Материал: Теория вероятностей. учебно-методическое пособие. Колпачев В.Н., Каверина В.К
Функция f (x) существует во всех точках, в которых существует производная функции F(x) .
Свойства плотности распределения вероятностей:
1.f (x) 0 .
2.Справедливо условие нормировки
f (x)dx 1.
3. Если функция f (x) непрерывна на отрезке [a,b] , то
b f (x)dx P(a X b) .
a
4. Функцию распределения F(x) можно находить по известной плотности распределения вероятностей f (x) :
F(x) x f (t)dt .
Замечание 2.3. Функцию распределения F(x) называют интегральной функцией распределения, а плотность распределения вероятностей f (x) -
дифференциальной функцией распределения.
2.4. Числовые характеристики непрерывной случайной величины
Математическое ожидание непрерывной случайной величины – число, определяемое по формуле
M (X ) x f (x)dx ,
если сходится несобственный интеграл.
Если множеством значений непрерывной случайной величины X является отрезок [a,b] , то математическое ожидание можно находить по формуле
M (X ) b x f (x)dx .
a
26
Дисперсия D(X ) непрерывной случайной величины определяется так же, как в п.2.2.2, и находится по формуле
D(X ) x M (X ) 2 f (x)dx ,
если сходится несобственный интеграл.
Более удобной для вычисления дисперсии является формула
D(X ) x2 f (x)dx M (X ) 2 .
Если множеством значений непрерывной случайной величины X является отрезок [a,b] , то дисперсию можно находить по формулам:
D(X ) b x M (X ) 2 |
f (x)dx или D(X ) b x2 f (x)dx M (X ) 2 . |
a |
a |
Замечание 2.4. Свойства математического ожидания и дисперсии одинаковы в случае дискретной и непрерывной случайных величин.
Среднее квадратическое отклонение (X ) непрерывной случайной величины X также равно квадратному корню из D(X ) :
(X ) D(X ) .
Пример 2.4. Плотность распределения вероятностей случайной величины X равна
|
0 |
при x 0; |
|
x |
при 0 x 4; |
f (x) a 4 |
||
|
0 |
при x 4. |
|
Найти функцию распределения и числовые характеристики случайной величины X ; вероятность P( 1 X 3) .
Решение. Для нахождения параметра a |
воспользуемся условием норми- |
||||||||||||
ровки: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
f (x)dx 0dx a(4 x)dx 0dx 0 a(4 x)dx 0 |
||||||||||||
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
4 |
0 |
|
|
a |
|
4x |
|
4 |
|
x |
2 |
|
4 |
|
a 16 8 8a 1, |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
0 |
2 |
0 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
27
Отсюда a |
1 . |
|
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
Тогда функцию плотности распределения можно переписать: |
||||||
|
|
|
|
0 |
при x 0; |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
4 |
x |
при 0 x 4; |
||
|
f (x) |
8 |
||||
|
|
|
0 |
при x 4. |
||
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
Найдем функцию распределения F(x) x |
f t dt . |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
При x 0 : F(x) x 0dt 0 .
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
x |
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
x |
|
1 |
|
|
|
x |
2 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
При 0 |
x 4: F(x) |
0dt 1 |
(4 t)dt 0 |
|
4t t |
|
|
|
|
|
|
4x |
|
. |
|||||||||||
|
|
|
|
0 |
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
0 8 |
|
8 |
|
|
2 |
|
|
|
8 |
|
|
|
|
2 |
|
|||||
При x 4 |
0 |
4 |
1 |
(4 |
|
x |
1 |
|
|
2 |
|
|
4 |
0 |
1 |
16 |
8 1. |
||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
: F(x) |
0dt |
t)dt 0dt 0 |
4t t |
|
|
|
|
0 |
|||||||||||||||||
|
|
0 |
8 |
|
|
4 |
8 |
|
2 |
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|||||
Следовательно, функция распределения имеет вид:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
при x 0; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
F(x) |
|
4x |
|
|
|
|
|
при 0 x 4; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
8 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
при x 4. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Найдем числовые характеристики случайной величины X : |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
M (X ) b x f (x)dx 4 1x(4 x)dx |
|
1 |
4 (4x x2 )dx |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
4x2 |
|
|
|
x3 |
|
4 |
|
|
|
1 |
|
|
64 |
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
32 |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
8 |
2 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
3 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
b |
2 |
f (x)dx |
M |
(X ) |
2 |
|
|
|
4 |
1 |
x |
2 |
(4 x)dx |
|
4 2 |
|
1 |
4 |
|
|
2 |
3 |
)dx |
16 |
|
||||||||||||||||||||||||||
D(X ) x |
|
|
|
|
8 |
|
|
3 |
|
|
8 |
(4x |
|
x |
9 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
1 |
|
4x3 |
|
x4 |
|
|
4 |
|
16 |
|
1 |
|
|
|
256 |
|
256 |
|
|
16 |
|
8 |
|
16 |
|
8 |
. |
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
8 |
3 |
4 |
|
9 |
|
8 |
|
|
|
|
3 |
|
|
4 |
|
9 |
|
3 |
|
9 |
9 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
28 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
(X ) |
D(X ) |
8 |
0,94 . |
|
|
9 |
|
Вычислим P( 1 X 3) , используя функцию распределения:
P( 1 X 3) F(3) F( 1) |
1 |
|
4 |
3 |
|
2 |
|
0 |
|
15 . |
|
3 |
|
||||||||
|
8 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
16 |
2.5. Нормальный закон распределения
Случайная величина X распределена по нормальному закону, если ее
плотность распределения вероятностей задается функцией
|
1 |
e |
( x a)2 |
|
f (x) |
2 2 , |
|||
2 |
||||
|
|
|
где a и - параметры распределения, a , 0 .
Нормально распределенную величину с параметрами a и обозначают
X N (a; ) .
Параметры a и нормально распределенной случайной величины являются ее математическим ожиданием и средним квадратическим отклонением соответственно, т.е.
M (X ) a , (X ) .
Вероятность того, что случайная величина X , распределенная по нормальному закону с параметрами a и , примет значения, лежащие в интервале ( ; ) , находится по формуле
|
a |
|
a |
, |
||
P( X ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
где (x) - функция Лапласа (см. п. 1.6.4.).
Вероятность того, что случайная величина X , распределенная по нормальному закону с параметрами a и , примет значения, лежащие в симметричном относительно a интервале (a ;a ) , находится по формуле
P( |
|
X a |
|
|
|
|
|
||||
|
|
) 2 |
. |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Правило трех сигм: для случайной величины, распределенной по нор-
29
мальному закону, можно практически достоверно утверждать, что ее значения отклоняются по модулю от математического ожидания не более чем на три средних квадратических отклонения, т.е.
P( X a 3 ) 0,9973 1.
Пример 2.5. На станке изготавливается деталь. Ее длина X - случайная величина, распределенная по нормальному закону с параметрами a 23,5см и
1,7 см. Найти вероятность того, что длина детали заключена между 23 см и
25 см. Какое отклонение длины детали от a можно гарантировать с вероятностью 0,95? В каких пределах лежит практически длина любой детали?
Решение. Длина детали X - случайная величина, распределенная по нормальному закону с параметрами a 23,5см и 1,7 см. Тогда вероятность
того, что длина детали заключена между 23 см и 25 см, найдем по формуле
25 23,5 |
|
23 23,5 |
|
0,88 0,29 |
||
P(23 X 25) |
1,7 |
|
|
1,7 |
|
|
|
|
|
|
|
||
0,88 0,29 0,3106 0,1141 0,4247.
Для того, чтобы найти отклонение длины детали от a , гарантированное с вероятностью 0,95, используем формулу
P( |
|
X a |
|
|
|
|
|
||||
|
|
) 2 |
. |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Намтребуетсянайти , для которого вероятность P( X a ) 0,95 , т.е.
2 |
|
0,95; |
|
|
|
|
0,475; |
|
|
1,96; |
3,332 . |
|
1,7 |
1,7 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Это означает, что с вероятностью 0,95 можно гарантировать отклонение длины детали от a менее чем на 3,332 см.
Учитывая правило трех сигм, длина практически любой детали лежит в интервале (a 3 ;a 3 ) . Так как 3 3 1,7 5,1, то искомый интервал –
(18,4; 28,6) .
30