Материал: Основы алгебры и анализа . курс лекций по математике. Муштенко В.С., Сербулов Ю.С

Скачать файл

Заказать новую работу

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

Mx N

Множителю (x2 px q)l соответствует сумма простейших дробей вида

Mx N

Lx P

...

Qx R

(2.20)

(x2 px q)l

(x2 px q)l 1

(x2 px q)

Пример. Разложить дробь

3x 1

(x 2)(x 3)(x 4).

Согласно предыдущим рассуждениям, получаем

3x 1

(x 2)(x 3)(x 4)

x 4

Коэффициенты A, B,C пока не определены. Чтобы их найти, приводим

правую часть равенства к общему знаменателю и отбрасываем знаменатели в обеих частях равенства. Получаем следующее тождественное равенство:

3x 1 A(x 3)(x 4) B(x 2)(x 4) B(x 2)x 4) C(x 2)(x 3) .

При x 2, 3,4	находим A = 7 , B =			8		, C	13 .
При x 2, 3,4	находим A = 7 , B =					, C	13 .
	2		35				14
Теперь можно записать равенство
		3x 1			7		8	13

						10	35	14	.
		(x 1)(x 3)(x 4)			x	2	x 3	x 4	.
		(x 1)(x 3)(x 4)			x	2	x 3	x 4

Можно было бы для нахождения A, B,C давать любые три значения x .

В этом случае мы получили бы систему уравнений с неизвестными A, B,C .

Однако, подставляя вместо x значения корней знаменателя, получаем наиболее простые уравнения; в них каждый раз остается лишь одно неизвестное и сразу определяем коэффициенты.

Каждая из полученных простейших дробей легко интегрируется:

3x 1

x 2

x 3

14 ln

x 4

ln C.

(x 2)(x 3)(x 4)

Неопределенные коэффициенты можно найти другим способом. В полученном тождественном равенстве в правом многочлене приводят подобные члены и, приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x в обеих частях этого равенства, получают систему линейных уравнений, из которой и определяют коэффициенты.

При интегрировании дробей вида (2.17) и (2.18) затруднений не возникает. Дроби же видов (2.19) интегрируются сложнее.

Интегралы вида			dx	мы уже рассматривали ранее (см. 2.2), то есть
	x	2	px q

это интегралы, содержащие в знаменателе квадратный трехчлен. Рассмотрим интегралы вида x2 px qdx.

Заметим, что d (x2

px q) (2x p)dx. Выделим в числителе дроби про-

изводную следующим образом:

Mx N

(2x p) Mp N

(2x p)dx

)

px q

Первый интеграл табличный и равен ln

x2 px q

, а второй –

интеграл

предыдущего вида.

Mx N

Интегралы вида

(1.32)

очень

сложные,

но

вычисляются

(x2 px q)l

приведением их к предыдущему виду, применяя l

раз формулу интегрирования

по частям (не будем их рассматривать).

Все вышесказанное позволяет сформулировать общее правило интегри-

рования рациональных дробей.

1.Если дробь неправильная, то представить её в виде суммы многочлена и правильной дроби.

2.Разложить знаменатель правильной рациональной дроби на множители.

3.Представить дробь в виде суммы простейших рациональных дробей с неопределёнными коэффициентами.

4.Определить эти коэффициенты одним из рассмотренных способов.

5.Проинтегрировать многочлен и полученную сумму простейших дробей. Заметим, что в ряде случаев разложение дроби удается сделать, не прибегая к неопределенным коэффициентам, а непосредственными преобразованиями.

Пример. Вычислить

x2 (1 x2 )

(1 x2 ) x2

x2 )dx

2 dx

2 (1

x2 )

x2 (1 x2 )

(1 x2 )

x arctgx C.

1 x2

3.3. Интегрирование некоторых тригонометрических функций

Пример. Вычислить

1 cos2 x

tgx;

x arctgt ; dx

;

Решение.

1 t

cos2 x

t 2

cos

1 t

arctg tgx

C .

cos 30x

cos 4x

sin17x cos13xdx. =

(sin 30x sin 4x)dx

Интегралы типа tg n x dx , ctg n xdx , n – натуральное число.

Эти интегралы приводятся к рациональным при помощи замены tgx t или способом отщепления.

Например, отщепляем tg 2 x ; x cos12 x 1, помня, что (tgx) cos12 x .

Пример. tg 6 xdx.

Решение. Вводим замену переменной:

tgx t

, x arctgt

, dx

, tg6 xdx t6

1 t

(t4

t2 1

)dt tg5 x

tg3 tgx x C.

Интегралы типа sin nx cos mxdx,

sin nxsin mxdx , cos nx cos mxdx .

Чтобы вычислить эти интегралы, следует представить подынтегральное произведение в виде суммы, использовав формулы тригонометрии:

												sin a cosb	1[sin (a b) sin (a b)],
													2
												sin asin b	1[cos(a b) cos(a b)],
													2
												cos a cosb 1 [cos(a b) cos(a b)].
													2
												УПРАЖНЕНИЯ
1. Найти неопределенные интегралы:														x7
1.	x6 dx ;												ответ: [	x7			c]
1.	x6 dx ;												ответ: [	7			c]			.
														7						.
2.	3 x ;												[	3 x3				x c]
	dx5 ;													4				1			.
3.													[					1			]
3.													[			4x		4	c		]
			x													4x			c		.
4. (2x 3 x)dx ;													[ x2 2x x c ].
5.			(x			x 3)				2	dx	;	[ x				12				9		c]
																			x		2x	2
						x	3															2
						x																	.
6.	e 4 x dx ;												[–		1 e 4 x					c]
													[ 1		4						.
7.	53x 4 dx ;												[ 1			53x 4 c]
					xdx								3								.
8.					xdx				dx ;				[			x2		1 c].
8.					2				dx ;				[			x2		1 c].
					x	1
9.					dx			;						1		arctg				x	c
																						.
		x		2		16								4						4		.
		x				16								4						4

10.					dx		;
10.				25 x		2	;
				25 x
11.					xdx
11.					2
				x 1		;
12.	cos 5 xdx
13.				dx
13.				2
				x 5			;
14.				dx
14.		cos2 7x				;
						;
15.	x			1 x2dx
				xdx			;
16.				xdx
16.			x	2	1	;
			x		1	;
17.	(sin x2 )xdx
							;

18.x3 4 x 2 dx .;

19.3 x x 2 (1 2 x)dx

20.	cos		4x sin 4xdx
21.		x 2	1	dx
					;
		x 1

23.9x2 4 ;

22.

5 xdx

;

1 x

24.

1 ln

;

25.

e x dx

;

26.

sin xdx

1 cos

x ;

27.

2 x 1 ;

28.

1 x x

;

[arcsin			x	c].
[arcsin			5	c].
[	x2 c].
[	1 sin 5x c].
	5
				x2 5 c].
[ln		x		x2 5 c].
[	1 tg7x c].
	7
	1				2		1 x	2
[	3 (1 x					)	1 x		c ].
[	1 ln (x2			1) c].
	2

[ 12 cos x2 c].

[83 3 (4 x2 )3 c].

[ln13 3x x2 c].

[ 241 cos6 4x c].

[ x2 x 2ln x 1 c]. 2

	1		3x 2

		ln		c
			3x 2
12

[52 arcsin x2 c].

[arcsin (ln x) c].

[2 ex 4 c].

[ ln				cos x		1 cos2 x		c].
			1		c].
[ln			1
[ln		x 1
		x 1
[	2		arctg 2x 1				c].
[			arctg 2x 1				c].
3						3

29.sin 3 x cos xdx ;

30.cos 5 xdx ;

31.sin 2x cos 2xdx ;

32.sin5 xdx;

33.cos5 xdx;

34.sin xsin5xdx;

35.sin3 x cos2 xdx;

36.sin2 xcos4 xdx;

37.xcos2xdx;

38.lnxx dx ;

39. x ln xdx;

40.arccos2 xdx;

41.arctg 3 xdx;

42.(x2 1)ex dx ;

43.5 3cosdx x dx ;

Глава 3. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

[	sin4 x								c].
[						4			c].
						4
[					cos6				x	c].
[						6				c].
						6
[					1 cos4x c].
				8
[				1 cos5 x 2 cos3											x cos x c]						.
				5							3										.
[	1 sin5 x									2 sin3 x sin x c]										.
	5									3										.
[	1 sin 4x										1	sin 6x c]
[	1 sin 4x										12	sin 6x c]							.
	8										12								.
[	1 cos 5								x		1 cos 3				x c]				.
	5										3								.
[	1						x		1	sin 4x					1	sin			3 2x c]
[	16						x	64		sin 4x					48	sin			3 2x c]			.
	16							64							48							.
[		x			sin 2x						1 cos 2x c]
[					sin 2x						1 cos 2x c]							.
	2										4							.
[2			2			x (ln x 2) c] .
			2												2
	[						x x ln					x					c]
	[		3				x x ln					x					c]
			3												3				.
[x arccos2x												1 1 4x2							c]	.
												2								.
[xarctg 3x 1 ln(1 9x2 ) c]																				.
											6									.
[e (x 2x 3) c].
[	1 arctg (2tg												x	) c]
[	1 arctg (2tg											2		) c]			.
	2											2					.

Одним из важнейших средств исследования в математике, физике, механике и других специальных дисциплинах является определённый интеграл. Многие задачи, которые невозможно решить методами элементарной математики, решаются при помощи определенного интеграла. Вычисление площадей, ограниченных кривыми, длины дуг, объемов тел, работы, пути, моментов инерции и многие другие задачи сводятся к вычислению определенного интеграла. Рассмотрим ряд задач, приводящих к понятию определенного интеграла.

Источник: https://studfile.net/preview/16563519/

Смотрите также:


ЦЕНОВАЯ ПОЛИТИКА ПРЕДПРИЯТИЯ НА ПРИМЕРЕ ООО «ДНС РИТЕЙЛ»
_archivetempпротивовоспалительные
- Обратный порядок следования фаз 4
- Сопротивление изоляции 25
!_Лабораторные_работы_1_сем_ОУТС
!Контрольная работа (задание)
!Фармакология препаратов для терапии заболеваний дыхательных путей
'Electronics Workbench' – алгоритм инструмента моделирования электронных схем
'Новая экономика': российская специфика