Материал: Строительная механика и сопротивление материалов. Сафронов В.С., Ефрюш
44.Akhmedova Ye.R., Kanatova M.I. Sobstvennyye chastoty kolebaniy ploskoy balochnoy fermy regulyarnoy struktury. Nauka i obrazovaniye v XXI veke: sbornik nauchnykh trudov po materialam Mezhdunarodnoy nauchno-prakticheskoy konferentsii 31 oktyabrya 2014 g. v 17 chastyakh. Chast' 11. Tambov: OOO «Konsaltingovaya kompaniya Yukom», 31 oktyabrya 2014. Pp. 17-18.
45.Kirsanov M.N., Tinkov D.V. Analysis of the natural frequencies of oscillations of a planar truss with an arbitrary number of panels. Vestnik MGSU. 2019. T. 14. № 3 (126). Pp. 284292.
46.Kirsanov M.N. Lower estimate of the fundamental frequency of natural oscillations of a truss with an arbitrary number of panels. Vestnik MGSU. 2019. T. 14. № 7. Pp. 844-851.
47.Kirsanov M. N. Maple i Maplet. Resheniya zadach mekhaniki. SPb.: Izd-vo Lan', 2012. 512 pp.
DERIVATION OF THE FORMULAS FOR THE DEFLECTION OF A FLAT HINGED-ROD FRAME IN THE OF SYMBOL MATHEMATICS MAPLE SYSTEM
A.Y.Boyko 1, G.N. Tkachuk2
National Research University “MPEI”1, MIPT2
Russia. Moscow
1Student; e-mail: belankin2@gmail.com2Student; e-mail: boykoanyu@mail.ru
A symmetrically externally statically indeterminable lattice-type truss with a rectilinear upper crossbar belt and a lower belt lowered in the middle of the span is loaded with vertical force in the center or evenly along the nodes of the upper belt. Using the induction method, the analytical dependences of the deflection of the middle span on the number of panels along the span and height are derived. The Maxwell-Mohr's formula and the apparatus for compiling and solving recurrence equations are used to obtain a general solution. The equilibrium equations of nodes for determining the forces in the rods are solved in symbolic form in the Maple computer mathematics system. The asymptotics of the solution quadratic in the number of panels is revealed.
Keywords: Truss, deflection, Maxwell-Mohr formula, Maple
25
УДК 624.3:624.072.33
ФОРМУЛЫ ДЛЯ РАСЧЕТА ПРОГИБА ПЛОСКОЙ РЕШЕТЧАТОЙ РАМЫ С ПРОИЗВОЛЬНЫМ ЧИСЛОМ ПАНЕЛЕЙ
Т. А. Тимофеева1
Национальный Исследовательский Университет "МЭИ"1 Россия, г. Москва
1 Студентка, тел.: +7(977)973-78-99; e-mail: timofeevat_a@mail.ru
Предлагается схема статически определимой многорешетчатой фермы рамного типа и дается вывод формул для прогиба середины пролета в зависимости от числа панелей. Рассмотрены два вида нагрузки: сосредоточенная нагрузка в середине пролета, и равномерно распределенная по узлам верхнего пояса. Показаны случаи кинематической изменяемости конструкции. Все расчеты проводятся с помощью системы символьной математики Maple.
Ключевые слова: ферма, прогиб, формула Максвелла-Мора, рама, индукция, Maple.
В век быстрого развития программного обеспечения все более значимое место занимают методы компьютерной (символьной) математики для проектирования и расчета строительных конструкций [1-4]. Этими методами, как показывает практика [5-9], можно получать аналитические решения для регулярных конструкций в зависимости от их порядка. Порядком простой балочной фермы, например, является число панелей, если панели одинаковые. Число схем регулярных статически определимых ферм ограничено. Впервые об этом заявили Hutchinson R. G., Fleck N. A. [10,11], объявив охоту на такие схемы |(" hunt for statically determinate periodic trusses"). Одной из самых распространенных в практике аналитической формулой была в свое время приближенная полуэмпирическая формула Качурина [12,13], применяемая, в частности, в задачах оптимизации как плоских, так и пространственных ферм [14-16]. В число параметров универсальной формулы Качурина входит также число панелей (правда, без уточнения схемы решетки). Методы символьной математики использованы Рыбаковым Л.С. в [17,18] в алгоритмах получения точных решений как статически определимых, так и статически неопределимых плоских и пространственных ферм. Простые расчетные формула для расчета конкретных конструкций этим методом не были получены. В [19-25] методом индукции в системе Maple [26-28] получены решения для прогиба пространственных ферм с произвольным числом панелей. Аналитические решения для плоских ферм с различными решетками даны в [29-33]. Влияние погрешности монтажа на прогиб фермы изучено в [34] с применением системы Maple. Монтажная схема фермы и формула для прогиба фермы найдены в [35]. В решении использованы методы дискретной математики (в частности, задача о реберной раскраске графа). Формулы для прогиба арочных ферм различного типа выведены методом индукции в [36-43].
Рассмотрим ферму высотой (2m+4)h (рис. 1) с пролетом, состоящим из 2n панелей длиной a в ригеле, нагруженную вертикальной силой P в середине пролета. Ферма статически определимая, однако классические "ручные" методы последовательного вырезания узлов и метод сечений Риттера для расчета усилий в такой ферме не годятся. Нет узла с двумя стержнями с неизвестными усилиями, с которого обычно начинают расчет, а все возможные сечения, делящие ферму на две части, пересекают более пяти стержней.
______________________
© Тимофеева Т. А., 2019
26
Рис. 1. Ферма при m=5, n=3
Для определения прогиба фермы по формуле Максвелла-Мора в аналитической форме необходимо также в аналитической форме получить значения усилий в стержнях. Для этого используем программу [27], написанную на языке Maple. Ввод начинается с задания координат узлов. Узлы фермы нумеруются (рис. 2). Начало координат помещается в левую (подвижную) опору.
|
Рис. 2. Номера узлов и стержней при m=2, n=1 |
|
|
|
Представим фрагмент кода для задания координат узлов: |
|
|
> H:=h*(4+2*m): # высота конструкции |
|
|
|
|
m1:=m+n: |
|
|
> |
x[1]:=2*a: |
x[2]:=4*a: |
y[1]:=0:y[2]:=0: |
>for i to m do x[i+2]:=5*a; y[i+2]:=2*h*i-h;
>x[i+m1+n+3]:=a*4*n+5*a;
y[i+m1+n +3]:=H-2*h*i-3*h; end:
>for i to m+3 do x[i+2*m1+5]:=0; y[i+2*m1+5]:=2*h*i-2*h;
>x[i+3*m1+n+12]:=10*a+4*n*a; y[i+3*m1+n+12]:=H-2*h*i+2*h;
>end:
27
Структура соединения стержней и узлов определяется с помощью условных векторов, содержащих номера концов соответствующего стержня по аналогии с заданием графа в дискретной математике.
Первые же расчеты по программе [27] показали, что при некоторых значениях числа панелей определитель системы уравнений равновесия обращается в нуль. Это соответствует кинематической изменяемости конструкции. Ограничиваясь случаем m=5, запишем ряд допустимых значений n: 2, 3, 5, 6, 8, 9, 11, 12.... Общий член этой последовательности
n (6k 1 ( 1) |
k |
) / 4, k 1, 2,3,.... |
(1) |
|
определяется операторами rgf_findrecur и rsolve (пакет genfunc системы Maple). Заметим, что для других значений m формула для допустимых величин n будет другая. Этот факт затрудняет получить методом индукции решение, справедливое при всех n и m.
Расчеты ряда ферм с последовательно увеличивающимся числом панелей дают формулу для прогиба вида:
P(С a |
3 |
С |
c |
3 |
3 |
) / |
|
|
С h |
||||
1 |
|
2 |
|
|
3 |
|
где: EF – жесткость стержней, h – высота пролета, Р –
2 |
EF ), |
(2) |
(2h |
нагрузка на ферму, Сi - искомые коэф-
фициенты, c |
a |
2 |
h |
2 |
. |
|
|
|
|
Из анализа числовых последовательностей коэффициентов в (2) для отдельных решений, используя оператор rgf_findrecur (пакет genfunc системы Maple), получаем рекуррентные уравнения для коэффициентов Ci:
C1(n)
C2(n)
C3(n)
C1(n 1) 3C1(n 2) 3C1(n 3) 3C1(n 4) 3C1(n 5) C1(n 6) C1(n 7)
2C2(n 1) C2(n 2) 3C2(n 3) ;
C3(n 2) .
Используя оператор rsolve, найдем решения
;
рекуррентных уравнений Ci:
C |
|
(4k 3 2(11 ( 1)k )k 2 |
2(32 7( 1)k )k 19( 1)k 55) / 2, |
|||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C |
|
(2(15 12( 1) |
k |
)k |
149( 1) |
k |
261) / 2, |
|||
2 |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C |
|
2(12( 1) |
k |
35). |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|||||
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Применим этот же алгоритм для получения формулы зависимости прогиба от числа панелей в случае действия нагрузки, распределенной по верхнему поясу (рис. 3).
Рис. 3. Ферма под действием распределенной нагрузки, n=6, m=5 Полученные рекуррентные уравнения имеют больший порядок:
28
C1 C2 C3
C |
4C |
|
4C |
6C |
6C |
4C |
4C |
C |
C |
; |
|||
1(n 1) |
|
1(n 2) |
|
1(n 3) |
|
1(n 4) |
1(n 5) |
1(n 6) |
1(n 7) |
1(n 8) |
1(n 9) |
|
|
3C |
|
3C |
2(n 2) |
3C |
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
2(n 1) |
|
2(n 3) |
|
|
|
|
|
|
|
||||
C3(n 2) C3(n 4) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Решения для искомых коэффициентов имеют вид:
|
|
|
30k |
4 |
20(11 |
( 1) |
k |
)k |
3 |
|
6(121 |
3( 1) |
k |
)k |
2 |
8(139 25( 1) |
k |
)k 177( 1) |
k |
|||
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
18(7 4( 1) |
k |
)k 57( 1) |
k |
487 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
591 ;
\
C |
3 |
2(81 16( 1)k )k 41( 1)k 275 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
На рис. 4 показаны кривые зависимости относительного прогиба в случае нагружения |
||
распределенными силами по узлам верхнего пояса |
EF / (PL) , где |
P P(2n 6) — сум- |
||
марная нагрузка на ферму от числа k, связанного формулой (1) с числом панелей в ригеле. Принята длина пролета L 2na =100м.
Рис. 4. Зависимость прогиба от числа панелей
График полученной зависимости отличают весьма заметные скачки величины прогиба (более чем в два раза при k=4, k=5), характерные для многорешетчатых ферм [5, 31, 32]. С ростом числа панелей в ригеле при постоянном пролете кривые постепенно сглаживаются. Заметен также явно нелинейный рост прогиба при уменьшении высоты h.
Полученное решение может быть использовано при расчете подобных конструкций, а найденные случаи кинематического вырождения системы должны предупреждать расчетчика и проектировщика о коварных свойствах сложных решетчатых ферм.
29