Курсовая работа (т): Решение геометрических задач
В случае 
, то min
, то max
, то - max
, то - min
Определение: Точка Р, в которой 
, называется
омбилической (индикатриса Дюпена - окружность).
Вопрос: как определить главные направления индикатрисы Дюпена и вычислить главные кривизны, не переходя к другой системе координат?
Характеристическое уравнение поверхности в данной точке. Полная и средняя кривизны поверхности.
, 
,
- задаёт направление касательной.
Пусть сначала 
изменяется,
.
Продифференцируем по , при этом
рассматриваем лишь экстремальные значения 
:
экстремально, задаёт
экстремальное направление.
Пусть 
изменяется, 
.
Продифференцируем (27) по в точке
экстремального значения :
.
система уравнений, решение которой 
определяет
главное направление, при этом или 
. Это система линейных однородных
уравнений на 
, решение
которой будет ненулевым, в случае, если её определитель равен нулю.
.
Распишем и получим:
,
,
.
Определение: Н - средняя кривизна поверхности в данной точке,
К - полная кривизна поверхности в данной точке.
Решение уравнения (32) являются 
.
Дискриминант:
.
По теореме Виета:
, 
.
Полная кривизна , 
, знак К
определяется знаком 
:
K>0, то точка Р - эллиптическая,
K<0, то точка Р - гиперболическая,
К=0, то точка Р - параболическая.
Уравнение (32) называется характеристическим уравнение поверхности в точке Р.
Сферическое изображение поверхности. Роль Гауссовой кривизны при сферическом изображении поверхности.
Рассмотрим поверхность, в каждой
точке Р можно построить нормальный вектор 
и рассмотрим произвольную точку О.
Точка Р соответствует началу вектора 
.
Радиус сферы единичный. Точка М на
сфере соответствует точке Р на поверхности. Радиус-вектор точек на сфере
совпадает с вектором 
.
Определение: Множество точек на сфере единичного радиуса называется сферическим изображением поверхности.
На сфере координатные векторы - 
, на
поверхности - 
, тогда 
- на сфере,
- на
поверхности, следовательно, 
- на поверхности.
Через σ обозначим
площадь области на поверхности, а 
- площадь области на сфере.
По формуле Лагранжа 
, 
. Рассмотрим
связь между этими двумя выражениями. 
- компланарны, они перпендикулярны
вектору (координатные
векторы перпендикулярны нормальным векторам). На поверхности 
лежат в
касательной плоскости, а вектор 
перпендикулярен касательной
плоскости; 
определяют
касательную плоскость к сфере, радиус-вектор сферы является нормальным
вектором.
Итак 
, следовательно, 
, так как
все векторы лежат в одной плоскости, а векторное произведение перпендикулярно
векторным множителям.
,
используя Теорему о среднем,
получим: 
, где 
- кривизна
К, вычисленная в некоторой одной точке данной области, площадь которой мы
считаем.
.
При 
и 
- правые тройки векторов,
при 
- левая тройка векторов,
при 
.
Внутренняя геометрия поверхности.
Определение: Изгибанием поверхности называется топологическое отображение поверхности (гомеоморфизм), которое исключает растяжения и сжатия.
Определение: Свойства поверхности, которые не изменяются при изгибаниях, составляют так называемую внутреннюю геометрию поверхности.
Примеры:
1. Длина дуги кривой на поверхности относится к внутренней геометрии поверхности, следовательно, первая квадратичная форма поверхности относится к внутренней геометрии.
2. Угол между двумя кривыми относится к внутренней геометрии поверхности.
. Площадь области на поверхности относится к внутренней геометрии.
. Нормальная кривизна кривой на поверхности, следовательно, и вторая квадратичная форма не относятся к внутренней геометрии поверхности.
Индексные обозначения в дифференциальной геометрии поверхностей.
Обозначим: 
, 
, 
, 
,
Первая квадратичная форма
описывается матрицей:
.
.
Правило Эйнштейна: если в
произведении индекс встречается один в верху и один раз внизу, то по этому
индексу предполагается суммирование, при этом знак суммы не пишется.
.
,
,
,
где 
,
.
, 
, тогда 
.
Сопровождающий трехгранник поверхности.
Деривационные формулы.
Рассмотрим в каждой точке
поверхности три вектора: 
- они
являются направляющими векторами ребер сопровождающего трехгранника
поверхности.
Разложим производные этих векторов по этим же векторам.
(в силу утверждения 1 векторного
анализа), 
(так как 
лежит в
касательной плоскости, а 
лежит в
плоскости, перпендикулярной касательной плоскости). Скалярно умножим на деривационную
формулу I рода:
, в силу того, что 
, получим:
Скалярно умножим на 
деривационную
формулу I рода:
. Учтем при этом, что:
Следовательно, подставив (37),
получим, 
, но в свою
очередь
.
и просуммируем по k
, так как 
, в итоге
получили:
.
.
Скалярно умножим на деривационную
формулу II рода:
, в силу того, что , получим,
что 
. Учтем при
этом, что:
.
Скалярно умножим на 
деривационную
формулу II рода:
, так как 
. Используя
формулу, получим: 
. Теперь нам
нужно найти 
, для этого
рассмотрим: 
, с другой
стороны по правилу Лейбница
(а) 
(б) 
(в) 
Просуммируем (а) и (б) и вычтем (в),
учитывая, что 
:
, тогда
(1)
(2)
(1) - символы Кристоффеля I рода,
(2) - символы Кристоффеля II рода.
Геодезическая кривизна кривой на поверхности.
Геодезические линии.
Рассмотрим кривую на поверхности и
вектор кривизны 
в некоторой
точке этой кривой. Спроецируем вектор кривизны на касательную плоскость к
поверхности в данной точке Р. Обозначим через 
проекцию вектора кривизны на
касательную плоскость в точке Р.
Определение: геодезической кривизной
называется модуль проекции вектора кривизны на касательную плоскость 
.
.
Рассмотрим проекцию вектора кривизны
на касательную плоскость. Пусть кривая задана как 
, тогда 
,
