Материал: Основы алгебры и анализа . курс лекций по математике. Муштенко В.С., Сербулов Ю.С

векторами: сложение, вычитание, умножение на вещественное число, поэтому комплексные числа часто истолковываются как векторы в комплексной плоскости. Модулем комплексного числа z x iy называется неотрицательное число

z = x2 y2 .

y

M (x, y)

r y

0 x x

Рис. 1.1

Аргументом комплексного числа z 0 называется угол, образованный радиус-вектором точки М с положительным направлением оси 0 x , его величина многозначна и определяется с точностью до слагаемого

2 k , k 1, 2 ,... : Argz arg z 2 k , где arg z , называемый главным значени-

ем аргумента, заключен в промежутке ( ; ]. Аргумент комплексного числа

z0 не определен.

1.3.Тригонометрическая форма комплексных чисел

Из рис. 1.1 следует

Запись комплексного числа в виде (1.4) называется тригонометрической формой комплексного числа.

Из формул (1.3) вытекает, что если arg z , то

r1r2 (cos 1 cos 2 i cos 1 sin 2 i sin 1 cos 2 sin 1 sin 2 )

r1r2[cos( 1 2 ) i sin( 1 2 )].

6

Таким образом,

r r1r2 , 1 2 , т. е. при умножении комплексных чисел их модули пере-

множаются, а аргументы складываются.

При делении, модули делятся, а аргументы вычитаются:

rr1 , 1 2 . r2

Если перемножают n одинаковых комплексных чисел, то получают степень комплексного числа

названную формулой Муавра по имени английского математика.

Эта формула позволяет вывести некоторые важные тригонометрические формулы. Положим, например, в формуле (1.6) n 3 , x.

Мы получили формулы косинуса и синуса тройного угла.

Предлагаем читателю самостоятельно получить формулы синуса и косинуса двойного угла.

Рассмотрим операцию извлечения корня степени n из комплексного числа. Определение. Корнем n ой степени из комплексного числа называется

такое комплексное число, n ая степень которого равна подкоренному числу. Пусть n z n r(cos i sin , тогда n z (cos i sin ) ;

или z n , n (cos n i sin n ) r(cos i sin ),

откуда получаем n r , n 2k , (k 0, 1, 2,...) .

Таким образом, n r n z , 2k (здесь корень арифметический).

n

Из этого следует, что для извлечения корня из комплексного числа надо извлечь корень из его модуля, а аргумент разделить на показатель корня.

При вычислении корней в качестве k достаточно брать лишь значения k 0,1,2...(n 1) , так как при больших значениях k получаются повторения уже

найденных значений корня. Окончательно имеем

7

Из формулы (1.7) следует, что корень n степени из любого комплексного числа z 0 имеет ровно n значений.

Пример 1. Найти 3 2 2i .

Решение. Имеем z 2 2i . Запишем это комплексное число в тригономет-

8

Из формул (1.9) следует, что модуль произведения двух комплексных чисел равен произведению их модулей, а аргументом произведения является сумма аргументов и что модулем частного двух комплексных чисел является отношение их модулей, а аргумент частного равен разности их аргументов.

В силу формулы Эйлера, функция ei периодическая с периодом 2 . Пример. Найти произведение и частное комплексных чисел

z1 1 i 3 , z2 1 i .

Решение. Запишем эти комплексные числа в показательной форме:

ПРИЛОЖЕНИЕ

§ 2. Разложение многочленов на множители

Рассмотрим многочлен степени n с действительными коэффициентами:

Число a (действительное или комплексное) такое, что Pn (a) 0 , называ-

ется корнем многочлена (1.10).

Из курса алгебры известно, что число a тогда и только тогда будет корнем многочлена Pn (x) , если Pn (x) делится нацело на (x a) .

Если многочлен делится на (x a)k , то a является k кратным корнем.

В теории высшей алгебры доказывается, что многочлен (1.10) степени n можно представить, и притом единственным образом, в виде

Следовательно, произведение линейных множителей, соответствующих сопряженным корням, можно заменить квадратным трехчленом с действитель-

9

6.Найдите (4 7i)2 , i10 (2 2i)3 .

7.Представьте числа i , 2 , i ,1 i , 1 i в тригонометрической форме.

8.Представьте в тригонометрической и показательной формах комплексные

числа z1 2 2i, z2 1 i, z3 4i .

9. Запишите в тригонометрической форме и найдите модули комплексных чисел:

Глава 2. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

В курсе математики все ранее изученные операции встречаются попарно: сложение и вычитание, умножение и деление, возведение в степень и извлечение корня, логарифмирование и потенцирование т. е. изучается прямая операция и ее обратная. Ранее мы рассмотрели операцию дифференцирование, которая заключается в том, что для любой функции находится ее производная. Будем рассматривать задачу, обратную задаче о дифференцировании функций: пусть функция f (x) является производной некоторой функции F(x) ; требуется

найти функцию F(x) . Задачу нахождения самой функции по ее производной решает интегральное исчисление.

Ктакой математической задаче приводят многие физические, химические

идругие задачи, например, задача о разыскании закона неравномерного движения материальной точки вдоль прямой по заданной скорости, задача о нахождении закона химической реакции по известной ее скорости и другие.

10