Материал: Строительная механика и сопротивление материалов. Сафронов В.С., Ефрюш

В этой системе координат: концы дуги лежат в верхней полуплоскости на прямой, параллельной оси абсцисс; концы дуги расположены симметрично относительно оси ординат; дуга вогнута в сторону оси абсцисс. Параметр a равен расстоянию от нижней точки дуги до оси абсцисс. В статье расстояние от прямой, проходящей через концы дуги, до нижней точки дуги имеет обозначение h1. Поэтому расстояние от прямой, проходящей через концы дуги, до оси абсцисс равно величине h1 + a. В статье расстояние между концами дуги имеет обозначение h2. Также принято следующее определение перевѐрнутой цепной линии.

Определение. Перевѐрнутой цепной линией называется такая дуга на плоскости, которая обладает следующими свойствами:

1.Она может быть получена из цепной линии преобразованиями, а именно поворотом [2, с. 737]

ипараллельными переносами [2, с. 32].

2.После преобразований прообразом вершины еѐ дуги является самая нижняя точка цепной линии.

3.В результате преобразований вершина еѐ дуги расположена в верхней полуплоскости.

4.После преобразований образы концов дуги цепной линии расположены на оси абсцисс симметрично относительно оси ординат.

Согласно этому определению, величины h1 и h2 являются соответственно расстоянием

от вершины перевѐрнутой цепной линии до оси абсцисс и расстоянием между концами еѐ дуги. Концы расположены на оси абсцисс. Определение используется для вывода уравнения арки, имеющей форму перевѐрнутой цепной линии. Притом h1 – высота арки, а h2 – расстояние между самыми нижними точками арки (между пятами арки).

Вывод уравнения арки в форме перевѐрнутой цепной линии

Отнесѐм плоскость к принятой в [1] системе координат xOy. Будем, используя уравнение (1), искать уравнение перевѐрнутой цепной линии в виде соотношения

заметив, что принятое выше определение позволяет это сделать. В рамках поиска выполним на плоскости построения. Через точки M1( – h2/2, h1 + a), M2(h2/2, h1 + a) и M3(0,a) проведѐм цепную линию. Притом будем предполагать, что a > 0. Тогда уравнением построенной цепной линии будет зависимость (1). Выполним зеркальное (относительно оси абсцисс) отображение цепной линии:

y a ch(x / a).

Эта кривая имеет в нижней полуплоскости вершину с координатами M3'(0, –a). Точки M1 и

M2 перейдут в точки M1'(–h2/2, –h1–a) и M2'(h2/2, –h1–a).

Сложив график полученной кривой линии с графиком функции

найдѐм график перевѐрнутой цепной линии с вершиной M3''(0, h1). В результате сложения графиков точки M1' и M2' перейдут в точки M1''(–h2/2, 0) и M2''(h2/2, 0). Уравнение графика, полученного сложением, имеет вид

Равенство (3) – уравнение перевѐрнутой цепной линии. Сравнивая (2) и (3), получим

Задание числовых значений величин h1 и h2 позволяют найти соответствующее значение параметра a с помощью уравнения

45

В уравнении (5) неизвестной величиной служит a. Для определения еѐ значения может быть применѐн представленный ниже численный способ.

Способ решения уравнения f(x, k) = 0 (x – неизвестное, k –константа)

1.Формируется функция w(t) = f(t, k) или функция w(t) = – f(t, k), зависящая от вспомогательной переменной t (вводится для упрощения вычисления значений функции w с помощью подпрограммы).

дящее при программировании значения функции w(t) из множества допустимых значений, соответствующих используемому типу переменной величины.

3.Подбирается малое положительное число λ, начиная с близкого к нулю числа, по критерию из второго пункта.

При этом находятся значения функции w в очередных точках, являющихся элементами последовательности { i }. Вычисления в этих точках останавливаются, если в некоторой такой точке функция w принимает значение 0 или если на концах некоторого промежутка из набора промежутков

первый найденный нуль функции w, а следовательно, и за первое найденное значение величины x. Во втором случае к последнему промежутку применяется метод деления отрезка пополам для нахождения первого нуля функции w и первого значения величины x. После нахождения первого нуля функции w описанная выше процедура продолжается в целях нахождения других значений величины x (вычисление элементов последовательности).

Пример 1. Требуется найти уравнение арки в форме перевѐрнутой цепной линии, если еѐ высота 70 м, а расстояние между еѐ самыми нижними точками 380 м. (Взяты размеры арочного пролѐта Бугринского моста через реку Обь в Новосибирске. Арка этого пролѐта по форме близка к перевѐрнутой цепной линии).

Решение. h1 = 70 м, h2 = 380 м. Решаемое уравнение:

0 a ch(190/ a) 70 a.

Функция w имеет вид

w(t) t ch(190/ t) 70 t.

вательности { i } прекращается при i = 26873. Нужное значение величины a лежит между числами 268,77 и 268,78. Применение метода деления отрезка пополам приводит к равенству a = 268,776. Способ не выявил других корней решаемого уравнения. b = 338,776. Уравнением арки служит соотношение

y 268,776 ch(x / 268,776) 338,776.

Пример 2. Требуется найти уравнение арки в форме перевѐрнутой цепной линии, если еѐ высота 192 м, а расстояние между еѐ самыми нижними точками также 192 м. (Арка ―Ворота Запада‖ в Сент-Луисе).

Решение. h1 = 192 м, h2 = 192 м. Решаемое уравнение:

0 a ch(96 / a) 192 a.

46

38,922. Значение величины b = 230,992. Уравнением арки служит соотношение

y 38,922 ch(x / 38,922) 230,922.

Замечание 2. Приводимое в интернете уравнение арки из Сент-Луиса имеет вид

y 38,92 ch(x / 38,92) 230,95.

Пример 3. Найти уравнения цепных линий вида y a ch(x / a),

проходящих через точку M0(1, 3).

Решение. Относительно a решается уравнение

3 a ch(1/ a).

Для этого ищутся нули функции

ли функции w: 0,35364; 2,82089. Следовательно, через точку M0(1, 3) проходят цепные линии с этими же значениями параметра a. Их уравнения:

Замечание 3. Постановка вопроса, изложенного в примере 3, является новой. Результат решения говорит о том, что вращение каждой из найденных цепных линий вокруг оси абсцисс даѐт свой катеноид [1, с. 624]. Площади катеноидов, полученных вращением кривых

(8) и (9) в квадратных единицах измерения, равны соответственно 58,97 и 36,97. Оба катеноида содержат те окружности, которые получаются вращением точки M0 и точки, симметричной ей (относительно оси ординат), вокруг оси абсцисс. Площадь цилиндра, полученного вращением того отрезка прямой, который соединяет точку M0 с точкой, симметричной ей, равна числу 37,70. Это число меньше числа 58,97. Поэтому при вращении цепная линия (8) не даѐт поверхность с минимальной площадью. Этот факт противоречит утверждению [3, с. 118] о том, поверхность катеноида всегда является поверхностью с минимальной площадью.

Пример 4. (Взята отредактированная постановка задачи из [3, с. 121-124]). Найти уравнение линии провисания провода по следующим условиям:

1)расстояние между точками закрепления 50 м;

2)длина провода 50,036 м;

3)провод является тяжѐлым, гибким, однородным, нерастяжимым;

4)точки закрепления находятся на одной высоте.

Также установить, на какое расстояние d провисает середина провода при условиях 1) – 4). Решение. Условия 3) и 4) позволяют искать линию провисания в виде зависимости

y a ch(x / a),

считая, что точки закрепления симметричны относительно оси ординат, а величина a – расстояние от оси абсцисс до самой нижней точки провода (следовательно, величина a имеет одно значение). Используя эту зависимость, будем искать значение величины a. Для поиска будем применять способ решения, приведѐнный выше. Перед поиском заметим, что из условий 1) и 2) следует равенство

которое вытекает из результата применения формулы вычисления длины дуги как части цепной линии, в которой параметром дуги служит координата x (изменяющаяся в промежут-

47

ке [–25; 25]), и в результате применения свойств гиперболических функций. Сформируем функцию

w(t) t ch(25/ t) 25,018.

следующим результатам: нуль функции w является внутренней точкой промежутка

ние 380,404. Поэтому уравнением линии провисания провода является равенство

y 380,404 ch(x / 380,404).

Так как d = y(25) – y(0), то d = 0,822 м.

Замечание 4. В [3] число d = 0,822 получается в результате действий над вспомогательными степенными рядами.

С помощью изложенного выше способа были получены следующие таблицы. В них все величины приведены в метрах.

Таблица 1

Значение параметров a и b в уравнении y a ch(x / a) b перевѐрнутой цепной линии (h1 = h2, h1 = 191 ÷ 209)

48

Значение параметра a в уравнении провода, закреплѐнного в двух точках, и величина d провисания его середины в зависимости от длины s провода.

Расстояние между точками закрепления 50 м

Замечание 5. При составлении таблиц были приняты следующие значения величин:

0 0,05, λ = 0,01.

49