Материал: Теория вероятностей. учебно-методическое пособие. Колпачев В.Н., Каверина В.К
P150 |
(20) |
|
1 |
0,1582 |
0,0431. |
|
150 |
0,1 0,9 |
|||||
|
|
|
|
1.6.4. Интегральная формула Муавра-Лапласа
Пусть в схеме Бернулли требуется найти вероятность того, что событие
Aпроизойдет не менее k1 , не более k2 раз в n испытаниях, тогда при малых k1
иk2 используют формулу
Pn (k1;k2 ) Pn (k1) Pn (k1 1) ... Pn (k2 ) ,
где каждое слагаемое вычисляется либо по формуле Бернулли (если n мало), либо по формуле Пуассона (если n велико, а p мало).
Пример 1.18. Из партии деталей отобраны для контроля 8 штук. Известно, что доля нестандартных деталей во всей партии составляет 20 %. Найти вероятность того, что не менее 6 деталей окажутся стандартными.
Решение. Имеем схему Бернулли: p 0,8 ; q 0,2 ; n 8 . Так как n мало, то для отыскания вероятности P8 (6;8) применим формулу
P8 (6;8) P8 (6) P8 (7) P8 (8) ,
где каждое слагаемое найдем по формуле Бернулли:
P8 (6;8) P8 (6) P8 (7) P8 (8) C86 0,860,22 C87 0,870,21 C88 0,880,20
0,86 28 32 16 0,629.
25 25 25
Пример 1.19. Завод отправил на базу 2000 изделий. Вероятность повреждения изделия в пути равна 0,001. Найти вероятность того, что в пути будет повреждено не более одного изделия.
Решение. Имеем схему Бернулли: p 0,001; n 2000. Так как p мало, а n велико, то для отыскания вероятности P1000 (0;1) применим формулу
P1000 (0;1) P1000 (0) P1000 (1) ,
каждое слагаемое найдем по формуле Пуассона ( 2000 0,001 2 ), в результате получим:
P |
(0;1) |
P |
(0) |
P |
(1) |
20 e 2 |
|
21e 2 |
|
1 |
|
2 |
0,411. |
|
0! |
1! |
e2 |
e2 |
|||||||||||
1000 |
|
1000 |
|
1000 |
|
|
|
|
|
16
Если в схеме Бернулли число испытаний n велико, а вероятность p не близка к нулю или единице (0,1 p 0,9), то вероятность того, что событие A произойдет не менее k1 , не более k2 раз в n испытаниях, находят по инте-
гральной формуле Муавра-Лапласа:
Pn (k1;k2 ) (x2 ) (x1) ,
где x1 k1 np ; x2 k2 |
np ; (x) |
1 |
x |
t2 |
|
||
e 2 dt . |
|
||||||
|
2 |
|
|||||
|
npq |
npq |
|
0 |
|
|
|
Функция (x) называется функцией Лапласа. Значения функции |
(x) |
||||||
приведены в таблице при x [0;5] |
(см. [2, |
с. 80]). Если x [0;5], то значения |
|||||
функции (x) находят, используя ее свойства: |
|
||||||
1) |
функция (x) |
является нечетной, т.е. ( x) (x) ; |
|
||||
2) |
lim (x) 0,5 , поэтому при x 5 полагают (x) 0,5 . |
|
|||||
|
x |
|
|
|
|
|
|
Пример 1.20. Произведено 100 независимых выстрелов по цели. Вероятность попадания при одном выстреле равна 0,85. Найти вероятность того, что будет от 80 до 95 попаданий в цель.
Решение. Имеем схему Бернулли: p 0,85 ; q 0,15; n 100 . Так как p не близко к 0 или 1 и n велико, то для отыскания P100 (80;95) используем интегральную формулу Муавра-Лапласа. Вычислим предварительно:
x |
80 100 0,85 |
|
5 |
1,4; x |
|
95 100 0,85 |
|
10 |
2,8; |
|
|
|
|
||||||
1 |
100 0,85 0,15 |
|
3,57 |
2 |
|
100 0,85 0,15 |
|
3,57 |
|
|
|
|
|
|
|
(x1) ( 1,4) (1,4) 0,4192 ; (x2 ) (2,8) 0,4974 .
Тогда вероятность того, что будет от 80 до 95 попаданий в цель, равна
P100 (80;95) (2,8) ( 1,4) 0,4974 ( 0,4192) 0,9166 .
17
2. СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ
Определение 2.1. Случайной величиной называется величина, которая в результате опыта примет одно и только одно возможное значение, при этом заранее неизвестно, какое именно.
Случайные величины обозначаются обычно заглавными буквами латинского алфавита X ,Y ,..., возможные значения случайной величины строчными
буквами - x, y,....
Случайные величины могут быть дискретными или непрерывными.
2.1. Дискретные случайные величины
Определение 2.2. Дискретной называется случайную величину, значения которой являются конечной или бесконечной последовательностью.
Полная информация вероятностного характера о дискретной случайной величине содержится в следующей таблице:
X |
x1 |
x2 |
... |
xn |
P |
p1 |
p2 |
... |
pn |
Здесь в первой строке таблицы перечислены в возрастающем или убывающем порядке все значения xi дискретной случайной величины X , а во вто-
рой строке перечислены вероятности, с которыми эти значения могут произойти в опыте: pi P( X xi ) , i 1,...,n . Такая таблица называется законом распре-
деления дискретной случайной величины X .
Ясно, что события X x1 , X x2 ,..., X xn образуют полную группу несовместных событий. Поэтому сумма их вероятностей равна 1:
p1 p2 ... pn 1.
Закон распределения дискретной случайной величины можно изобразить графически, для этого в декартовой системе координат строят точки (xi , pi ) , а
затем последовательно соединяют их отрезками. Полученную ломаную назы-
вают многоугольником распределения.
Отметим, что полностью описать вероятностный характер случайной величины как дискретной, так и непрерывной можно, задав функцию распределения случайной величины.
Определение 2.3. Пусть x ‒ любое вещественное число. Функцию F(x)
18
называют функцией распределения случайной величины X , если ее значения определяются формулой
F(x) P(x X ) ,
т.е. значение функции распределения для каждого x ‒ это вероятность того, что случайная величина X примет значение, лежащее левее, чем x .
Для дискретной случайной величины очевидно, что функцию распределения можно находить по формуле
F(x) pi .
i:xi x
Свойства функции распределения дискретной случайной величины:
1.0 F(x) 1.
2.F(x) ‒ неубывающая функция.
3.F(x) ‒ ступенчатая функция, имеющая в каждой точке xi i 1,2,... разрывы первого рода со скачками, равными pi .
4.F(x) 0 при x x1 и F(x) 1 при x xn .
2.2. Числовые характеристики дискретной случайной величины
2.2.1. Математическое ожидание дискретной случайной величины
Пусть закон распределения дискретной случайной величины задан табли-
цей: |
|
|
|
... |
|
|
|
|
||
|
X |
|
x1 |
|
x2 |
|
xn |
|
|
|
|
P |
|
p1 |
|
p2 |
... |
|
pn |
|
|
Математическим ожиданием M (X ) |
случайной величины X называется |
|||||||||
число, которое находится по формуле |
|
|
|
|
|
|
||||
|
M (X ) x1 p1 |
x2 p2 |
... xn pn . |
|
||||||
Введем ряд определений. |
|
|
|
|
|
|
||||
Определение 2.4. Случайные величины X |
и Y называются независимы- |
|||||||||
ми, если независимы случайные события X x |
и Y y для любых х, |
у. Ес- |
||||||||
ли события X x и Y y |
зависимы для каких-нибудь х, у, то X и Y |
– за- |
||||||||
висимые случайные величины.
19
Определение 2.5. Суммой X Y случайных величин X и Y называют случайную величину, значения которой равны сумме значений величин X и Y .
Определение 2.6. Произведением X Y случайных величин X и Y называют случайную величину, значения которой равны произведению значений величин X и Y .
Свойства математического ожидания.
1. Математическое ожидание постоянной равно этой постоянной:
M (c) c , где c const .
2. Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания:
M (cX ) cM ( X ) , где c const .
3. Математическое ожидание суммы случайных величин равно сумме математических ожиданий этих величин:
M (X Y ) M (X ) M (Y ) .
4. Математическое ожидание произведения независимых случайных величин равно произведению математических ожиданий этих величин:
M (X Y ) M (X ) M (Y ) .
Замечание 2.1. Справедлива формула
M ( X Y ) M (X ) M (Y ) ,
где , - некоторые числа.
2.2.2. Дисперсия дискретной случайной величины
Дисперсией D(X ) случайной величины X называется число, которое находится по формуле
D X M (X M (X ))2 .
С учетом свойств математического ожидания формулу можно преобразовать к виду
20