Материал: Основы алгебры и анализа . курс лекций по математике. Муштенко В.С., Сербулов Ю.С

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

2.1 Метод разложения

Метод разложения основан на использовании основных свойств (1–5) неопределённых интегралов и на непосредственном применении формул табл. 1 и 2.

Пример.

		1		2					1		1			1	2
		1		2					x 2		1			1	2
	x				dx x 2								dx	xdx 2 x 6 dx x	3 dx
	x	3 x			dx x 2				1			2	dx	xdx 2 x 6 dx x	3 dx
		3 x							1			2
									x 3		x 3
	x2	7			1			x2 12
	x2		x 6			x 3		x2 12				6	3
2 2							C	2		7 x			x 3 x C.
2 2			7			1	C	2		7 x			x 3 x C.
		6			3

2.2. Метод замены переменной

Этот метод (называемый еще методом подстановки) основан на свойстве инвариантности формул интегрирования. Сущность метода заключается в том, что при помощи надлежащим образом подобранной замены переменной, получают новое более простое выражение, а иногда сразу табличную формулу. При замене x (t) получаем

f (x)dx f [ (t)]d (t)

или, так как d (t) (t)dt , получаем формулу, называемую формулой замены переменной в неопределенном интеграле:

	(2.7)
f (x)dx f [ (t)] (t)dt .

После выполнения интегрирования для получения окончательного результата нужно перейти к старой переменной x .

Примеры.

1. x			x 5dx				x 5 t ,					x t2 5			,	dx 2tdt
(t2		5)t2tdt 2 t					5	10 t		3					5					3
											C 2 (x 5)2						10 (x 5)2					C.
						5		3				5					3
	x x					2							t4 dt				(t4 1) 1
2.				dx x t			,dx 2tdt					2		.	2						dt
	1 x												t2 1				t2	1
2 (t		2	1)dt 2				dt				t3							2		3
									2		3 2t 2arctgt					C		3	x			2	x 2arctg	x C.
					t2			1

Замечание. Метод подведения под знак дифференциала тоже является методом замены переменной. В этом случае заменяют функцию f (x) u.

При использовании метода замены переменной мы вводили вспомогательную переменную u , являющуюся некоторой функцией от x .

В некоторых случаях удобно сразу же не u выражать через x , а x заменять функциейотнекоторойпеременной t , т. е. сделатьподстановку: x = (t) .

Пример 1. Вычислить a2 x2 dx.
Решение. Положим x asin t , тогда dx acostdt и	1 cos 2t
a2 x2 dx a2 a2 sin2 t acostdt a2 cos2 tdt a2	1 cos 2t	dt
	2

a2 12 (t 12 sin t cost) C.

Так как t arcsin 2x , то окончательно получим

a2	x2 dx	a2		x	x a2 x2
			arcsin				C.
		2	arcsin	2	2a	2	C.
		2		2	2a

При интегрировании выражений, содержащих разность (a2 x2 ), полезна под-

становка x a sin t , если разность ( x2	a2 ), то x =	a	или x	a	, при нали-
		sin t		cost

чиивподынтегральномвыражениисуммы( x2 a2 ), полезнаподстановка x a tgt . Все указанные подстановки называются тригонометрическими.

Пример 2. Найти интеграл

4 x2

dx.

Решение. Положим x 2sin t , dx 2costdt ,t arcsin

Тогда

4sin

2 t

2costdt

cos2 t

sin2 t

4sin

sin

dt ctgt t

C arcsin

ctg(arcsin

sin

2.3. Интегрирование по частям

Наряду с методом подстановки, для вычисления интегралов весьма полезен и другой способ, называемый интегрированием по частям.

Пусть u u(x) и v v(x) – две дифференцируемые функции от x . Най-

дем дифференциал от их произведения:

d(uv) udv vdu .

Интегрируя это равенство, получим d(uv)	udv vdu или
udv uv vdu .	(2.8)

Эта формула называется формулой интегрирования по частям. Она да-

ет возможность свести вычисление интеграла udv к вычислению интегралаvdu , который может оказаться существенно более простым, чем исходный,

или даже табличным.

Пример. Найти xsin xdx .

Решение.

u x, dv sin xdx		x cos x cos xdx x cos x sin x C .
x sin xdx		x cos x cos xdx x cos x sin x C .
du dx , v cos x

Если поменять обозначения:

u sin x , dv xdx		x2		x2
		x2		x2
x sin xdx	x2		sin x		cos xdx ,
x sin xdx	x2	2	sin x	2	cos xdx ,
du cos xdx ,v
du cos xdx ,v	2
	2

получаем интеграл, степень x в котором увеличивается, и полученный интеграл становится более сложным, поэтому очень важно правильно обозначать одну из функции через u , а другую вместе с дифференциалом dx , через dv .

Через u удобно обозначать ту функцию, которая после дифференцирования становится проще или меняет свой класс. К таким функциям относятся лога-

рифмические и обратно тригонометрические, т. е. loga x , ln x , arcsin x ,

arctgx .

Если таких функций под знаком интеграла нет, то за u обозначают степен-

ную функцию: xn и затем через u обозначают показательную функцию ax

(три-

гонометрическиефункциичерез u никогданеобозначаютcя).

Формулу интегрирования по частям можно применять неоднократно.

В некоторых случаях получают интеграл подобный исходному. Приводя

подобные интегралы, получают данный интеграл.

Примеры:

1.ln x3x dx.

ln x ,

dv x

x4 ln x

x3dx

x4 ln x

v x3dx

x2 cos xdx .(Здесь применяем формулу (2.8) дважды).

cos xdx

u x

dv cos xdx

sin x 2

xsin xdx

2xdx

, v sin x

u x

dv sin xdx

x2 sin x 2xcos x ( cos x)dx

, v cos x

x2 sin x 2xcos x 2sin x C.

u arctgx

, dv dx

xdx

arctgx

x arctgx

1 x2

, v x

1 x

1 ln(1 x2 ) C.

x arctgx

d(1 x2 ) x arctgx

1 x

2.4. Интегрирование рациональных функций

Функция вида

P (x) a xn a

xn 1

n 1

... a x a ,

(2.9)

где n натуральное число,

a0 ,...an , an 0, постоянные коэффициенты,

называ-

ется многочленом степени n .

Функция, равная отношению двух многочленов, т. е.

f (x)

Qm (x)

(2.10)

P (x)

называется дробно-рациональной функцией или рациональной дробью.

Если степень числителя больше или равна степени знаменателя, т. е. m n то дробь называется неправильной, если меньше (m, n) , то правильной рациональ-

нойдробью.

Приведем общее правило интегрирования рациональных дробей.

1.Если дробь неправильная, то ее надо представить в виде суммы многочлена и правильной дроби;

2.Разложить знаменатель правильной рациональной дроби на множители;

3.Представить дробь в виде суммы простейших рациональных дробей с неопределёнными коэффициентами;

4.Определить эти коэффициенты одним из рассмотренных способов;

5.Проинтегрировать многочлен и полученную сумму простейших дробей.

Пример. Вычислить

x2 2

dx.

x(x 2)

Разложим дробь на простейшие:

x2 2

x(x 2)2

(x 2)

x 2

Здесь корень x 2 двукратный, а корень x =0 простой.

Чтобы найти коэффициенты A, B,C , приводим дроби к общему знаменателю и отбрасываем общие знаменатели в обеих частях:

x2 2 Ax B(x 2) C(x 2)2 .

Теперь значений корней x не хватит для нахождения неопределённых коэффициентов A, B,C . Поэтому надо придать x еще какое-либо наиболее про-

стое значение.

Подставим в это

равенство

значение корней

x 0, x 2 и, например,

x 1 и после вычислений получим A 3, B 2,C 2 .

И, следовательно,

2ln

x 2

2ln

x(x

Заметим, что в ряде случаев разложение дроби удается сделать, не прибегая к неопределенным коэффициентам, а непосредственными преобразованиями.

Пример. Вычислить												dx				.
Пример. Вычислить									x	2	(1 x			2	)	.
									x		(1 x				)
				dx					(1 x2 ) x2								dx	(1 x2 )dx							x2dx
	x	2	(1	x	2		)			x	2	(1	x		2	)	dx	x	2	(1 x	2	)	x	2	(1 x	2	)
	x		(1	x			)			x		(1	x			)		x		(1 x		)	x		(1 x		)
dx2								dx				1	arctgx C.
dx2								2				x	arctgx C.
		x				1 x						x

2.5. Интегралы от тригонометрических функций

Как и в общем случае, для интегрирования тригонометрических функций

нет единого метода интегрирования. Рассмотрим частные случаи интегрирова-

ния тригонометрических функций.

Универсальная подстановка. Рассмотрим интегралы, подынтегральное выражение которых представляет собой рациональную функцию от sin x и cos x , т. е. над этими функциями выполняются рациональные действия (сложе-

ние, вычитание, умножение и деление). Такие функции принято обозначать

R(sin x,cos x).

Интегралы R(sin x,cos x)dx приводятся к интегралам от рациональных

функций подстановкой t tg 2x , которая называется универсальной.

t tg

, x 2arctgt , dx

2dt

t 2

2tg

1 tg

(2.11)

sin x

, cos x

1 t 2 .

2 x

t 2

1 tg

1 t 2

Поэтому R(sin x,cos x)dx R

;

dt R(t)dt.

1 t

Пример. Найти интеграл

sin x

1 t2

2dt

c ln

C .

sinx

1 t2

Источник: https://studfile.net/preview/16563519/

Смотрите также:


ЦЕНОВАЯ ПОЛИТИКА ПРЕДПРИЯТИЯ НА ПРИМЕРЕ ООО «ДНС РИТЕЙЛ»
_archivetempпротивовоспалительные
- Обратный порядок следования фаз 4
- Сопротивление изоляции 25
!_Лабораторные_работы_1_сем_ОУТС
!Контрольная работа (задание)
!Фармакология препаратов для терапии заболеваний дыхательных путей
'Electronics Workbench' – алгоритм инструмента моделирования электронных схем
'Новая экономика': российская специфика