Материал: Теория вероятностей. учебно-методическое пособие. Колпачев В.Н., Каверина В.К

D X M (X 2 ) (M (X ))2 .

Пусть закон распределения дискретной случайной величины X задан таблицей:

Тогда дисперсию дискретной случайной величины можно находить по формулам:

n

D(X ) xi M (X ) 2 pi

i 1

или

n

D(X ) xi2 pi (M (X ))2 .

i 1

Свойства дисперсии

1. Дисперсия постоянной величины равна нулю:

D(c) 0 , где c const .

2.Постоянный множитель можно вынести за знак дисперсии, возведя его

вквадрат:

D(cX ) c2 D(X ) , где c const .

3. Дисперсия суммы независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин:

D(X Y ) D(X ) D(Y ) .

4. Дисперсия разности независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин:

D(X Y ) D(X ) D(Y ) .

2.2.3. Среднее квадратическое отклонение

Средним квадратическим отклонением (X ) случайной величины называется квадратный корень из дисперсии этой величины:

(X ) D(X ) .

21

Пример 2.1. Стрелок стреляет по мишени три раза. Вероятность попасть в цель при первом выстреле 0,8; при втором – 0,6; при третьем – 0,5. Построить закон распределения случайной величины – числа попаданий в цель. Вычислить числовые характеристики случайной величины.

Решение. Случайная величина X - число попаданий в цель, может принимать следующие значения:

x1 0 , x2 1, x3 2 , x4 3 .

Пусть событие A1 - стрелок попал в цель при первом выстреле, его вероятность равна P(A1) 0,8; событие A2 - стрелок попал в цель при втором выстреле, его вероятность равна P( A2 ) 0,6 ; событие A3 - стрелок попал в цель при третьем выстреле, его вероятность равна P(A3 ) 0,5 .

Тогда вероятность того, что случайная величина X примет значение x1 0 , означает, что произойдет событие – стрелок ни первый, ни второй, ни

третий раз не попал в цель, т.е.

p1 P(X x1) P(X 0) P(A1 A2 A3 ) (1 P(A1))(1 P(A2 ))(1 P(A3 ))(1 0,8)(1 0,6)(1 0,5) 0,04.

Аналогично,

p2 P(X x2 ) P(X 1) P(A1 A2 A3 A1 A2 A3 A1 A2 A3 )

0,8 (1 0,6) (1 0,5) (1 0,8) 0,6 (1 0,5) (1 0,8) (1 0,6) 0,5 0,26. p3 P(X x3 ) P( X 2) P(A1 A2 A3 A1 A2 A3 A1 A2 A3 )

0,8 0,6 (1 0,5) (1 0,8) 0,6 0,5 0,8 (1 0,6) 0,5 0,46. p4 P(X x4 ) P(X 3) P(A1 A2 A3 ) 0,8 0,6 0,5 0,24.

Составим закон распределения случайной величины X :

Проверим тождество p1 p2 ... pn 1: 0,04+0,26+0,46+0,24=1.

Найдем числовые характеристики случайной величины X :

M (X ) 0 0,04 1 0,26 2 0,46 3 0,24 1,9 .

Для вычисления дисперсии применим формулу

22

Пример 2.2. Экзаменатор задает студенту не более трех дополнительных вопросов. Вероятность того, что студент ответит на любой вопрос, 0,7. Преподаватель прекращает экзаменовать студента, как только студент не отвечает на дополнительный вопрос. Построить закон распределения случайной величины

– числа дополнительных вопросов, заданных студенту. Вычислить числовые характеристики случайной величины.

Решение. Случайная величина X - число дополнительных вопросов, заданных студенту, может принимать следующие значения:

x1 1, означает, что произойдет событие – студент не ответил на первый вопрос, т.е.

p1 P( X x1) P(X 1) P( A) 1 P(A) 1 0,7 0,3.

Аналогично,

Проверим тождество p1 p2 ... pn 1: 0,3+0,21+0,9=1.

Найдем числовые характеристики случайной величины X :

M (X ) 1 0,3 2 0,21 3 0,49 2,19 .

Для вычисления дисперсии применим формулу

23

Тогда

M (X 2 ) 1 0,3 0 0,5 1 0,2 0,5 , а M (Y ) 2 0,8 4 0,2 2,4 .

M (Z ) 0,5 2 2,4 10 5,7 .

С учетом свойств дисперсии получим:

D(Z ) D(X 2 2Y 10) D(X 2 ) D(2Y ) D(10)

D(X 2 ) 4D(Y ) 0 D( X 2 ) 4D(Y ).

Так как D(X 2 ) M (X 4 ) (M (X 2 ))2 , то найдем сначала M (X 4 ) , для этого

составим закон распределения случайной величины X 4 :

24

Аналогично найдем D(Y ) M (Y 2 ) (M (Y ))2 , составив закон распределения случайной величины Y 2 :

Тогда

M (Y 2 ) 4 0,8 16 0,2 6,4 , а D(Y ) 6,4 (2,4)2 0,64 .

D(Z ) D(X 2 ) 4D(Y ) 0,25 4 0,64 2,81.

(Z ) D(Z ) 2,81 1,67 .

2.3.Непрерывные случайные величины

Определение 2.7. Случайная величина X называется непрерывной, если ее функция распределения F(X ) является непрерывной. (Определение функ-

ции распределения см. в п.2.1.)

Свойства функции распределения непрерывной случайной величины:

1.0 F(x) 1.

2.F(x) - неубывающая функция.

3.Если множеством значений величины X является отрезок a,b , то

P(a X b) F(b) F(a) .

Замечание 2.2. Справедлива формула

P(a X b) P(a X b) P(a X b) P(a X b) F(b) F(a) .

Определение 2.8. Функция f (x) , являющаяся производной функции распределения F(x) случайной величины X , называется плотностью распреде-

ления вероятностей непрерывной случайной величины X , т.е. f (x) F (x) .

25