Курсовая работа (т): Решение геометрических задач

τ - касательный вектор кривой в точке Р, по теореме о трех перпендикуляров, следует, что .

,

тогда  

,

,

.

, .

,

, но ,

тогда

Геодезические линии на поверхности.

Определение: линия на поверхности, в каждой точке которой , называется геодезической линией.

Утверждение: в каждой точке геодезической линии вектор кривизны этой линии направлен вдоль нормали к поверхности в этой точке.

Доказательство:

, в силу определения геодезической линии, в каждой

точке , тогда, как видно из рисунка, .

, по определению геодезической линии , тогда все  в любой точке геодезической линии, следовательно:

- уравнение геодезической линии.

Геодезической линией на поверхности является линия наименьшего расстояния между точками.

Пример: на сфере геодезической линией является любая окружность наибольшего радиуса, т.е. окружности, не совпадающие с экватором, не являются геодезическими линиями, а все меридианы - геодезические линии.

Литература

1.       Шарипов Р.А. Курс дифференциальной геометрии: учебное пособие для вузов. - Уфа, 1996.

2.       И.П. Натансон Краткий курс высшей математики. - 1999.