Курсовая работа (т): Решение геометрических задач

, так как

 ,

.

.

.

Задача №15 (стр. 11).

б) .

.

.

Утверждение 4.

Кривая лежит в одной плоскости   в каждой точке этой кривой.

Доказательство:

Пусть кривая лежит в плоскости  лежат в этой плоскости .

Пусть   лежат в одной плоскости  лежит в одной плоскости в любой точке кривой  кривая плоская.

Определение: Точка пространственной кривой называется точкой спрямления, если в этой точке k=0.

Определение: Точка пространственной кривой называется точкой уплощения, если в ней .

Плоские кривые.

Пусть кривая целиком лежит в плоскости xOy.

Кривая задана:

 параметрическое задание.

 параметрическое задание плоской кривой.

исключим t:

 - неявное уравнение плоской кривой.

Вычислим  (она равна 0):

.

Выразим y:

- задание явной функции в виде графика.

Определение: Точка  называется особой точкой плоской кривой, заданной неявным уравнением, если в ней выполняются равенства:

.

Если  - не особая точка:

 - угловой коэффициент касательной.

В особой точке k не находится.

Проблема: нахождения углового коэффициента в особой точке.

Классификация особых точек плоской кривой.

.

Продифференцируем по t:

,   ,  ,   .

Рассмотрим в особой точке:

,

.

.        . Уравнение (34’) не имеет решений. В точке нет касательной, следовательно, точка - изолированная..         . Уравнение (34’) имеет 2 решения. Имеет 2 касательные, следовательно, через точку  проходит 2 ветви кривой. Точка называется узловой. .    .)       - изолированная.

   (последние две точки не принадлежат кривой).

(0,0) - особая точка.

.

b)       Точка возврата 1-го рода.

В особой точке обе ветви кривой имеют общую касательную, но находятся по одну сторону от нормали, и по разные стороны от касательной.

Пример: .

c)       Точка возврата 2-го рода.

В ней обе ветви находятся по одну сторону от нормали и по одну сторону от касательной.

d)       Точка самоприкосновения.

e)      

Однопараметрическое семейство плоских кривых.

Определение: Однопараметрическим семейством плоских кривых называется множество кривых на плоскости, удовлетворяющих неявному уравнению:

,

где а - параметр.

Примеры:

.       

2.      

Определение: Плоская кривая, которая в каждой своей точке касается некоторой кривой однопараметрического семейства кривых, называется огибающей этого семейства.

Определение: Кривая на плоскости, удовлетворяющая системе уравнений:

,

где  уравнения ОПСК, называется дискриминантной кривой семейства.

Теорема 1.

1)      Огибающая ОСПК, если она существует, является дискриминантной кривой этого ОСПК,

2)      Любая дискриминантная кривая ОСПК является огибающей, если она не состоит из особых точек кривых семейства.

Доказательство:

1)      Пусть  - огибающая ОСПК

по параметру а:

.

Рассмотрим точку касания некоторой кривой семейства  и огибающей, так как кривые касаются, то у них в этой точке общая касательная, следовательно:

 в точке касания.

 - а фиксировано.

, следовательно, огибающая удовлетворяет системе уравнений:

, тогда огибающая есть дискриминантная кривая.

)        Пусть  - дискриминантная кривая семейства.

,

следовательно, дискриминантная кривая касается в каждой своей точке некоторой кривой семейства, она является огибающей. Но в уравнении (*) может быть

, следовательно, дискриминантная кривая состоит из особых точек кривых семейства.

Кривизна плоской кривой.

 - формула вычисления кривизны.

1)      Параметрическое задание плоской кривой

)        - в виде графика.

, , ,

)        - неявное задание.

.

Подставим :

Определение: Окружность, проходящая через три точки плоской кривой, бесконечно сближающихся к данной точке кривой, называется соприкасающейся окружностью.

Рассмотрим плоскую кривую,  - вектор главной нормали плоской кривой. Относительно точки М вдоль отложим расстояние , где k - кривизна плоской кривой в точке М, получим точку С. Строим окружность с центром в точке С и радиусом р. Это и есть соприкасающаяся окружность плоской кривой, построенная в точке М. р - радиус кривизны кривой, а С - центр кривизны кривой.

Уравнение соприкасающейся окружности.

Кривая задана .

уравнение соприкасающейся окружности.

Эволюта.

Определение: Нормалью плоской кривой называется прямая, перпендикулярная касательной, проходящая через точку касания и лежащая в плоскости этой кривой.

Нормаль плоской кривой совпадает с главной нормалью этой кривой, рассмотренной в пространстве.

.

 - уравнение нормали.

Определение: Огибающая семейства нормалей плоской кривой называется эволютой.