Материал: Основы алгебры и анализа . курс лекций по математике. Муштенко В.С., Сербулов Ю.С

Разобьем отрезок [a,b] на n элементарных отрезков:

[a, x1 ],[x1, x2 ],...[xk , xk 1 ],...[xn 1,b].

На каждом участке выберем произвольным образом точку sk . Из-за мало-

сти участков разбиения сила на каждом из них изменяется незначительно и ее можно считать постоянной и равной значению функции в выбранной точке.

Вычислим в этих точках значение силы F f (sk ) , и тогда величина работы на

Тогда работа, совершаемая силой на всем промежутке [a,b] , будет при-

За точное значение работы, совершаемой силой на промежутке [a,b], ес-

тественно принять предел этой суммы, когда число разбиений неограниченно увеличивается, и наибольшая длина малых отрезков стремится к нулю, т. е.

n

A lim f (sk ) sk .

n k 1

Таким образом, работа переменной силы равна определенному интегралу от данной силы на заданном отрезке [a,b]:

§ 10. Связь определенного интеграла с неопределенным. Формула Ньютона-Лейбница

Теорема. Определенный интеграл от непрерывной функции равен разности значений любой ее первообразной для верхнего и нижнего предела интегрирования, т. е.

a

где F(x) – любая первообразная функции f (x).

Доказательство. Пусть на [ a,b ] задана непрерывная функция y f (x) и

на n частей, которые будем обозначать xk xk 1 xk , так что

n

[a,b] xk (b a) .

k 1

51

Рассмотрим разность

F(b) F(a) [F(x1) F(a)] [F(x2 ) F(x1) ... [F(xk 1) F(xk )] ...

[F(b) F(xn 1)] [F(xk 1) F(xk )].

k 1

Применим к каждой квадратной скобке теорему Лагранжа, так как функция F(x) дифференцируема на всем отрезке [ a,b ] и F (x) f (x) .

Имеем F(xk 1 ) F(xk ) F (ck )(xk 1 xk ) f (ck ) xk , k 1,2,3,...n .

Подставляя эти разности в (3.35), получаем

n

F(b) F(a) f (ck ) xk . (3.36)

k 1

В силу условия существования определенного интеграла для непрерывной функции f (x), переходя к пределу в (3.36), получим

§ 11. Формула парабол (Симпсона)

При выводе формулы трапеций мы заменяли кривую ломаной линией, а искомую площадь – суммой площадей трапеций. Естественно, точность формулы повысится, если кривую y f (x) заменить гладкой кривой, проходящей че-

рез соответствующие точки деления, например параболой (рис. 3.16).

y

Рис. 3.16

52

Разделим [a,b] на четное число равных частей n 2m и заменим дугу A0 A2 , соответствующую отрезку [x0 , x2 ] , дугой параболы y ax2 bx c с

осью симметрии, параллельной оси 0y и проходящей через три точки

A0 (x0 , y0 ) , A1(x1, y1) , A2 (x2 , y2 ) .

Уравнение такой параболы имеет вид y ax2 bx c . Подставляя в это уравнение вместо x и y последовательно координаты трех данных точек, получим три уравнения для вычисления трех неизвестных коэффициентов a,b,c . Это всегда возможно, таккакопределительэтойсистемы

Затем криволинейную трапецию заменим соответствующей параболической. Аналогичные замены произведем на всех остальных парных отрезках. Тогда сумма площадей параболических трапеций даст приближенное выражение

интеграла b f (x)dx.

a

y

Рис. 3.17

Найдем площадь S одной криволинейной трапеции, ограниченной сверху

53

Применяя формулу ко всем отрезкам, где = x = b2ma , и складывая их, получим окончательно:

Чем больше точек деления, тем выше точность выведенных формул. Более того, по заданной степени точности мы можем подобрать такое число точек деления n , чтобы обеспечить эту точность при вычислении интеграла.

Эта формула называется формулой парабол (или формулой Симпсона). Абсолютная погрешность вычислений по формуле парабол оценивается

соотношением

54

2. Вычислите несобственные интегралы или докажите их расходимость:

5. Найдитеобъемтела, полученноговращениемвокругоси0хплоскойфигуры,

ограниченнойполуволнойсинусоиды y sin x (0 x ) иосью0х. [ 2 ]

2

2

6. Вычислите x3dx , разбив отрезок интегрирования [0,2] на 4 части.

0

Применить формулу трапеций и Симпсона.

ТЕМА 2 ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ

Понятие функции одной переменной не охватывает все зависимости, существующие в природе. Во многих задачах математики и прикладных дисциплинах встречаются величины, значения которых определяются совокупностью значений нескольких величин, то есть приходится иметь дело с функциями двух, трех и более переменных. Многим явлениям, в том числе экономическим, присуща многофакторная зависимость Исследование таких зависимостей потребовало совершенствования математического аппарата, в частности, введения понятия функции нескольких переменных.

Глава 4. ФУНКЦИИ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ § 1. Основные понятия функции нескольких переменных

Определение. Пусть имеется n переменных величин из некоторого множества X , и каждому набору их значений (x1, x2 ,...xn ) соответствует одно

вполне определенное значение переменной z . Тогда говорят, что задана функ-

ция нескольких переменных z f (x1, x2 ,...xn ) .

Переменные x1, x2 ,...xn называются независимыми переменными или ар-

гументами, z – зависимой переменной или функцией, а символ f означает

закон (способ, правило) соответствия. Множество X называется областью определения функции.

Рассмотрим некоторые примеры функций нескольких переменных.

1. Функция z a1x1 a2 x2 ... an xn b , где a1,a2 ,...an ,b − постоянные числа, называется линейной.

55