Курсовая работа (т): Решение геометрических задач
- уравнение касательной.
Главная нормаль: <Диф.геометрия(курсовая).doc>
- направляющий вектор главной
нормали, так как 
.
- точки на кривой, 
- радиус вектор точек на главной
нормали, тогда 
,
следовательно, в силу пропорциональности координат можно записать:
- уравнение главной нормали.
Бинормаль: <Диф.геометрия(курсовая).doc>
- направляющий вектор бинормали, он
должен быть перпендикулярен касательной и главной нормали, т.е. 
, тогда имеет
координаты:
.
; 
; 
.
- радиус-вектор точек на бинормали,
- вектор
бинормали, - точки на
кривой, тогда 
,
следовательно, в силу пропорциональности координат запишем:
уравнение бинормали.
Нормальная плоскость: <Диф.геометрия(курсовая).doc>
=- радиус вектор точек нормальной
плоскости,
- направляющий вектор касательной, - точки на
кривой
, распишем это уравнение по
координатам:
уравнение нормальной плоскости.
Соприкасающаяся плоскость: <Диф.геометрия(курсовая).doc>
. - вектор
бинормали, =- радиус
вектор точек соприкасающейся плоскости,
, распишем уравнение по координатам:
уравнение соприкасающейся плоскости.
. 
-
радиус-вектор точек соприкасающейся плоскости, вектора касательная и главная
нормаль 
лежат в
соприкасающейся плоскости, тогда вектора 
должны быть компланарны, , 
.
уравнение соприкасающейся плоскости.
Спрямляющая плоскость: <Диф.геометрия(курсовая).doc>
- направляющий вектор главной
нормали, = -
радиус-вектор точек спрямляющей плоскости.
, распишем уравнение по координатам:
уравнение спрямляющей плоскости.
Сопровождающий трёхгранник в произвольной параметризации.
Пусть кривая задана: 
.
Утверждение 1.
Вектор 
лежит в
соприкасающейся плоскости кривой в данной точке.
Доказательство:
, тогда 
.
Рассмотрим вектор 
вектор лежит в
плоскости векторов 
, т.е. в
соприкасающейся плоскости.
Вектора 
- лежат в
соприкасающейся плоскости кривой.
перпендикулярен соприкасающейся
плоскости, следовательно, 
-
направляющий вектор бинормали.
- направляющий вектор касательной.
- направляющий вектор главной
нормали.
- правая тройка векторов.
Определение: Вектора называются
направляющими векторами рёбер сопровождающего трёхгранника.
Задача 1.
Цилиндр радиуса R проходит
через центр шара радиуса 2R. В пересечении цилиндра и шара
лежит кривая Вивиани. Записать параметрические уравнения этой кривой.
Решение: Пусть
, а
Записать направляющие вектора граней
и рёбер сопровождающего трёхгранника.
Репер Френе.
Определение: Репер Френе - три единичных вектора, задающие направления рёбер сопровождающего трёхгранника.
Пусть кривая задана 
.
- направляющий вектор главной
нормали, но не единичный.
- единичный вектор главной нормали.
.
- правая тройка векторов составляет
репер Френе.
Свойства:
· 
· 
· 
Лемма.
Даны две некомпланарные
упорядоченные тройки векторов 
и 
, причём 
, тогда 
и одинаковой
ориентации; 
и различной
ориентации.
Докажем, что 
.
Доказательство:
,
, 
.
- правая тройка векторов,
.
Репер Френе в произвольной параметризации.
Пусть кривая задана 
.
- касательный вектор,
- вектор бинормали,
- вектор главной нормали.
,
,
.
- левая тройка,
- правая тройка.
Формулы Сере-Френе.
,
.
По лемме
.
.
- формулы Сере-Френе.
Задача (Розендорн, стр. 12, №20 б))
, найти репер Френе.
, 
,
,
.
,
,
,
.
Аналогично для 
.
Кривизна и кручение кривой. Кривизна.
Определение: Предел отношения угла поворота
касательной на дуге кривой, стягивающейся к данной точке, к длине этой дуги
называется кривизной кривой в данной точке.
- кривизна кривой.
Утверждение (о кривизне):
Величина k в формулах Серре-Френе равна кривизне кривой.
Лемма:
Отношение модуля приращения единичного переменного вектора к углу его поворота при стремлении этого угла к нулю равен единице.
Доказательство леммы:
,
.
(хорда в пределе равна длине дуги
окружности).
.
Следовательно в (*) заменяем: .
Доказательство утверждения:
.
По лемме: 
.
Кручение.
Определение: Величина 
в формулах
Сере-Френе называется кручением кривой.
Утверждение (о кручении):
Модуль кручения равен пределу отношения угла поворота бинормали на дуге, стягивающейся к данной точке, к длине этой дуги.
Доказательство:
.
.
Формулы вычисления кривизны и кручения кривой в случае натуральной параметризации.
Кривая задана: , 
, , 
.
.
Формулы для кривизны и кручения в случае произвольной параметризации.
Кривая задана: .
Обозначения:
.
.