Документ: Строительная механика и сопротивление материалов. Сафронов В.С., Ефрюш, страницы 41-45

При дискретизации континуальной задачи по изложенной схеме авторы [1] используют промежуточные точки между узлами разностной сетки, а в целях улучшения сходимости выполняют усреднение геометрических характеристик и нагрузки конечно-разностных ячеек, примыкающих к узлу и линиям разностной сетки. Это влечѐт за собой сложный характер принятых обозначений и многочисленные опечатки в конечных формулах, что затрудняет применение МКС на практике.

Можно отказаться от введения промежуточных точек с одновременным упрощением конечного вида уравнений и улучшением сходимости, применив, как и в МКР, МКС повышенной точности. Предлагается вместо конечного выражения (5) применять уточнѐнные ко- нечно-разностные соотношения более высокого порядка

1

.

u

i

u

(k 2)

8u

(k 1)

8u

(k 1)

u

(k 2)

i

12

(k )

(20)

Это выражение легко получается с помощью формулы Тейлора. Положим

			2
u				d				,
					j	u	(k j)
	i
		(k )	j 2

(21)

где

d j

– коэффициенты, подлежащие определению. Каждый член суммы (21) разложим в

ряд Тейлора

j

i

2

i

u

(k j)

u

(k )

j

...

i

2!

i

2

(k )

и подставим в (21). Получим

2

i

2

u

i

u

2

i

u

(k )

d

j

jd

j

d

j

...

(22)

2!

(k )

j 2

(k ) j 2

i

j 2

(k )

Выражение, стоящее в правой части равенства (22), с точностью до величин порядка

i

5

u / i

совпадает с

(k ) при выполнении системы пяти линейных уравнений для пяти неиз-

вестных d j :

2

1

d j

j 2 d j

j

3d j j 4 d j

0;

jd j

i .

j 2

Решение этой системы:

d	2	1		; d	1	8		; d		0; d	8		; d		1		.
d				; d				; d	0	0; d			; d	2			.
		12	i			12	i		0	1	12	i		2	12	i
			i				i					i				i

(23)

Коэффициенты (23) и определяют вид выражения (20).

При применении (20) для граничных точек можно привлечь аппроксимации более низкого порядка либо сделать их односторонними, исключив узлы, выходящие за пределы континуума собственно оболочки. Аналогично (20) можно получить конечно-разностные аналоги производной и более высоких порядков.

40

наты

ратор

Дадимобобщение МКС. Пусть вектор-функция u


s :	u	u(s)	, и относительно неѐ задан однородный
s :			, и относительно неѐ задан однородный
с непрерывными функциями				an (s) :

зависит от криволинейной коордилинейный дифференциальный опе-

	N		n
	an (s)			u
D u	an (s)	s		n	.
	n 0			n

(24)

Определение.

ального оператора	D

Конечным выражением			r -го приближения в точке
u
	называется линейная комбинация
	называется линейная комбинация
			m	i
		k		i
	L u		b u(s		kh),
		k l

si

для дифференци-

(25)

где bk

- константы,

l, m

- целые числа,

если разложение L

в ряд Тейлора в точке

si содер-

жит производные

n

с соответствующими множителями

a

(s

) при n N

и не со-

u s

n

i

держит производных при

N 1 n N r.

(N r 1)

Если при этом вектор-функция

u(s)

имеет

непрерывных производных, то

для неѐ имеет место разложение

N

n

( N r 1)

u

L u

an (si )

s

n

c

s

(N r 1)

.

n 0

i

max

| | 1

(N r 1)

s

(N r 1)

Здесь

c

– константа,

,

u

– абсолютное значение максимальной

max

производной в интервале, содержащем все точки si

kh.

Теорема. Для любого заданного линейного дифференциального оператора (24) при

любом неотрицательном целом числе

r

в каждой точке si существует конечное выражение

r -го порядка точности.

Доказательство. Разложим выражение (25) в ряд Тейлора:

)[b

... b

b b

... b

u

[ lb

... b

b ... mb ]

L u(s

] h

i

l

1

0

1

m

s

l

1

m

i

h

u

2

[l 2b

... b

b

... m2b ]

2!

2

l

1

m

s

i

h N r (N r)u

[( l) N r b

... m N r b

(N r)

] R.

(26)

(N r)!

l

m

s

i

Здесь остаточный член R можно представить в виде

41

N r 1

(N r 1)

m

R

h

u

k

N r 1

.

(N r 1)

b

(N r 1)!

s

k

max k l

N r 1

При согласовании разложений (24) и (26) получим систему

уравнений:

m

j!

a

(s),

j N

k j b

j

0

k

h

N 1 j

N r.

k l

0,

(27)

Определитель полученной системы (27) есть определитель Вандермонда, и как произведение разностей различных чисел всегда отличен от нуля. Следовательно, при достаточном

количестве неизвестных, то есть при l m N r,

личество	(l m 1)	неизвестных	bk	больше,

система (27) всегда разрешима. Если ко-

чем число уравнений	(N r 1),	то

(l m

стемы

N r)	неизвестных можно положить равными нулю, а остальные вычислить из си-

(27).

Теорема доказана.

Разностный аналог (4) является конечным выражением 1-го приближения для ковари-

антной производной

	u
i

j

. В общем случае для нечѐтного

r 2s 1

(s

0,1,...)

дифферен-

циальное выражение в точке

si

заменяется разностным аналогом

r -го приближения, в кото-

ром используются точки, симметрично расположенные относительно si от	s	до	s	(
	i p s		i p s

p

- порядок дифференциального оператора). В результате для каждой из ( n 1 ) точек

s0 , s1,...sn можно записать разностное уравнение, соответствующее дифференциальному.

Получим ( n 1) уравнений для				n 2 p 2s 1
				n 2 p 2s 1	неизвестных ui			от u p s	до un p s . Краевые
					неизвестных ui			от u p s	до un p s . Краевые
условия дают ещѐ 2 p уравнений. Недостающие						2s уравнений можно добавить, записав раз-
ностные выражения		1, 3, … , ( 2s 1 )-го приближения для каждой из граничных точек s0
и sn . Если в краевых условиях не встречаются (						2 p 1	) производные, то разностные аналоги
и sn . Если в краевых условиях не встречаются (							) производные, то разностные аналоги
r -го приближения для граничных точек можно опустить, тогда будут иметь место только

значения от	u	до	u
значения от	p s 1	до	n p s 1.

В заключение следует отметить, что так как метод криволинейных сеток является обобщением метода конечных разностей, то, на наш взгляд, более предпочтительным для него является название «метод векторных разностей».

Библиографический список

1.Расчѐт оболочек сложной формы / В. И. Гуляев, В. А. Баженов, Е. А. Гоцуляк, В. В. Гайдайчук. – Киев: Будивэльнык, 1990. – С. 22-33.

2.Ковалѐв, В.А. Полная статико-геометрическая аналогия теории тонких оболочек/ В.А. Ковалев, В.А. Козлов // Вестник Самарского государственного университета. – 2007, №

9/1 (59). – С. 188-194.

3.Козлов, В.А. Теория тонких гладких оболочек как двумерного континуума в пространстве // Актуальные проблемы прикладной математики, информатики и механики: сб. трудов Международной конференции. – Воронеж: Издательско-полиграфический центр Воронежского государственного университета, 2010. – С. 183-187.

42

References

1.Gulyaev V.I., Bazhenov V.A., Gotsulyak E.A., Gaydaychuk V.V. Calculation of shells of complex shape. Kiev: Budivelnyk, 1990. Pp. 22-33.

2.Kovalev V.A., Kozlov V.A. Full static-geometric analogy of the theory of thin shells. Bulletin of the Samara State University. No. 9/1 (59). 2007. Pp. 188-194.

3.Kozlov V.A. The theory of thin smooth shells as a two-dimensional continuum in space. Actual problems of applied mathematics, computer science and mechanics: collection of books. Proceedings of the International Conference. Voronezh: Publishing and printing center of Voronezh State University, 2010. Pp. 183-187.

VECTOR FORM OF FINITE DIFFERENCE METHOD

IN THE PROBLEMS OF THIN SHELL THEORY

V. А. Kozlov

Voronezh State Technical University

Russia, Voronezh

Dr of Physical and Mathematical Sciences, Нead of the Department of Structural Mechanics

Tel.: +7(473)2764006, e-mail: vakozlov@vgasu.vrn.ru

In the present paper, finite difference method, which is used in the practice of numerical calculations in the scalar form, is presented in the form of generalizing vector relationships. This allows one to work with vector equations in intermediate calculations and write only the final expressions in scalar form. In shell theory, for example, one can work with two vector equations of equilibrium of forces and moments instead of six similar scalar ones. The identity of the discretization schemes of vector differential relations of the theory of thin elastic shells in a system of curvilinear coordinates by the method of curvilinear grids and the method of finite differences is proved. A generalization of the method of curved grids is given.

Keywords: vector form of finite difference method, curvilinear grid method.

43

УДК 512.1; 517.53; 519.6

СПОСОБ ВЫЧИСЛЕНИЯ КОРНЕЙ УРАВНЕНИЙ, СВЯЗАННЫХ С ЦЕПНОЙ ЛИНИЕЙ ИЛИ С ПЕРЕВЕРНУТОЙ ЦЕПНОЙ ЛИНИЕЙ

Ю. А. Несмеев1

Магнитогорский государственный технический университет Россия, г. Магнитогорск

1Научный сотрудник, тел.: +7(473)276-50-74 e-mail: nev_ya@list.ru

Изложен способ решения уравнений, возникающих в инженерных расчѐтах, связанных с цепной линией или с перевѐрнутой цепной линией. Даны примеры применения способа. Один из них посвящѐн уравнению арки ―Ворота Запада‖ в Сент-Луисе. Изложено преобразование уравнения цепной линии в уравнение y = – a·ch(x/a) + b перевѐрнутой цепной линии. При этом изложенный способ применѐн к нахождению значений параметров a и b по известному расстоянию от вершины перевѐрнутой цепной линии до оси абсцисс и по известному расстоянию между концами дуги перевѐрнутой цепной линии, расположенными на оси абсцисс.

Ключевые слова: расчѐт цепной линии, расчет перевѐрнутой цепной линии.

Введение

Провода, тросы и арки являются атрибутами современного города. При проектировании провисания проводов и тросов требуется проведение расчѐтов. С точки зрения устойчивости, арки в форме перевѐрнутой цепной линии являются наиболее перспективными. В расчѐтах, связанных с провисанием проводов и тросов, используется математическое определение цепной линии. Перевѐрнутая цепная линия применяется в строительстве и архитектуре. Арки, имеющие форму перевѐрнутой цепной линии, обладают высокой устойчивостью. В литературе сведения о расчѐтах геометрических параметров таких арок практически отсутствуют. Известно (из интернета) лишь уравнение одной такой арки (арка ―Ворота Запада‖ в Сент-Луисе.) При этом не сообщается способ получения чисел, входящих в него. Уравнение произвольной арки в форме перевѐрнутой цепной линии не опубликовано. Не предложены простые численные способы решения уравнений, связанных с перевѐрнутой цепной линией. В широко известной математической литературе определение перевѐрнутой цепной линии отсутствует. Очевидным является то, что такое определение должно опираться на определение ―обычной‖ цепной линии. Ввиду использования таких арок на практике актуальными являются:

1)вывод уравнения арки в форме перевѐрнутой цепной линии;

2)разработка такого простого численного способа нахождения корней уравнений, свя-

занных с арками, который применим и в расчѐтах по провисанию проводов и тросов. Решению этих проблем посвящена данная статья. При решении используется извест-

ное определение цепной линии; даѐтся математическое определение перевѐрнутой цепной линии (позволившее вывести уравнение перевѐрнутой цепной линии).

Определение перевернутой цепной линии

В статье используется определение, приведѐнное в [1, с. 624]. Из него следует, что цепная линия является такой дугой на плоскости, концы которой зафиксированы в двух точках. В [1] принята такая декартова система координат xOy, в которой при взгляде пользователя на плоскость ось абсцисс направлена вправо, а ось ординат направлена вверх.

____________________________

44

Материал: Строительная механика и сопротивление материалов. Сафронов В.С., Ефрюш

Смотрите также: