Материал: Основы алгебры и анализа . курс лекций по математике. Муштенко В.С., Сербулов Ю.С

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

ниями. В результате получаем тождество, из которого методом неопределенных коэффициентов находим недостающие коэффициенты.

Пример. Найдите частное решение уравнения
y	xy	y xcos x ,	y(0) 0 ,		1,
				y (0)

используя метод неопределенных коэффициентов.

Решение. Разложим коэффициенты уравнения в степенные ряды:

p(x) x , q(x) 1,

f (x) x(1

...) x

...

Ищем решение в виде степенного ряда

y c c x c x2

c x 3

... .

Тогда

y c1 2c2 x 3c3 x2

...

... .

y 2c2

2 3c3 x 3 4c4 x2

Из начальных условий находим: c0 0 ,

c1 1.

Подставляем полученные ряды в дифференциальное уравнение

(2c	6c x 12x2 ...)			x(c 2c x 3c x2 4c x3						...)
2	3			1	2		3		4
	(c	c x c x2		...) x		x3		x5	...).
	(c	c x c x2		...) x					...).
	0	1	2		2!		4!
					2!		4!

Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях x :

x0	:	2c	0,
		2
x1	:	6c	2 1,
		3
x2 : 12c				2c c		,
		4		2	2
x3	: 20c			3c	c	1 ,
		5		3	3	2
						2
x4	: 30c			4c	c	0,
		6		4	4

.........................................

Отсюда находим с2 с4 ... 0, с3 31!, с5 51!, с7 71!,....

y x	x3	x5	x7	... sin x .
	3!	5!	7!

Получили искомое частное решение уравнения y sin x .

141

1. 1

n 1

УПРАЖНЕНИЯ

Найти радиус и интервал степенных рядов.

3x 9x2 27x3 ....		Ответ: (R = ,		x ) .
xn	.	(R= 1	,	1	x	1) .
				3
n!		3				3


3. (nx)n .	( R 0).
n 1

4. 1 3x 9x2 27x3 ....

5.				n!xn.
5.				n!xn.
	n 1
6.		3	n2		xn .
6.		3			xn .
	n 1	n!				n
7.				n		n	xn.
7.				n			xn.
	n 1 n!								n2
8.					(1			1	n2
8.					(1			n	.
	n 1							n
				( x 3 ) 2 n
9.											.
9.								n	2		.
	n 1							n
10.						( x 5)n				.

								n4
	n 1							n4

( R 13 , 13 x 13) .

( R 0) .

( R 0).

(R 1e , 1e x 1e).

(R e , e x e).

( R 1, 2 x 4 ) .

[ 6, 4].

142

ПРИЛОЖЕНИЯ

1. Символика обозначений

N множество натуральных чисел; Z множество целых чисел;

Q множество рациональных чисел;

R множество действительных чисел;a,b,c,... элементы множества;

Ш – пустое множество;

[a,b] замкнутый промежуток (отрезок) с началом a и концом b , причём a и b

принадлежат промежутку;

(a,b) интервал с началом a и b , причем a ,b не принадлежат промежутку; (a, b] , [a, b) полуоткрытые интервалы, где в первом – конец a,

а во втором конец b не принадлежит интервалу; ( , ) бесконечный интервал;

[a, ) , (a, ), ( , a], ( , a) полубесконечные интервалы, где конец a, стоящий у квадратной скобки, принадлежит интервалу;

следует;

, равносильность;

, ( ) принадлежит (не принадлежит);
включение множества в другое;
объединение множеств:
пересечение множеств;
любой, всякий;
существует;
угол;
перпендикуляр;
a, ( AB ) вектор a, ( AB) ;
a , AB модуль вектора;
f (x) функция;
D( f ) область определения функции;
E( f ) множество значений функции;
x, ( y) приращение аргумента (функции);
lim x x f (x) A – число A является пределом	f (x) функции в точке x0 ;
0
f (x) производная функции;

dy df (x) f (x)dx – дифференциал функции f (x) ;n сумма элементов от 1 до n;

f (x)dx неопределённый интеграл от функции f (x) ;

b	на отрезке [a,b] .
f (x)dx определённый интеграл от функции f (x)	на отрезке [a,b] .
a

143

2. Греческий алфавит
прописные	строчные	названия
		альфа
B		бетта
Г		гамма
		дельта
Е		эпсилон
Z		дзета
Н		эта
		тэта
I		йота
K	k	каппа
		ламбда
		мю
		ню
		кси
		омикрон
		пи
		ро
		сигма
		тау
		фи
		хи
		ипсилон
		пси
		омега

3. Свойства натуральных логарифмов

1.ln1 0,			гдеln a loge a , e limn (1 1)n						,	e 2,7182828459045...., илиe 2,72.
2.ln e 1,								n
2.ln e 1,
3.ln(ab) ln a ln b,
4.ln a	ln a ln b,
b
5.ln ak		k ln a,
6. ln n ak			k ln a,
				n
loga N			logb N		–	формула		перехода		от одного основания к другому.
loga N			logb a		–	формула		перехода		от одного основания к другому.
			logb a
lg N		ln N		0,43ln,		ln N	lg N	2,3lg x формулы переходы от десятичных лога-
lg N				0,43ln,		ln N	lg e	2,3lg x формулы переходы от десятичных лога-
		ln10					lg e

рифмов к натуральным и наоборот.

144

Библиографический список

1.Пискунов, Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления: в 3 т;

т. 1-2. / Н.С. Пискунов. – М.: Наука, 1968. – 748 с.

2.Шнейдер, В.Е. Краткий курс высшей математики / В.Е. Шнейдер, Ф.И. Слуцкий, А.И. Шумов. – М.: Высшая школа, 1972. – 473 с.

3.Кудрявцев, В.А.Краткий курс высшей математики / В.А. Кудрявцев. –

М.: Наука, 1989. – 655 с.

4.Щипачёв, В.С. Высшая математика: учебник для втузов / В.С. Щипачёв. – М. : Высшая школа, 1996. – 231 с.

5.Письменный, Д.Т. Конспект лекций по высшей математике / Д.Т. Письменный. – М.: Айри-пресс, 2004. – 608 с.

6.Бермант, А.Ф. Краткий курс математического анализа / А.Ф. Бермант. –

М.: Наука, 1967, – 383 с.

7.Запорожец, Г.И. Руководство к решению задач по математическому анализу / Г.И. Запорожец. – М. : Наука, 1964. – 684 с.

8.Данко, П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах: учеб. пособие для вузов: в 2 ч; ч. 2. / П.Е. Данко, А.Г.Попов, Т.Я Кожевникова. – М.:

ООО Издат. дом «ОНИКС», 2003. – 416 с.

9.Муштенко, В. С. Интегрирование : курс лекций /В. С. Муштенко; Воронеж. гос. арх.-строит. ун-т. − Воронеж, 2006. − 128 с.

10.Муштенко, В. С. Неопределенный и определенный интегралы : метод. указания и задания по математике / Воронеж. гос. арх.- строит. ун-т; сост.: В. С. Муштенко, Л. В. Стенюхин, Л. В. Акчурина. Воронеж, 2003. −46 с.

145

Источник: https://studfile.net/preview/16563519/

Смотрите также:


ЦЕНОВАЯ ПОЛИТИКА ПРЕДПРИЯТИЯ НА ПРИМЕРЕ ООО «ДНС РИТЕЙЛ»
_archivetempпротивовоспалительные
- Обратный порядок следования фаз 4
- Сопротивление изоляции 25
!_Лабораторные_работы_1_сем_ОУТС
!Контрольная работа (задание)
!Фармакология препаратов для терапии заболеваний дыхательных путей
'Electronics Workbench' – алгоритм инструмента моделирования электронных схем
'Новая экономика': российская специфика