Материал: Основы алгебры и анализа . курс лекций по математике. Муштенко В.С., Сербулов Ю.С

Обобщим эти примеры. Рассмотрим функцию y f (x) , разрывную в точке b отрезка [ a,b ] и непрерывную на отрезке [ a,c ], где c - любая точка интервала

Наконец, если функция имеет разрыв в некоторой внутренней точке x c отрезка [ a,b ], то мы разбиваем этот отрезок на два отрезка [ a,c ] и [ c,b ]. Если

несобственные интегралы от данной функции существуют на каждом из этих отрезков, то сумма этих интегралов является несобственным интегралом от разрывной функции y f (x) на отрезке [ a,b ].

Таким образом, из определения непосредственно следует, что несобственный интеграл от разрывной функции является пределом определенного ин-

теграла (но не пределом интегральной суммы).

§ 7. Приближенное вычисление определенных интегралов

Как мы видели выше, многие задачи геометрии, механики, экономики сводятся к вычислению определенных интегралов. Это говорит о важности определенных интегралов для различных отраслей естествознания и о необходимости разработки различных методов вычисления определённых интегралов.

b

Пусть требуется вычислить определенный интеграл I f (x)dx .

a

Если первообразная может быть найдена, то определенный интеграл вычисляется при помощи формулы Ньютона – Лейбница. Если же первообразная не может быть найдена, или если функция задана таблично или графически, то для вычисления интеграла прибегают к приближенным формулам, точность которых может быть сделана сколь угодно большой.

Эти формулы основаны на том, что определенный интеграл численно равен площади криволинейной трапеции. Благодаря этому задача о приближенном вычислении определенного интеграла сводится к задаче о вычислении площади криволинейной трапеции, ограниченной функцией y f (x) на отрезке [ a,b ].

46

Идея приближенных методов заключается в том, что кривая y f (x) за-

меняется другой, достаточно близкой к ней кривой. Тогда площадь приближенно равна площади криволинейной трапеции, ограниченной новой кривой. В зависимости от выбора новой ограничивающей кривой мы получаем ту или иную приближенную формулу интегрирования.

В данном параграфе мы рассмотрим одну из приближенных формул вычисления определенных интегралов− формулу трапеций

7.1. Формула трапеций

b

Пусть требуется найти определенный интеграл f (x)dx от непрерывной

a

функции y f (x) , который численно равен площади криволинейной трапеции, ограниченной данной функцией на отрезке [a,b] (рис. 3.14).

Разобьем отрезок [ a,b ] на n равных частей точками

a x0 x1 ... xn b , так что x b n a . Впишем в кривую ломаную,

заменим криволинейную трапецию ступенчатой фигурой, состоящей из прямолинейных трапеций, и вычислим ее площадь.

Площадь криволинейной трапеции приближенно равна площади ступенчатой трапеции:

Эта формула называется формулой трапеций.

Абсолютнаяпогрешностьэтогоприближенияоцениваетсяспомощьюформулы

47

§ 8. Использование определенного интеграла в экономике

Изэкономическогосмыслаопределенного интеграласледует, чтоонравен объемупроизведеннойпродукцииприизвестнойфункциипроизводительноститруда.

Рассмотрим другие примеры использования определенного интеграла в экономике. Частным видом производственной функции, выражающей результат производственной деятельности от обусловивших его факторов, является

функция Кобба-Дугласа: z b0 x1b1 x2b2 .

Если считать, что затраты труда есть линейная зависимость от времени, а затраты капитала неизменны, то она примет вид z(t) (at b)ect .

Тогда объем выпускаемой продукции за T лет составит

Пример 1. Найти объем продукции, произведенной за 4 года, если функция Кобба-Дугласа имеет вид z(t) (1 t)e3t .

Решение. По формуле (3.31) объем произведенной продукции равен

Q (1 t)e3t dt .

Интегрируя по частям, получаем

48

Исследуя кривую Лоренца – зависимость процента доходов от процента имеющего их населения (кривую 0BA ) (рис. 3.15), мы можем оценить степень неравенства в распределении доходов населения.

При равномерном распределении доходов кривая Лоренца вырождается в прямую – биссектрису 0A , поэтому площадь фигуры 0AB между биссектрисой 0A и кривой Лоренца, отнесенная к площади треугольника 0AC (коэффициент Джинни), характеризует степень неравенства в распределении доходов населения.

y

(доля населения)

B

100%(доля доходов)

Рис. 3.15

Пример. По данным исследований в распределении доходов в одной из стран кривая Лоренца 0AB может быть описана уравнением y 1 1 x2 , где x − доля

населения, y долядоходовнаселения. ВычислитькоэффициентДжинни. Решение. Согласно определению, коэффициент Джинни равен

Достаточно высокое значение k показывает существенно неравномерное распределение доходов среди населения в рассматриваемой стране.

49

ПРИЛОЖЕНИЯ § 9. Другие задачи, приводящие к понятию определенного интеграла

9.1. Задача о длине пути неравномерного движения.

Пусть точка М движется прямолинейно с переменной непрерывной скоростью v f (t) . Вычислим длину пути, пройденного точкой М за промежуток

времени t [a;b] .

Разобьем промежуток a;b точками tk на n элементарных участков вре-

мени [tk ,tk 1 ], длиной tk tk 1 tk .

В течение малого промежутка времени tk скорость движения считают приближенно постоянной и равной f (tk ) , где tk – некоторый момент времени промежутка tk . Поэтому длина пути за этот промежуток времени приближен-

но равна Sk f (tk ) tk .

Складывая все участки пути, получаем приближённо путь S , пройденный точкой за промежуток времени a;b :

n

S Sn f (tk ) tk .

k 1

Переходя к пределу, находим точное значение длины пути:

n

S lim f (tk ) tk , (3.32)

r 1 0

где k max tk ,k 1,2,...n .

Итак, пройденный путь равен пределу интегральной суммы для функции v f (t) на промежутке времени a;b .

9.2. Задача о работе переменной силы

Если материальная точка под действием силы F , не меняющейся ни по величине, ни по направлению, переместилась на расстояние s в направлении действия силы, то работа силы, как известно из механики, равна произведению

величины силы F F на перемещение s , то есть

A Fs .

Пусть сила F является переменной величиной, но сохраняющей постоянное направление.

Под действием этой силы материальная точка перемещается по прямой, направленной вдоль линии действия силы. Вычислим величину работы, совершаемую этой силой на промежутке [a,b].

Пусть [a,b] − отрезок пути на оси 0 x , в каждой точке которого действует переменная сила F f (x) .

50