Материал: Основы алгебры и анализа . курс лекций по математике. Муштенко В.С., Сербулов Ю.С

5.2. Дифференциальный подход к решению прикладных задач

Пусть y f (x) >0 на [a;b] . Выберем произвольное значение x на [a,b] ,

дадим ему бесконечно малое приращение x dx (рис. 3.6). Тогда площадь бесконечно малого прямоугольника с основанием dx и высотой y f (x) будет

равна dS f (x)dx , а чтобы вычислить всю площадь (рис. 3.7), надо проинтегрировать на всем отрезке [a, b], т. е.

f (x)

Рис. 3.7

Этимметодомэффективнорешаютмногиезадачиприкладногохарактера.

5.3. Вычисление объемов тел вращения

Рассмотрим криволинейную трапецию с основанием [a,b], ограниченную непрерывной кривой y f (x) . Определим объем тела, полученного вращением трапеции вокруг оси 0 x (рис. 3.8). Выберем на отрезке [a,b] произвольную

точку x , дадим ей бесконечно малое приращение dx , проведем через точки x и x dx поперечны сечения (плоскости перпендикулярные оси 0x ). Такими сечениями S(x) являются круги с радиусами, равными модулю ординаты y вра-

щающейся кривой. Рассмотрим бесконечно малый цилиндр с основанием S(x)

и высотой dx .

Его объем равен dV S(x)dx , а площадь сечения

S(x) y2 [ f (x)]2 .

Следовательно,

41

§ 6. Несобственные интегралы

Понятиеопределенногоинтегралапредполагает, чтовыполняютсядваусловия:

1)пределы интегрирования a и b являются конечными;

2)подынтегральная функция f (x) ограничена на отрезке [ a,b ].

Вэтом случае определенный интеграл называют собственным. Если хотя бы одно из этих условий не выполняется, то интеграл называется несобственным.

6.1. Несобственные интегралы с бесконечными пределами

Если один из пределов интегрирования будет бесконечным, то определенный интеграл нельзя построить по общей схеме, так как при разбиении отрезка на элементарные, один из них будет бесконечным и, следовательно, одно слагаемое, а следовательно вся интегральная сумма будет бесконечной.

Пусть функция y f (x) непрерывна на [a, ) . Рассмотрим интеграл

b

I (b) f (x)dx , который является функцией верхнего предела b .

a

Предположим, что при b эта функция имеет конечный предел. Этот предел называется несобственным интегралом с бесконечным верхним пре-

делом от функции y f (x) на промежутке [ a , ) и обозначается

Такой интеграл называется сходящимся.

Если предел (3. 26) не существует или равен бесконечности, то несобст-

венный интеграл f (x)dx называется расходящимся.

a

Геометрически несобственный интеграл выражает площадь бесконечной криволинейной трапеции, ограниченной сверху графиком функции y f (x) ,

бесконечном промежутке [1, ) (рис. 3.10). На любом конечном промежутке [ a,b ], где b >1, существует интеграл

43

который имеет предел

конечном промежутке 1;b существует, но при b равен бесконечности.

где c − любая точка интервала ( ; ).

Если хотя бы один из этих интегралов расходится, интеграл называется

расходящимся.

44

6. 2. Несобственные интегралы от разрывных функций

Пусть функция y f (x) , задана на отрезке [ a,b ] и имеет бесконечный разрыв в точке x c, a c b . В этом случае определение определенного ин-

теграла как предела интегральных сумм неприменимо. При разбиении отрезка [ a,b ] на элементарные, один из них будет содержать точку x c . Если выбрать

эту точку, то слагаемое с произведением f (c) x и, следовательно, предел

интегральной суммы будет равен бесконечности и интеграл становится несобственным.

Данная функция стремится к бесконечности при x 1 (слева). Однако на отрезке [0, c ], где 0< c <1, функция непрерывна, и поэтому существует ин-

c 1 он равен бесконечности:

Таким образом, получили расходящийся несобственный интеграл.

45