Курсовая работа (т): Решение геометрических задач

Площадь области на поверхности.

.

,

Формула Лагранжа: , тогда

,

 .

Утверждение 1.

Первая квадратичная форма поверхности положительно определена. (Доказательство см. выше).

.

Задача №61 (Розендорн, стр. 30).

1)      ,

2)      .

,

,

.

,

,

.

,

Нормальная кривизна линии на поверхности. Вторая квадратичная форма поверхности.

Определение: Проекция вектора кривизны кривой, лежащей на поверхности, на нормаль к поверхности в данной точке кривой называется нормальной кривизной кривой.

Пусть кривая на поверхности задана уравнением: , .

 - вектор кривизны кривой, ,

.

,

,

,

,

;    ;   ;

,

.

 - нормальная кривизна кривой на поверхности.

;      ;     ;

,

,

,

.

Вычисление коэффициентов второй квадратичной формы.

.

,

,

.

.

Утверждение 2.

Нормальные кривизны двух кривых на поверхности, проходящие через точку Р и имеющих в этой точке общую касательную, в точке Р равны между собой.

Доказательство:

L, M, N, E, F, G - функции от u и v;

L₁=L₂, M₁=M₂, N₁=N₂, E₁=E₂, F₁=F₂, G₁=G₂ в точке Р.

 - задаёт направление касательного вектора кривой в касательной плоскости, следовательно. Если у кривых общая касательная, то , следовательно,

Определение: Нормальная кривизна кривой на поверхности в данной точке называется нормальной кривизной поверхности в данной точке в данном направлении касательной плоскости.

Нормальные сечения поверхности и их свойства.

Определение: Кривая, лежащая в пересечении поверхности плоскостью, проходящую через нормаль к поверхности в данной точке, называется нормальным сечением поверхности в данной точке.

Утверждение 3.

Пусть k - кривизна нормального сечения, тогда в точке Р поверхности (22) , и  - нормальная кривизна поверхности в точке Р в направлении данного нормального сечения.

Доказательство:

,

Нормальное сечение - плоская кривая, нормаль плоской кривой совпадает с главной нормалью, .

, докажем, что .

 лежит в плоскости нормального сечения и перпендикулярен касательной нормального сечения;  перпендикулярен касательной плоскости и лежит в плоскости нормального сечения, следовательно,  перпендикулярен касательной нормального сечения, следовательно, .

.

Определение: , тогда нормальное сечение называется вогнутым. Если , то нормальное сечение называется выпуклым.

Выпуклое нормальное сечение.

Вогнутое нормальное сечение.

Теорема 1 (Менье).

Проведём в точке Р поверхности нормальное и наклонное сечение с общей касательной. Тогда проекция центра кривизны нормального сечения на плоскость наклонного сечения совпадает с центром кривизны наклонного сечения.

Доказательство:

В силу утверждения 2: (*),

(**).

.

угол между плоскостями нормального и наклонного сечения (острый).

.

“+”, если , для вогнутых нормальных сечений;

“-“, если , для выпуклых нормальных сечений.

.

Подставим эту формулу и (**) в (*):

, следовательно, ,

,

,

.

Индикатриса Дюпена.

Определение: Проведём в точке Р поверхности касательную плоскость и в ней отложим от этой точки отрезок длины , где  - нормальная кривизна поверхности в точке Р в направлении, в котором откладывается отрезок в касательной плоскости. Противоположный конец отрезка опишет кривую в касательной плоскости, которая называется индикатрисой Дюпена.

Уравнение индикатрисы Дюпена.

Зададим в касательной плоскости систему координат Pxy, с базисом .

.

Оси Px и Py должны быть касательными к координатным линиям и  соответственно.

.

Пусть точка М на индикатрисе Дюпена (в касательной плоскости).

,

,

.

.

.

Умножим числитель и знаменатель левой дроби на , получим с использованием равенства:

,

следовательно, ,

 - уравнение индикатрисы Дюпена в заданной системе координат в касательной плоскости.

Виды индикатрис Дюпена. Типы точек на поверхности.

Индикатриса Дюпена - кривая второго порядка, в уравнении которой отсутствует слагаемые первой степени.

Инвариант

.        Если  , следовательно, индикатриса Дюпена - эллипс, и точка Р на поверхности называется эллиптической.

.        Если  , следовательно, индикатриса Дюпена - пара смежных гипербол, точка Р называется гиперболической.

.        Если  , тогда индикатриса Дюпена - пара параллельных прямых, точка Р называется параболической.

Примеры:

1.       На эллипсоиде все точки эллиптические.

2.       На однополостном гиперболоиде и гиперболическом параболоиде все точки гиперболические.

.        На торе все три типа точек на поверхности присутствуют:

Во внешней части тора - эллиптические точки, во внутренней части - гиперболические точки, а на окружностях, разделяющих внешнюю и внутреннюю части - параболические точки.

Вблизи эллиптической точки поверхность представляет собой часть эллипсоида. В близи гиперболической точки поверхность представляет собой гиперболический параболоид, а вблизи параболической точки - цилиндр.

Главные оси индикатрисы Дюпена. Формула Эйлера. Главные кривизны поверхности в данной точке.

Индикатрису Дюпена можно привести к главным осям, т.е. мы должны к системе координат, оси которой являются главными осями индикатрисы Дюпена. Уравнение Индикатрисы Дюпена будет каноническим:

.

,

,

Подставим в:

, т.к. если “+”  и “-“, если .

1)      Пусть θ=0

 - значение нормальной кривизны в первом главном направлении индикатрисы Дюпена.

)       

 - значение нормальной кривизны во втором главном направлении индикатрисы Дюпена. Формула (25) преобразуется в

 - формула Эйлера.

Определение:  и  называются главными кривизнами поверхности в данной точке.

Утверждение 4.

 и  являются экстремальными значениями нормальной кривизны, если индикатриса Дюпена не окружность.

Доказательство:

Продифференцируем (26) по θ:

,

1)     

)        )       

)       

В случае 2) , индикатриса Дюпена - окружность,  не зависит от θ.