятность того, что 2 детали среди извлеченных окажутся окрашенными.

2.В партии изделий товаровед отбирает изделия высшего сорта. Вероятность того, что первое из трех наудачу взятых изделий окажется высшего сорта, 0,85; второе – 0,95; третье – 0,75. Найти вероятность того, что из трех проверенных изделий не менее двух будут высшего сорта.

3.Три цеха производят одинаковые детали, которые поступают на общую

36

сборку. Вероятность изготовления стандартной детали в первом цехе – 0,93, во втором – 0,88, в третьем – 0,85. Первый цех имеет три технологические линии, второй – две, третий – одну (линии одинаковой производительности). Найти вероятность того, что наудачу взятая деталь на сборке окажется нестандартной.

4.Вероятность выхода из строя каждого из 9 независимо работающих элементов некоторого узла в течение времени t равна 0,1. Найти вероятность того, что по истечении времени t будут работать не менее 7 элементов.

5.Электрическая цепь состоит из 100 параллельно включенных приборов. Вероятность надёжной работы каждого из них 0,9, а взаимное влияние в цепи отсутствует. Найти вероятность того, что откажет менее 5 % от общего числа приборов; ровно 5 % приборов.

6.Коммутатор учреждения обслуживает 200 абонентов. Вероятность того, что в течение одной минуты абонент позвонит на коммутатор, равна 0,02. Найти вероятность того, что в течение одной минуты позвонит хотя бы один абонент; не более одного абонента.

7.В комплекте из 12 изделий имеются 8 изделий первого сорта и 4 второго. Наудачу отобраны 3 изделия. Составить закон распределения дискретной случайной величины X – число изделий второго сорта среди отобранных. Найти

X , D X и X .

8. Дискретная случайная величина X задана законом распределения

Найти математическое ожидание и дисперсию величины Z 2X 2 3X 1. 9. Плотность распределения вероятностей случайной величины X равна

Найти коэффициент b, интегральную функцию распределения F x , M X , D X и вероятность P(0 X 12) .

10. Автомат штампует детали. Контролируется длина детали X, распределеная по нормальному закону с математическим ожиданием (проектная длина) a 125 мм. Фактическая длина изготовленных деталей 122, 4 Х 127, 6 мм.

Найти вероятность того, что длина наудачу взятой детали меньше 123,4 мм. Какое отклонение длины детали от а можно гарантировать с вероятностью 0,98?

37

Вариант 6

1.На складе имеются 10 покрышек, из них 2 изношенных. Найти вероятность того, что среди взятых наудачу 5 покрышек окажутся 4 годных.

2.Неисправность может возникнуть в одном из 4-х блоков устройства. Вероятность возникновения неисправности в первом блоке равна 0,20, во втором – 0,15, в третьем и в четвертом – 0,10. Найти вероятность появления неисправности только в одном блоке; хотя бы в одном блоке.

3.На сборке находятся детали, изготовленные на 3-х станках, причем деталей, изготовленных на первом станке, вдвое больше, чем изготовленных на втором станке, и в 1,5 раза больше, чем изготовленных на третьем. Вероятности того, что деталь высокого качества, равны 0,8 для первого станка, 0,75 – для второго станка и 0,7 – для третьего. Найти вероятность того, что наудачу взятая деталь на сборке будет высокого качества.

4.Произведено 10 выстрелов, вероятность попадания при одном выстреле 0,9. Найти вероятность не менее 8 попаданий.

5.Автотранспортное предприятие имеет 180 автобусов. Вероятность выхода на линию каждого автобуса равна 0,9. Найти вероятность нормальной работы предприятия в ближайший день, если для этого необходимо иметь на линии не менее 160 автобусов, ровно 160 автобусов.

6.Коммутатор учреждения обслуживает 100 абонентов. Вероятность того, что в течение одной минуты абонент позвонит на коммутатор, равна 0,01. Найти вероятность того, что в течение одной минуты позвонят менее трех абонентов.

7.Найти закон распределения дискретной случайной величины X – числа появлений шестерки при четырех подбрасываниях игральной кости. Найти

X , D X и X .

8. Независимые случайные величины X и Y заданы законами распределе-

Найти дисперсию случайной величины Z 3X 2Y 2 .

9. Плотность распределения вероятностей случайной величины X равна

38

D X и вероятность P(0,5 X 1,5) .

10. На станке изготавливается деталь. Её длина X – случайная величина, распределенная по нормальному закону с параметрами а 21,0 см, 1, 2 см.

Найти вероятность того, что длина детали будет заключена между 20 и 21,9 см. Какое отклонение длины детали от а можно гарантировать с вероятностью 0,90; 0,98? В каких пределах, симметричных относительно а, будет лежать длина практически любой детали?

Вариант 7

1.В комплекте 12 деталей первого сорта и 16 – второго. Наудачу вынимаются 4 детали. Найти вероятность того, что среди них окажутся 3 детали второго сорта.

2.В урне 5 белых и 4 красных шара, одинаковых на ощупь. Наудачу вынимаются 3 шара. Найти вероятность того, что среди извлеченных шаров будет не менее двух красных.

3.Комплект состоит из 16 деталей завода № 1, 12 деталей завода № 2 и 22 деталей завода № 3. Вероятности того, что деталь низкого качества соответственно равны 0,08 для первого завода; 0,06 – для второго завода и 0,1 – для третьего. Найти вероятность того, что наудачу вынутая деталь из комплекта будет высокого качества.

4.Событие В появится в том случае, если событие А наступит не менее двух раз. Найти вероятность появления события В в результате проведения шести независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события А равна 0,4.

5.Автобаза обслуживает 140 магазинов. От каждого из них заявка на автомашины на следующий день может поступить с вероятностью 0,7. Найти вероятность того, что поступит не менее 110 и не более 120 заявок; ровно 110 заявок.

6.Коммутатор учреждения обслуживает 200 абонентов. Вероятность того, что в течение одной минуты абонент позвонит на коммутатор, равна 0,01. Найти вероятность того, что в течение минуты позвонят более двух абонентов.

7.В команде 9 спортсменов, из них 4 – первого разряда и 5 – второго. Наудачу отобраны 3 спортсмена. Составить закон распределения дискретной случайной величины X – числа спортсменов второго разряда среди отобранных.

X , D X и X .

8. Дискретная случайная величина X задана рядом распределения

39

Найти коэффициент с, интегральную функцию распределения F x , M X , D X и вероятность Р( / 6 X / 3).

10. На станке изготавливается деталь. Ее длина X – случайная величина, распределенная по нормальному закону с параметрами а 23, 0 см, 1, 6 см.

Найти вероятность того, что длина детали будет заключена между 22 и 24,2 см. Какое отклонение длины детали от а можно гарантировать с вероятностью 0,92; 0,98? В каких пределах, симметричных относительно а, будет лежать практически длина любой детали?

Вариант 8

1.В партии 8 изделий первого сорта и 7 второго. Найти вероятность того, что среди наудачу выбранных 6 изделий окажутся 3 изделия первого сорта.

2.В урне 7 белых и 5 красных шаров, одинаковых на ощупь. Наудачу извлекаются 4 шара. Найти вероятность того, что среди них будет не менее трех красных.

3.В коробке 10 деталей завода № 1, 15 деталей завода № 2 и 25 деталей завода № 3. Вероятности того, что деталь высокого качества, равны соответственно 0,95 для первого завода; 0,85 для второго и 0,7 для третьего. Найти вероятность того, что наудачу вынутая деталь из коробки будет высокого качества.

4.Испытывается каждый из 12 элементов некоторого устройства. Вероятность того, что элемент выдержит испытание, равна 0,9. Найти вероятность того, что выдержат испытание более 9 элементов.

5.Две равносильные ЭВМ играют шахматный матч. Что вероятнее: выиграть (ничейный результат исключается) не менее двух партий из четырёх, от двадцати до тридцати партий из сорока или ровно двадцать партий из сорока?

6.Учебник издан тиражом 200000 экземпляров. Вероятность того, что учебник сброшюрован неправильно, равна 0,00001. Найти вероятность того, что тираж содержит ровно две бракованные книги; не более двух бракованных книг.

7.Составить закон распределения дискретной случайной величины X –

числа появлений герба при четырех подбрасываниях монеты. Найти M X ,

D X и X .

40