Материал: Строительная механика и сопротивление материалов. Сафронов В.С., Ефрюш

Скачать файл

Заказать новую работу

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

ПРИКЛАДНЫЕ ЗАДАЧИ МЕХАНИКИ ДЕФОРМИРУЕМОГО ТВЕРДОГО ТЕЛА

УДК 519.63:539.3

ВЕКТОРНАЯ ФОРМА МЕТОДА КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ В ЗАДАЧАХ ТЕОРИИ ТОНКИХ ОБОЛОЧЕК

В. А. Козлов1

Воронежский государственный технический университет Россия, г. Воронеж

1Д-р физ.-мат. наук, зав. кафедрой строительной механики тел.: +7(473)2764006 e-mail: vakozlov@vgasu.vrn.ru

В предлагаемой работе метод конечных разностей, применяемый в практике численных расчетов в скалярной форме, представлен в виде обобщающих векторных соотношений. Это позволяет в промежуточных выкладках работать с векторными уравнениями и лишь окончательные выражения записать в скалярном виде. В теории оболочек, например, можно работать с двумя векторными уравнениями равновесия сил и моментов вместо аналогичных шести скалярных. Доказана идентичность схем дискретизации векторных дифференциальных соотношений теории тонких упругих оболочек в системе криволинейных координат по методу криволинейных сеток и методу конечных разностей. Дано обобщение метода криволинейных сеток.

Ключевые слова: векторная форма метода конечных разностей, метод криволинейных сеток.

Авторы [1] отмечают эффективность применения методов конечных элементов и конечных разностей (МКР) при расчѐте оболочек сложной формы, указывая, однако, на часто имеющую место неудовлетворительную сходимость решений. Одной из причин этого при применении МКР является существенное влияние жѐстких смещений элементов оболочки на

погрешность конечно-разностной аппроксимации ковариантных производных от компонент

разрешающихвектор-функций. Как известно, вектор перемещения u можно представить в

виде суммы двух слагаемых, одно из которых соответствует упругому смещению точек обо-

лочки, а второе отвечает смещению как твѐрдого тела: Значение ковариантной производной

			.
u	U u		.
		*

	u		u	j	l	u
				j
		j					l
i		j		i	ij		l
				i

(i 1,2;

j,l 1,2,3)

(1)

от компонент второго слагаемого равно нулю. Обозначения здесь общепринятые для теории

оболочек:

ij – символы Кристоффеля,

– криволинейные координаты срединной поверх-

ности оболочки, u j

– компоненты вектора

: u

u j r

r j , r j , r

– векторы основного и

вспомогательного локального базиса криволинейной системы координат

. Выражение

производной (1) можно заменить в точке k конечно-разностным аналогом, выбрав шаг i численного интегрирования:

(

)

j(k 1)

(k )

l(k )

(2)

ij(k )

__________________

При такой дискретизации в случае незначительного деформирования оболочки в окрестности точки k и относительно больших смещениях еѐ как твѐрдого тела компоненты, отвечающие смещениям оболочки как жѐсткого целого, могут дать погрешность, соизмери-

мую со значением самой вычисляемой производной

	u	.
i	j

Во многих задачах численного

исследования оболочек именно это обстоятельство и вызывает неудовлетворительную сходимость решений.

В работе [1] при конечно-разностной аппроксимации векторное выражение ковариантной производной


	u		u
	u	j			r	j
i		j		i		j
				i


(i 1,2; j 1,2,3; r	n)
3

(3)

в точке k заменяется разностным аналогом в виде

(k 1)

j(k )

(k )

То есть частная производная в направлении координаты

от вектора перемещения

няется конечным выражением

u(k 1)

(k )

(4)

заме-

(5)

Авторы [1] утверждают, что значение конечно-разностной производной (4) от векторфункции, отвечающей жѐстким смещениям элементов оболочки, равно нулю. Это позволяет говорить о «новой» схеме дискретизации – методе криволинейных сеток (МКС), обобщающей и улучшающей МКР в задачах теории оболочек. Но конечно-разностная аппроксимация

(4) полностью идентична (2). Покажем это.


Векторы перемещений u(k 1) , u(k 1) в точках k+1 и k-1 можно представить в виде
	l			l
u(k 1)	ul(k 1) r(k 1)	,	u(k 1)	ul(k 1) r(k 1)	,	(6)

где

(k 1)

(k)

Подставляя (6), (7) в (4), получим

(

)

l(k 1)

(k )

- символ Кронекера,

ul(k 1)

Здесь r

rj(k) j

(k)

Из дифференциальной геометрии

lim

i 0 i

Следовательно, в окрестности точки k

l					l	l	.
r		r				r	.
(k 1)					(k )
				ul(k 1) ul(k 1)				r l

r	j(k )								r j(k) .
r						2		i


ul(k 1)					ul(k ) .
2					ul(k ) .
2
l
l			r m .
	im

(7)

(8)

l							l
r			l		m		r
				r		и			r

	i	im(k) (k)						i

С учѐтом (9) равенство (8) принимает вид

( iu j )(k ) u j(k

что полностью совпадает с (2).


		l	r		m	r
j(k )							j
		im(k )		(k )
1)	u j(k 1)				l

2 i	ij

(

	l	m	l	.
	l	m	l
k )	im(k )	j	ij( k)

k )ul(k ) ,

(9)

(10)

Аппроксимируем методом криволинейных сеток векторные уравнения равновесия теории оболочек:

		aq 0;
a N i		aq 0;

,i				(11)
	r			(11)
aM i	r		a N i	am 0.

,i	i

Здесь ,i оболочки, а лены в виде

	i	, а векторы неизвестных сил


также векторы сил	q	и моментов
также векторы сил		и моментов
			i	N	ij
		N	i		ij
		N			r	j
						j


N i и моментов		M i	в срединной поверхности
	внешней поверхностной нагрузки представ-
m	внешней поверхностной нагрузки представ-

i	q	j		q
Q n; q	q	r	j	q	n	n.	(12)
			j		n		(12)

n r

(13)

При применении МКС первое уравнение (11) равновесия сил следует последователь-

но умножить на

1	2			,
r	, r	, n	(k )	,
(k )	(k )		(k )

а второе – на

	1	)			2	)				,
(n	r	)	(k)	, (n	r	)	(k)	, n	(k)	,
			(k)				(k)		(k)

чтобы в оконча-

тельных скалярных уравнениях получить составляющие

, M

То есть (l=1,2):

, P

(k 1)

a N

r l

2 i

(k )

a N i

(k 1)

(k )

(k 1)

a N i

r l

2 i

(k )

(k 1)

a N i

(k )

2 i

(k )

Или в развѐрнутом виде:

j (k 1)

r l

j (k 1)

r l

(k )

(k 1)

(k )

(k 1)

r l

(k 1)

(k )

1, 2;

(k 1)

(k )

(14)

aN ij

j (k 1)

aN ij

j (k 1)

aQi

(k )

(k 1)

(k )

(k 1)

aQi

(k 1)

(k )

aqn

(k 1)

(k )

(k 1)

(k )

(k 1)

(k )

(k 1)

(k )

(k 1)

(k )

(k 1)

1, 2;

(k )

(k 1)

(k )

(k 1)

(k )

(k 1)

ac N

(k 1)

(k )

(k 1)

(k )

(k 1)

(k )

Раскрывая в полученных уравнениях скалярные произведения

(15)

;

j(k

, n

(k 1)

, r

j(k 1)

(k )

, n

(k 1)

(k )

r p

clq r

, n

clq r

r p

(k 1)

(k )

(k 1)

(k )

каждое

из которых

делится

на

представим

векторы

j(k 1)

виде суммы

j(k 1)

j(k)

В результате с учѐтом равенств,

аналогичных применяемым при выводе

(9), получим

r j(k 1) r(k )

r j(k 1) n(k )

ji(k )

;

ji(k )

;

2 i

(16)

n(k 1) r

(k 1)

(k )

;

2 i

i(k )

r p

clq r

(k )

;

(k )

clq r

r p

(17)

(k 1)

1 clqb

b p .

(k )

;

(k 1)

(k )

Подставим соотношения (16) в уравнения (14) равновесия сил:

aN il			aN
(k 1)
	2	i
	2		aQ
			aQ
			i

il
	(k 1)			a l	N ij
				a l	N ij
				ij
			aQi
(k 1)				(k 1)
	2	i
	2

		abl	Q j		aql				0,
(k )		j	(k )				(k )
(k )			(k )
	ab N ij			aq		n		0.
		ij	(k )			n	(k )

l 1, 2;

(18)

Полученные в результате конечно-разностные уравнения в точке с номером k по виду полностью совпадают со скалярным видом известных уравнений равновесия сил теории обо-

лочек в тензорном виде, где ковариантная производная заменена конечно-разностными соотношениями обычного метода конечных разностей.

Подставляя соотношения (17) в уравнения моментов (15), придѐм к конечноразностным уравнениям вида

aM il

(k 1)

ac jqc pl ipj M iq

ac jlbij Pi

(k )

aQl

(k )

aml

(k )

l 1, 2;

(19)

(k 1)

acljbi j M il

acij N ij

amn

(k )

Эти уравнения имеют некоторые отличия от традиционно применяемых в теории оболочек тензорных моментных уравнений равновесия, в которых ковариантные производные заменены соотношениями по МКР. Объясняется это применяемым в данной работе разложением векторов моментов в виде (13), в которых учитываются моментные составляющие

P	i	, mn	,	перпендикулярные к срединной поверхности оболочки. Эти величины являются вто-

рого порядка малости и, естественно, в подавляющих вариантах прочностного расчѐта не учитываются. Но при теоретических исследованиях учѐт этих компонентов делает теорию оболочек симметричной и позволяет получить полную статико-геометрическую аналогию [2, 3].

Из векторного уравнения равновесия моментов (11) можно получить три скалярных. Раскрывая их с учѐтом разложений (12), (13) и заменив ковариантные производные конечноразностными соотношениями обыкновенного МКР, получим полностью совпадающие с (19) уравнения. Следовательно, и в этом случае схемы аппроксимации по МКС и МКР дают один и тот же конечный результат.

Итак, схемы дискретизации векторных дифференциальных соотношений по методу криволинейных сеток и скалярных уравнений теории оболочек по методу конечных разностей идентичны между собой. Так же, как и МКР, МКС не исключает погрешность аппроксимации ковариантной производной от функции жѐстких смещений и не упрощает вычисление геометрических характеристик и переопределение их в процессе деформирования оболочки, на что указывают авторы [1] ввиду явного отсутствия символов Кристоффеля в формуле (4). При разворачивании разностной аппроксимации (4) они появляются в явном виде (формула (10) или (16),(17) при рассмотрении уравнений равновесия), а в излагаемом авто-

рами [1] варианте эти переменные величины присутствуют в коэффициентах


a	i; j

	i 0.5; j 0.5

[1,

с. 28] преобразования векторных компонент при переходе из локального базиса промежуточных точек между узлами в локальный базис самого узла.

Несмотря на идентичность конечных схем дискретизации по методам конечных разностей и криволинейных сеток, последний действительно является некоторым обобщением МКР, так как применяется к векторным дифференциальным соотношениям в системе криволинейных координат. В ряде случаев это позволяет в промежуточных выкладках работать с векторными уравнениями и лишь окончательные выражения записать в скалярном виде. В теории оболочек, например, можно работать с двумя векторными уравнениями равновесия сил и моментов вместо аналогичных шести скалярных.

Источник: https://studfile.net/preview/16568837/

Смотрите также:



_Rezonans_napryazheniy
_Ugolov_Process_05
'Fratres' Арво Пярта - молитва в музыке
'Миссия университета' как научно-педагогический концепт эпохи постиндустриального развития
«Досрочные страховые пенсии»
«Характеристика объектов коммерческой деятельности в торговле»
(никита)KUL_T_KL_EKZAMEN
[1 курс] БЖД