Материал: Основы алгебры и анализа . курс лекций по математике. Муштенко В.С., Сербулов Ю.С
a
3. f (x)dx 0.
a
|
b |
a |
|
|
4. |
|
f (x)dx |
f (x)dx. |
(3.12) |
|
a |
b |
|
|
5. Если отрезок интегрирования разбит на конечное число отрезков, то интегралнавсемотрезкеравенсуммеинтеграловдлякаждогоизотрезковразбиения:
b f |
(x)dx c |
f (x)dx b f (x)dx. |
(3.13) |
||
a |
a |
c |
|
|
|
Доказательство свойств (2—5) предоставляем читателю. |
|||||
6. Если на отрезке [a,b] |
|
|
b |
|
b |
f (x) g(x) , то и |
|
f (x)dx g(x)dx , т. е. обе час- |
|||
|
|
|
a |
|
a |
ти неравенства можно интегрировать (отметим, что дифференцировать неравенства нельзя).
7. «Теорема о среднем»
Если f (x) непрерывнана[a,b ], тона[a,b ] найдетсятакаяточка c [a,b], что
|
|
|
b f (x)dx f (c)(b a), |
a c b. |
(3.14) |
||
|
|
|
a |
|
|
|
|
Доказательство. |
|
|
|
||||
По формуле Ньютона-Лейбница имеем |
|
|
|
||||
|
|
b |
|
b |
|
|
|
|
|
f (x)dx F(x) |
|
|
|||
|
|
a F(b) F(a), где F (x) f (x). |
|
||||
|
|
a |
|
|
|
|
|
Применяя к разности F(b) F(a) теорему Лагранжа (теорему о конечных |
|||||||
приращениях), получим |
|
|
|
||||
|
|
|
F(b) F(a) F (c)(b a) f (c)(b a) . |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
«Теорема о среднем» имеет простой геометрический смысл. |
|
||||||
Пусть |
f (x) 0 |
на [ a,b ]. |
|
|
|
||
y |
|
|
|
y f (x) |
|
В |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
А |
|
|
|
|
С |
|
|
|
|
f (c) |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
D |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
c |
|
|
x |
a |
|
b |
|||||
|
|
|
|
Рис 3.2 |
|
|
|
36
b
Из рисунка (3.2) видно, что f (x)dx SaDBb.
a
Площадь прямоугольника aACb равна S f (c)(b a) .
Таким образом: b f (x)dx f (c)(b a) , т. е. площадь криволинейной тра-
a
пеции равна площади прямоугольника с тем же основанием, а высотой, равной ординате кривой в некоторой промежуточной точке c [a,.b].
8. Теорема об оценке определенного интеграла.
Если функция f (x) интегрируема на отрезке [ a,b ] и для всех x [a,b] выполняется неравенство m(b a) f (x) M (b a) , то
|
m(b a) b f (x)dx M (b a) . |
(3.15) |
|
|
a |
|
|
|
b |
b |
|
Доказательство. Если m f (x), то mdx f (x)dx . |
|
||
|
a |
a |
|
b |
|
|
|
Так как mdx m(b a) , то m(b a) b f (x)dx . |
|
||
a |
|
a |
|
Аналогично b |
f (x)dx M (b a) . |
|
|
a |
|
|
|
Таким образом, m(b a) b f (x)dx M (b a) .
a
Двойное неравенство (3.15) означает, что площадь криволинейной трапеции заключена между площадями прямоугольников с тем же основанием a;b , а высо-
тами, равныминаименьшему m инаибольшему M значениямфункциинаотрезке.
§ 4. Методы вычисление определенного интеграла 4.1. Замена переменной в определенном интеграле
Как и в случае неопределенного интеграла, вычисление определенного интеграла можно упростить с помощью замены переменной.
Теорема. Предположим, что нужно вычислить определённый интеграл
b f (x)dx , где f (x) – непрерывная функция на отрезке [ a,b ].
a
Перейдём от переменной x к переменной t , полагая x (t) .
Пусть значениям t и t по формуле x (t) соответствуют значения x a и x b , то есть ( ) a ,
Тогда при изменении t от до переменная x меняется от a до b , a x b .
37
Имеет место следующая формула замены переменной в определённом интеграле:
b |
|
|
(3.16) |
|
|
||
f (x)dx f [ (t)] (t)dt . |
|||
a |
|
|
|
Доказательство. Пусть |
F(x) – первообразная для функции |
f (x) , |
|
|
|
|
|
т. е. F (x) f (x). Тогда по формуле НьютонаЛейбница |
|
||
b f (x)dx F(b) F(a) .
a
Теперь, если в первообразной F(x) положить x (t) , то функция F[ (t)] будет первообразной для подынтегральной функции преобразованно-
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
го интеграла, т. е. для функции f [ (t) (t), таким образом имеем |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
f [ (t)] |
(t)dt F[ ( )] F[ ( )] F(b) F(a ) f (x)dx . |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
x2 )dx . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример. Вычислить x(2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
Решение. Положим t 2 x2 . Тогда x |
2 t, |
dx |
|
|
|
. |
|
|
|
|||||||||
2 |
2 t |
|
|
|
||||||||||||||
Если x 0, |
t 2 , если x 1, |
t 3. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Следовательно, |
|
|
|
|
|
|
t 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
3 |
|
dt |
3 tdt |
|
|
|
3 |
|
1 |
|
7 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
x(2 |
x |
|
)dx |
2 t t |
|
|
|
|
|
|
1 2 |
|
|
|
|
. |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
0 |
|
|
1 |
|
2 2 t |
1 2 |
|
4 |
|
|
|
|
|
4 |
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
4.2. Интегрирование по частям в определенном интеграле
Теорема. Если функции u u(x) и v v(x) имеют непрерывные производные на отрезке [ a,b ], то справедлива формула
b |
|
|
b |
b |
|
(3.17) |
|
|
|
||||
u(x)v (x)dx u(x)v(x) |
|
a |
v(x)u (x)dx |
|||
|
|
|||||
a |
|
|
|
a |
|
|
Доказательство. |
Поскольку |
функция |
u(x)v(x) − |
|
|
|
b |
|
|
функции u (x)v(x) u(x)v (x) , то u(x)v (x) u (x)v(x)]dx
a
следует формула (3.17), которую можно записать в виде
b |
|
b |
udv uv |
|
ba vdu . |
|
||
|
||
a |
|
a |
первообразная для u(x)v(x) ba , откуда и
38
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример. Вычислить |
xe2xdx. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
x , dv e |
2x |
dx, |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
u |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xe |
|||||||||||||||||
xe2x dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 e2x |
|
|
2 |
|||||||||||
0 |
|
|
|
|
|
du dx ,v e2x dx |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
xe |
2x |
|
1 |
|
1 |
e |
2x |
|
1 |
|
1 |
e |
2 |
|
1 |
e |
2 |
|
1 |
|
1 |
e |
2 |
|
1 |
|||||
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
|
|
0 |
4 |
|
|
0 |
2 |
|
|
4 |
|
4 |
4 |
|
|
4 |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
2x
.
1 |
1 |
1 |
|
2 |
e2x dx |
0 |
0 |
§ 5. Геометрические приложения определенного интеграла
5.1.Вычисление площадей плоских фигур
1.Как мы установили выше (задача о площади криволинейной трапеции), если на отрезке [ a,b ] функция y f (x) непрерывна и положительна, то площадь
криволинейной трапеции с основанием [ a,b ], ограниченной сверху графиком этой функции, можно вычислить по формуле
b |
b |
|
S |
f (x)dx ydx. |
(3.18) |
a |
a |
|
2. Если f (x) 0 на отрезке [ a,b ], то
b |
|
|
S |
f (x)dx. |
3.19) |
a
Формулы (3.18) и (3.19) можно объединить в одну:
S |
|
b f (x)dx |
|
b |
|
f (x) |
|
dx. |
(3.20) |
|
|
||||||||
|
|
|
|
||||||
|
|
a |
|
a |
|
|
|
|
|
Эта формула остается справедливой и в том случае, когда функция f (x) на отрезке [ a,b ] меняет знак, т. е. принимает на этом отрезке как положитель-
ные так и отрицательные значения.
Пример. Вычислить площадь фигуры, ограниченной косинусоидой y cos x , осямикоординатипрямой x (рис. 3.3).
y
|
y cos x |
y cos x |
|
|
|
||
0 |
|
x |
|
|
|
||
|
|||
|
2 |
|
|
|
Рис. 3.3 |
|
39
Решение. По формуле (3.20) имеем S cos xdx . Так как функция cos x
0
в интервале (0, 2 ) положительна, а в интервале ( 2 , ) отрицательна, то
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
2 |
|
|
|
2 cos xdx |
|
|
2 . |
|
|
||
S |
cos x |
dx |
cos x |
dx |
( cos x)dx |
|
|
|||||
|
0 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
Вычислим теперь |
площадь |
фигуры, |
ограниченной сверху |
кривой |
||||||
y f (x) , снизу кривой y (x) , |
f (x) (x) , и двумя прямыми x a , |
x b . |
||||||||||
|
|
|
|
|
y y f (x) |
|
|
d y |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x f ( y) |
x ( y) |
|
|
|
|
|
|
|
y (x) c |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
a |
|
b |
x |
0 |
|
x |
||||
|
|
|
|
|
Рис. 3.4 |
|
|
Рис. 3.5 |
|
|
||
|
|
Площадь фигуры (рис. 3.4) определяется формулой |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S |
[ f (x)dx |
(x)]dx |
|
(3.21) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
Если же фигура ограничена кривыми слева и справа (рис. 3.5), то |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
d |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S [ ( y) f ( y)]dy |
|
(3.22) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
c |
|
· |
|
|
Вболееобщемслучаекриволинейнуюфигуруразбиваютначасти, площадикоторыхвычисляютсяпоприведеннымформуламилиопределяютсянепосредственно.
Пример. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями (рис 3.6): x 0, x 2 y 2x , y 2x x2 .
y 4
|
y 2x |
1 |
y 2x x2 |
x |
|
|
Рис. 3.6 |
0 |
1 |
2 |
40