Документ: Строительная механика и сопротивление материалов. Сафронов В.С., Ефрюш, страницы 16-20

УДК 624.072.33.041.1

ВЫВОД ФОРМУЛ ЗАВИСИМОСТИ ПРОГИБА ПЛОСКОЙ ШАРНИРНОСТЕРЖНЕВОЙ РАМЫ ОТ ЧИСЛА ПАНЕЛЕЙ

В СИСТЕМЕ СИМВОЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ MAPLE

А. Ю. Бойко1, Г. Н. Ткачук2

Национальный исследовательский университет ―МЭИ‖1 Московский Физико-Технический Институт2

Россия, г. Москва

1Студент;e-mail: boykoanyu@mail.ru 2Студент; e-mail: geoyukos@yandex.ru

Симметричная внешне статически неопределимая ферма решетчатого типа с прямолинейным верхним поясом и опущенным в середине пролета нижним поясом загружается вертикальной силой в центре или равномерно по узлам верхнего пояса. С помощью метода индукции выводятся аналитические зависимости прогиба середины пролета от числа панелей по длине пролета и по высоте. Используется формула Максвелла - Мора и аппарат составления и решения рекуррентных уравнений для получения общего решения. Уравнения равновесия узлов для определения усилий в стержнях решаются в символьной форме в системе компьютерной математики Maple. Выявлена квадратичная по числу панелей асимптотика решения.

Ключевые слова: Ферма, прогиб, формула Максвелла-Мора, Maple

Введение

Расчет строительных конструкций в настоящее время производится в основном численно [1-4] с использованием различных программ, основанных, как правило, на методе конечных элементов. С развитием простых и доступных систем компьютерной математики (Maple, Mathematica, Derive, Reduce и др.) появилась возможность получения аналитических решений для строительных конструкций. Особенно эффективны такие решения для регулярных статически определимых систем. В 2005г. Хатчинсон и Флек объявили "охоту" на схемы статически определимых регулярных ферм [5,6]. Такие фермы допускают аналитические решения задачи о деформации под действием различных (также регулярных) нагрузок, в которые помимо размеров и величин нагрузок как целочисленные параметры входят числа, определяющие порядок регулярности схем. Наибольшее число решений таких задач получено методом индукции с применением систем компьютерной математики. В [7-13] методом индукции в системе Maple получены решения для различных пространственных ферм. Аналитические расчеты различных ферм арочного типа даны в [14-21]. Метод индукции, примененный в этих решениях в сочетании с мощью операторов системы Maple позволяет также рассчитывать такие конструкции как торсионные подвески микромеханического волнового твердотельного гироскопа [22], вантовые системы [23] и свайные фундаменты [24]. Метод индукции для обобщения частных решений на произвольное число панелей описан, в частности, в [25, 26]. В [27] дано решение для фермы, допускающей при определенном числе панелей кинематическую изменяемость. Расчет жесткости стержневой решетки произведен в

[28].Сравнительный анализ формул для жесткости различных решетчатых ферм выполнен в

[29].Фермы с усиленной решеткой аналитически рассчитаны в [30-34]. Внешне статически неопределимая ферма рассчитана методом индукции в [35], многорешетчатая — в [36].

____________________________

15

Для различных плоских ферм под действием как сосредоточенных, так и распределенных нагрузок, формулы для прогиба получены в [37-40]. Метод двойной индукции (по числу панелей и по месту положения груза) применен в [41-46] для оценки собственных частот плоских ферм.

Среди всех этих задач наибольшую трудность вызывают задачи с двумя независимыми целочисленными параметрами. Если трудность задачи с одним параметром можно оценить числом N отдельных решений с конкретными последовательно увеличивающимися числами, задающими порядок регулярности (например, числами панелей в ферме балочного

типа), то для двойной индукции это число равно	N	2	. При этом в некоторых задачах, особен-

но с внешней статической неопределимостью [35], в которых реакции опор определяются не из равновесия конструкции в целом, а из совместного решения уравнений равновесия всех узлов фермы, минимальная длина идентифицируемой последовательности решений может достигать 20 и в некоторых случаях и более того. Учитывая, что аналитические преобразования или преобразования с целыми числами в системах компьютерной математики производятся значительно дольше, получение точных формульных зависимостей прогиба или усилий в стержнях от порядка системы вызывает большие трудности, связанные с затратами времени. Безусловно, в отличие от численных решений, которые необходимо проводить всякий раз, когда меняются какие-то параметры задачи, а в процессе проектирование такое бывает многократно, аналитические решения находятся один раз, а могут быть легко и без погрешностей использованы многократно. Именно к таким задачам относится рассматриваемая задача о деформации фермы, пропорции которой управляются двумя независимыми параметрами - числом условных панелей по длине пролета и по высоте фермы (рис. 1). Две особенности фермы: утолщение ригеля в середине и четыре неподвижные опоры, определяющие ее внешнюю статическую неопределенность. Утолщение ригеля может быть использовано для крепления неподвижного кранового оборудования или освещения.

Такой параметр, как число ячеек периодичности, или число панелей значительно увеличивает область использования расчетных формул для регулярных ферм, обладающих некоторой периодичностью структуры.

Расчет

Рассмотрим ферму высотой h(m+2) и длиной пролета 2(n+3)a (рис. 1). Ферма с 2n+6 панелями (считаются по верхнему поясу ригеля) и m+2 в боковых опорных частях, содержит 8(m+n)+32 стержней, не включая опорные. К ферме приложена сосредоточенную нагрузку Р в центральной части пролета.

Рис. 1. Ферма при n=4, m=3

16

Вывод аналитической зависимости прогиба от числа панелей, иначе говоря, решение задачи, начинается с определения усилий в стержнях. В работе [47] разработана Mapleпрограмма, основанная на методе вырезания узлов и составления матрицы уравнений равновесия всех узлов, позволяющая решить задачу об усилиях в символьной форме. В программу вводятся порядок соединения стержней и узлов и их координаты (рис. 2).

Рис. 2. Нумерация узлов и стержней фермы, n=m=2

Смещение вычисляется по формуле Максвелла – Мора

8m 8n 32		/ EF ,
	S s l	/ EF ,
	i i i
i 1

где s	i	— усилия в стержнях фермы
	i

тральному узлу с номером m+n+5

от действия единичной нагрузки, приложенной к цен-

в нижней точке утолщения,	S	i	— усилия от внешней
		i

нагрузки, распределенной по узлам верхнего пояса (рис. 3),

l	i

— длины стержней, EF —

жесткость стержней, принятая одинаковой для всех стержней конструкции.

Рис. 3. Ферма при n=5, m=4. Нагружен верхний пояс

На основе анализа решения задачи о прогибе ферм с различным числом панелей получено следующее выражение для прогиба

17

где

c	h	2	a	2
		2		2

EF P C a	3	C	c	3	3	2	,
EF P C a		C	c		C h	/ h	,
1		2			3

.

(1)

Рассчитаем коэффициенты в (1) от нагрузки для одиночной нагрузки (рис.1). Методом двойной индукции (сначала по n, а затем по m) обобщением 14 решений были получены коэффициенты:

C (2n

3

6n

2

n(3( 1)

n

7) 3( 1)

n

21) / 6,

1

C

(2n

2

n(3 ( 1)

n

) 8 2m) / 4,

2

C

4m

3

18m

2

32m 6n

2

m 12nm

2

36nm 15 6(1 n)( 1)

n

3( 1)

(m n)

18n 12n

3

(2)

/ 12.

Для этого с помощью оператора rgf_findrecur из пакета genfunc системы Maple были найдены и решены однородные линейные рекуррентные уравнения вида

C

2C

C

4C

3)

C

2C

C

1(n)

1(n 1)

1(n 2)

1(n

1(n 4)

1(n 5)

1(

C

2C

2(n 3)

C

.

2(n)

2(n 1)

2(n 2)

2( n 4)

2( n 5)

C3(n) C3(n 1) 2C3( n 2) 2C3( n 3) C3( n 4) C3( n 5) .

Решения (2) этих уравнений получены при помощи оператора ющими начальными данными. Приведем соответствующие фрагменты

Maple

n 6) .	(3)
	(4)
	(5)

rsolve с соответствупрограммы на языке

>n:='n':
>S:=seq(C2[i],i=1.. Nmax); # последовательность коэффициентов
>Z:=rgf_findrecur(Nmax/2,[S],t,n);# поиск уравнения
>w:=simplify(rsolve({Z,seq(t(i)=S[i],i=1..Nmax/2)},t));
>sort(w);factor(w);
>
										S := 4, 4, 7, 8, 14, 16, 25, 28, 40, 44
					Z := t( n ) t( n 1 ) 2 t( n 2 ) 2 t( n 3 ) t( n 4 ) t( n 5 )
>m:='m':
>S:=seq(C_2[i],i=1..10);
>Z:=rgf_findrecur(5,[S],t,m);
>c3[m]:=simplify(rsolve({Z,seq(t(i)=S[i],i=1..5)},t));
>print(m,c3[m]);
		n2		n ( -1)( n 1 )					3 n		5				n2		n ( -1)( n 1 )					3 n						n2		n ( -1)( n 1 )			3 n		7
S :=													,											3,												,
S :=	2					4			4				,	2				4					4	3,			2					4	4			,
	2					4			4		2			2				4					4				2					4	4		2
			3 n			n ( -1)( n 1 )					n2			n2		n ( -1)( n 1 )						3 n			9		n2		n ( -1)( n 1 )				3 n
	4											,														,								5,
	4		4				4				2	,		2				4					4			,	2					4	4	5,
			4				4				2			2				4					4		2		2					4	4
							n2	n ( -1)( n 1 )								3 n			11		n2		n ( -1)( n 1 )								3 n
																				,												6,
							2				4						4		2	,	2			4							4	6,
							n2	n ( -1)( n 1 )								3 n			13		n2		n ( -1)( n 1 )								3 n
																				,												7
							2				4						4		2	,	2			4							4	7

Z := t( m ) 2 t( m 1 ) t( m 2 )

Под временной переменной t(n) или t(m) подразумеваются искомые коэффициенты.

18

Коэффициенты в решении (1) в случае нагрузки по женной в узлах фермы с порядковыми номерами от 3m 2n

верхнему

12

до 3m

поясу (рис.3), прило- 4n 18 имеют вид:

C1 C2 C3

(3n4 2n3 3n2 ((1)n 2) 2n(3(1)n 20) 72) / 12,

(4n3 n2 (3 (1)n ) 4n(1 (1)n ) 4nm 2(1)n 18 2m(5 (1)n ))

(8(5 2n)m3 36(4 n2 n)m2 (24n3 136n 12n2 6( 1)n 194)m

12n3 (6( 1)m n 90 12( 1)n )n 6(( 1)n 1)n2 3( 1)m 21( 1)m n

/ 8,
		) / 24
105 15( 1)	n	) / 24
	n

Отметим, что в данном случае общая формула (1) расчета прогиба не изменилась. Также остались неизменными и уравнения по переменной m. Графики решения построим для относительной безразмерной величины прогиба ' EF / (P ' L) , где P ' P(2n 7) — сум-

марная нагрузка на ферму. Принят пролет длиной L=2(n+3)a.

На рис. 4 с ростом высоты h прогиб закономерно уменьшается. На рис. же 5 эта закономерность наблюдается только при малых m. После некоторого значения m кривые пересекаются и зависимость от высоты получается обратной.

Рис. 4. Зависимость прогиба от числа панелей n

Рис. 5. Зависимость прогиба от числа панелей m

Аналитическая форма решения позволяет оценить его асимптотику. В случае нагружения распределенными силами по узлам верхнего пояса выясняем, что полученная зависимость на рисунке 4, независимо от некоторой неравномерности роста прогиба в начале графика, в пределе квадратичная:

lim '/ n	2	h(1	m) / (2L)

n

.

Для случая сосредоточенной нагрузки этот предел в два раза больше, изломы на кривых рисунка 4 сильнее, а кривые на рисунке типа 5 пересекаются при значительно больших m.

Выводы

В настоящей работе получены формулы, позволяющие оценивать деформативность предложенной схемы фермы. Сам алгоритм может быть применен и перенастроен на другие нагрузки. В силу линейности задачи по нагрузкам комбинацией отдельных решений можно

19

Материал: Строительная механика и сопротивление материалов. Сафронов В.С., Ефрюш

Смотрите также: