Курсовая работа (т): Решение геометрических задач

Уравнение эволюты в натуральной параметризации.

Кривая задана .

, перпендикулярен нормали,

 - радиус-вектор точек на нормали, ,

, распишем по координатам .

 - уравнение семейства нормалей.

Продифференцируем уравнение по s:

.

,

.

Распишем по координатам и получим:

.

Уравнение эволюты в произвольной параметризации.

Пусть кривая задана .

 - касательный вектор, перпендикулярен нормали, т.е. ,      (*).

 - уравнение семейства нормалей.

Уравнение (*) продифференцируем по t:

.

.

параметрические уравнения эволюты.

Пример:

.

,

.

Эвольвента.

Определение: Ортогональной траекторией данного семейства плоских кривых называется кривая, которая пересекает каждую кривую данного семейства под прямым углом.

Определение: Ортогональная траектория семейства касательных называется эвольвентой этой кривой.

Уравнение эвольвенты.

Пусть  - уравнение кривой,  - касательный вектор,  - радиус-вектор точек на эвольвенте.

,  - уравнение эвольвенты.

.

Натуральные уравнения пространственной кривой.

Задача №21 (стр.12):

.

.

,

,

,

,

.

Пусть , тогда

,

,

.

,

,

.

4. Теория поверхностей

Определение: Геометрическое место точек пространства, топологически эквивалентное множеству точек круга на плоскости, называется простым куском поверхности.

Определение: Два простых куска поверхности называются склеенными, если части их границ или целиком обе границы совпадают между собой.

Определение:Поверхностью называется множество точек, которые могут быть склеены из конечного или счётного множества простых кусков.

Уравнения поверхности. Криволинейные координаты на поверхности.

, выражает радиус-вектор точек поверхности в некоторой системе координат как функцию двух параметров u и v

 - параметрическое уравнение поверхности.

В отличие от кривых, поверхности параметризуются двумя параметрами u и v

 - матрица Якоби.

Пусть , из теоремы об обратной функции следует, что первые два уравнения системы (2) можно обратить: ,

 - задание поверхности в явном виде.

 - неявное уравнение поверхности.

Определение: рассмотрим линии на поверхности, в каждой точке которой выполняется:  или . Такие линии на поверхности называются координатными, а  - криволинейными координатами.

Определение: Если в каждой точке поверхности ранг матрицы Якоби равен 2, то система криволинейных координат на поверхности называется правильной.

Рассмотрим линию :

 - уравнение кривой.

 - касательный вектор к линии .

Рассмотрим линию :

 - уравнение кривой.

 - касательный вектор к линии .

Определение:  - называются координатными векторами.

 - строки в матрице Якоби.

Сеть криволинейных координат - правильная   не параллелен .

Касательная плоскость поверхности. Нормаль.

Рассмотрим линию на поверхности, проходящую через точку Р:

 - уравнение линии на поверхности.

 - в точке P(u,v).

Определение: Все касательные векторы ко всем кривым, проходящие через точку Р, лежащим на поверхности, лежащие в плоскости векторов . Эта плоскость называется касательной плоскостью.

 - радиус-вектор точек на касательной плоскости,

 - компланарные вектора, следовательно, ,

 - уравнение касательной плоскости.

Определение: Нормалью к поверхности называется прямая, перпендикулярная касательной плоскости, проходящая через точку касания.

 параллелен нормали,  - радиус-вектор точек нормали

, тогда исходя из пропорциональности координат можно записать:

 - уравнение нормали.

Задача.

Прямая равномерно вращается вокруг пересекающей её перпендикулярной кривой и движется поступательно вдоль этой прямой. Найти параметрические уравнения поверхности.

Решение:

Пусть Oz - неподвижная прямая.

,  - вращается в плоскости xOy.

,

,

,

 - прямой геликоид или коноид.

Длина дуги линии на поверхности. Первая квадратичная форма поверхности.

,

.

,

,

,

,

.

От t₁ до t₂:

, , ,

 - первая квадратичная форма поверхности.

, .

Угол между кривыми на поверхности.

Определение: Углом между двумя кривыми на поверхности называется угол между касательными к этим кривым, проведенных в точке их пересечения.

,

 - касательный вектор вдоль одной кривой,

 - бесконечно малый касательный вектор вдоль другой кривой (оба вектора рассматриваются в точке пересечения кривых).

Рассмотрим cos угла между координатными линиями (cos ω):

)        .

)        .

.