Материал: Теория вероятностей. учебно-методическое пособие. Колпачев В.Н., Каверина В.К

множества A , будем называть размещениями из n элементов множества A по k элементов.

где n! 1 2 n - факториал числа n .

Пример 1.4. В соревнованиях участвуют 10 команд. Сколькими способами могут распределиться призовые места?

Решение. Всего участвуют 10 команд, значит n 10 . Поскольку при распределении призовых мест порядок важен, речь идет о размещениях. Так как призовых мест три, то k 3 . Следовательно,

1.1.3. Перестановки

Определение 1.2. Перестановками из n элементов называют наборы, состоящие из всех n элементов, отличающиеся только порядком элементов в них.

Находится число всех перестановок из n элементов по формуле

Pn n!.

Пример 1.5. Сколькими способами 4 человека могут разместиться в четырехместном купе?

Решение. Очевидно, что здесь речь идет о перестановках из 4 элементов, следовательно: P4 4! 1 2 3 4 24 .

1.1.4. Сочетания

Определение 1.3. Неупорядоченные наборы, состоящие из k элементов множества A , будем называть сочетаниями из n элементов множества A по k элементов.

Находится число всех сочетаний из n элементов множества A по k элементов по формуле

Пример 1.6. На окружности выбрано 10 точек. Сколько различных треугольников с вершинами в этих точках можно построить?

6

Решение. Треугольник имеет три вершины, значит, необходимо выбрать три точки из 10, причем порядок выбранных точек не имеет значения. Поэтому число различных треугольников находится по формуле

Пример 1.7. В группе 5 отличников, 10 хорошистов и 15 троечников. Для поездки на конференцию отбирают 7 человек. Сколькими способами можно набрать студентов так, чтобы среди них было 4 отличника, 2 хорошиста и один троечник.

Решение. Требуется выполнить одновременно три действия:

1.Выбрать 4 отличника из 5.

2.Выбрать 2 хорошиста из 10.

3.Выбрать 1 троечника из 15.

Различных наборов студентов на конференцию может быть: n1 n2 n3 5 45 15 3375.

1.2. Основные определения

Всякий факт, который может наблюдаться при наличии некоторых условий, будем называть событием. Условия, при наличии которых может произойти событие, будем называть опытом или испытанием. В дальнейшем любое событие, которое может появиться в результате опыта, будем называть исходом опыта. Если нельзя отдать предпочтение ни одному из исходов в смысле возможности его появления, то исходы называют равновозможными.

Определение 1.4. Событие называют случайным, если в результате опыта оно может появиться или не появиться.

Определение 1.5. Достоверным событием называется событие, которое обязательно произойдет в результате опыта.

Определение 1.6. Событие, которое в результате опыта не может произойти, называется невозможным.

События обозначают заглавными буквами латинского алфавита.

Определение 1.7. Возможность появления того или иного события характеризуется числом, называемым вероятностью этого события.

7

Определение 1.15. Вероятностью события А называется число P(A) ,

равное отношению числа исходов опыта, благоприятствующих событию А, к общему числу исходов:

P(A) mn ,

где n - общее число исходов опыта, m - число исходов опыта, благоприятствующих событию А.

Пример 1.8. Бросаются две игральные кости. Найти вероятность того, что сумма очков на выпавших гранях равна семи.

Решение. Опыт состоит в подбрасывании двух игральных костей один раз и наблюдении за суммой выпавших очков. Будем считать разными исходами опыта различные варианты выпавших очков на обеих костях. Исходы опыта являются равновозможными, несовместными и образуют полную группу, значит, можно применить классическое определение вероятности.

Число всех исходов опыта можно найти, используя принцип умножения: n 6 6 36 .

Рассмотрим событие A - сумма очков на выпавших гранях равна семи. Исходы, благоприятствующие событию А: 1 и 6, 2 и 5, 3 и 4, 4 и 3, 5 и 2, 6 и 1. Всего m 6 . Найдем вероятность события A :

P( A) mn 366 16 .

Пример 1.9. Набирая номер телефона, человек забыл три последние цифры, но помнит, что они различные, и набрал их наудачу. Найти вероятность то-

расположение цифр единственно, т.е. m 1. Найдем вероятность события A :

P( A) mn 7201 .

Пример 1.10. В ящике находится 20 деталей, из них 8 бракованных. Из ящика наудачу извлекают 5 деталей. Найти вероятность того, что среди них окажутся две бракованные детали.

Решение. Опыт состоит в выборе наудачу пяти деталей из 20. Множество элементарных исходов опыта – множество сочетаний из 20 по 5, т.е.

9

бракованные, т.е. среди 5 деталей будет 2 бракованные и 3 небракованные. Число исходов, благоприятствующих событию А, можно найти по принципу умножение. Необходимо выполнить два действия: из 8 бракованных деталей выбрать 2 детали; из 12 небракованных деталей выбрать 3 детали. Тогда первое

1.4. Теоремы сложения и умножения вероятностей

Теорема умножения вероятностей. Вероятность произведения двух событий равна произведению вероятностей одного из них на условную вероятность другого, вычисленную в предположении, что первое уже наступило:

P( A B) P(A) P(B | A) .

Следствие 1.1. Вероятность произведения двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий:

P(A B) P(A) P(B) .

Теорема сложения вероятностей. Вероятность суммы двух событий находится по формуле

P( A B) P(A) P(B) P(A B) .

Следствие 1.2. Вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий:

P(A B) P(A) P(B) .

Следствие 1.3. Для противоположных событий A и A справедлива фор-

мула

10