Курсовая работа (т): Решение геометрических задач

Решение геометрических задач

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

ГОУВПО "Пермский государственный университет"

Механико-математический факультет

Кафедра алгебры и геометрии

Курсовая работа

по курсу «Дифференциальная геометрия»

Работу выполнила:

Тюрикова Ю.П.

Пермь 2008

Оглавление

Введение

. Использование электронных лекций

. Векторный анализ

. Теория кривых

. Теория поверхностей

Литература

Введение

вектор уравнение геометрия индикатриса

Главная цель этой курсовой работы - создание лекций по курсу «Дифференциальной геометрии». Дифференциальная геометрия - область математики, занимающаяся решением геометрических задач средствами дифференциального исчисления.

При создании электронной лекции использовала программу Microsoft Word. Электронные лекции в значительной мере должны помочь студентам, изучающим курс «дифференциальной геометрии», в усвоении материала. При подготовке к экзаменам этот курс лекций будет незаменимым помощником.

Также при изучении теоретического материала очень существенно решение задач. Ещё Ньютон высказал мнение, что эта сторона дела важнее, чем усвоение теории. Но полностью с этим согласиться нельзя, поэтому теоретические вопросы сопровождаются разобранными практическими заданиями.

1. Использование электронных лекций

В последнее время наблюдается быстрое развитие информационных технологий, в частности их внедрение в учебный процесс, что позволит сделать процесс обучения более наглядным. При этом студенты или преподаватель могут корректировать или добавлять некоторые разделы курса. При использовании электронных лекций можно сэкономить много времени и потратить его на изучение более сложного материала или закрепление полученных знаний.

Данный курс «дифференциальной геометрии» включает в себя следующие разделы: векторный анализ, теорию кривых и теорию поверхностей. Данный материал охватывает программу подготовки студентов механико-математического факультета.

В разделе «векторный анализ» приведены основные понятия, связанные с векторами, описаны наиважнейшие свойства векторов, только после изучения этого раздела можно приступать к изучению раздела «теории кривых», ну а затем и «теории поверхностей».

. Векторный анализ

Определение бесконечно малого вектора. Основные свойства векторов.

Определение:  - бесконечно малый вектор, если .

Определение:  - предел переменного вектора , если  - бесконечно малый вектор.

, где t - скалярная величина, тогда  - вектор-функция от скалярной величины.

Пусть  - вектор-функция, где t - параметр. Необходимо определить правила дифференцирования вектор-функции. Будем находить производную, пользуясь основным определением производной:

, .

Доказательство:

Аналогично можно доказать следующее:

,

,

.

Утверждение 1.

Для того чтобы  необходимо и достаточно, чтобы .

Доказательство:

.

Утверждение 2.

 имеет постоянное направление .

Доказательство:

вектор  имеет постоянное направление, следовательно, , где  - const, тогда .

.

Пусть,

, , , , .

.

Утверждение 3.

 параллелен постоянной плоскости  .

Доказательство:

Пусть ,  - постоянный вектор, , , следовательно, скалярное произведение векторов должно быть равно нулю:

, продифференцируем и получим , ещё раз продифференцируем

  - компланарны, тогда их скалярное произведение равно нулю .

Пусть  - компланарны.

Пусть , тогда продифференцировав, получим:

.

,

,

,

 и , следовательно, , тогда  вектор  имеет постоянное направление и   параллелен плоскости π.

3. Теория кривых

Непрерывные отображения.

Определение: Отображение  называется непрерывным, если бесконечно близким точкам множества А соответствуют бесконечно близкие точки множества В. (А и В - точечные множества.)

Определение: Гомеоморфизмом называется отображение , которое является биекцией, f и f^-1 непрерывны (топологическое отображение).

Определение: А и В называются гомеоморфными множествами (топологически эквивалентными).

Важное свойство: при гомеоморфизмах размерность сохраняется.

Определение: Множество точек пространства, топологически эквивалентное отрезку прямой, называется простой дугой.

Определение: Образы концов отрезка называются концами дуги.

Определение: Кривой называется счётное множество попарно склеенных между собой простых дуг.

Задание кривой.

(1)     - векторное уравнение кривой, если расписать по координатам получим:

(2)     - параметрическое уравнение кривой.

Выбор точки на кривой содержит одну степень свободы - он определяется выбором значения одного параметра t, который пробегает интервал, например, единичный интервал [0,1] на вещественной числовой оси. Точки кривой задаются их радиус-векторами , компоненты которых x(t), y(t), z(t) являются функциями параметра t.

Если рассмотреть другой способ задания кривых: любая точка трехмерного пространства задаётся выбором трех координат x, y, z. Рассмотрим множество точек, координаты которых удовлетворяют функциональному уравнению F(x, y, z)=0, где F - некоторая функция трёх переменных. В пересечении двух поверхностей получается кривая. Это значит, что система двух уравнений задаёт кривую в трёхмерном пространстве.

 - задание кривой в виде пересечения двух поверхностей.

Ни один из рассмотренных способов задания кривой не является предпочтительным перед другим. В зависимости от ситуации используется как тот, так и другой.

Касательный вектор.

 при   - бесконечно малый касательный вектор.

При стремлении Δt к нулю точка с параметром t+Δt устремится к точке с параметром t, и вектор  займёт своё предельное положение и станет касательной к кривой в точке с параметром t. Поэтому предельное значение вектора  - это касательный вектор к кривой в точке с параметром t

Касательный вектор  определяет направление перемещения точки вдоль кривой для данного значения параметра t.

Уравнение касательной.

Пусть прямая задаётся уравнением:

,

где  - направляющий вектор прямой. Точка  принадлежит прямой.  - радиус-вектор точек касательной.

- уравнение касательной,  - координаты касательного вектора.

Это следует из условия пропорциональности координат.

Длина дуги кривой. Натуральная параметризация.

длина дуги кривой от точки с параметром t₁ до точки с параметром t₂.

,

.

S - натуральный параметр на кривой. S N(S)

 - касательный вектор, .

Сопровождающий трехгранник кривой.

Пусть кривая задана:  - натуральная параметризация кривой. . , так как .

Определение: Прямая, перпендикулярная касательной к кривой в точке x₀, называется нормалью.

В любой точке кривой имеется бесконечно много нормалей.

Определение: Нормаль кривой, параллельная вектору , называется главной нормалью.

Определение: Нормаль, перпендикулярная главной нормали, называется бинормалью.

 - направляющий вектор бинормали.

Определение: Касательная, главная нормаль и бинормаль являются рёбрами сопровождающего трехгранника кривой в данной точке.

Определение: Нормальной плоскостью кривой в точке Р называется плоскость, содержащая все нормали в данной точке.

Определение: Плоскость, содержащая касательную и главную нормаль в данной точке кривой, называется соприкасающейся плоскостью.

Определение: Плоскость, содержащая касательную и бинормаль, называется спрямляющей плоскостью.

Уравнения:

Касательная:

 - радиус-вектор точек на касательной,  - точки на кривой,  - касательный вектор; тогда , следовательно, можно написать в силу пропорциональности координат: