Материал: Основы алгебры и анализа . курс лекций по математике. Муштенко В.С., Сербулов Ю.С

Следовательно, интервалом сходимости является интервал

2 x 2 2 или 4 x 0 .

Теперь надо исследовать поведение ряда на концах интервала.

ский ряд.

Следовательно, областью сходимости является полуинтервал [ 4,0) .

2.2. Свойства степенных рядов

В дальнейшем мы будем пользоваться основными свойствами степенных рядов, которые приведём без доказательства.

1. Сумма S(x) степенного ряда (9.4) является непрерывной функцией в интервале сходимости ( R , R ).

ответственно R1 и R 2 , можно почленно складывать, вычитать и умножать. Ра-

диус сходимости суммы, разности и произведения этих рядов не меньше, чем меньшее из чисел R1 и R 2 .

3. Степенной ряд внутри интервала сходимости можно почленно дифференцировать; при этом для ряда

при R x R выполняется равенство

4. Степенной ряд можно почленно интегрировать на каждом отрезке, расположенном внутри интервала сходимости; при этом для ряда (9.4) приR x R выполняется равенство

Ряды (9.9) и (9.10) имеют тот же радиус сходимости, что и исходный степенной ряд.

Эти свойства широко используются в теоретических исследованиях и в приближенных вычислениях.

131

§ 3. Разложение функций в степенные ряды 3.1. Разложение в степенные ряды элементарных функций

Рассмотрим ряд xn 1 x x2 x3 ... xn . , который представляет

n 1

собой геометрическую прогрессию со знаменателем q x . Известно, что он

степенного ряда (говорят, что функция разложена в степенной ряд), радиус схо-

При x 1 ряд также сходится, а при x 1 ряд расходится. Следовательно, областью сходимости ряда (9.13) является полуинтервал ( 1,1].

§ 4. Ряды Тейлора и Маклорена

Для приложений важно уметь всякую функцию f (x) разлагать в степен-

ной ряд. Важность такого разложения видна хотя бы из того, что мы получаем возможность приближённо заменить функцию суммой первых членов степенного ряда, т. е. многочленом.

Предположим, что в интервале (x0 R , x0 R ) функция f (x) разлагается в степенной ряд по степеням (x x0 ) , т. е.

f (x) a0 a1(x x0 ) a2 (x x0 )2 a3 (x x0 )3 ... an (x x0 )n .... (9.14)

132

Согласно свойствам степенных рядов, его можно почленнодифференцировать:

который называется рядом Тейлора функции f (x) . Его коэффициенты назы-

ваются коэффициентами Тейлора.

Если в ряде Тейлора положить x0 0 , то получим частный случай ряда Тейлора, который называется рядом Маклорена:

Отметим, что ряд Тейлора можно построить для любой бесконечно дифференцируемой функции (это необходимое условие) в окрестности точки x0 .

Но отсюда еще не следует, что он будет сходиться к данной функции; он может сходиться, но не к функции f (x). Так, например, функция

имеет в точке x 0 производные всех порядков, причем f (n) (0) 0 при всех n . Ряд Маклорена имеет вид

0 10! x 20! x2 ... n0! xn ... .

Он сходится, но его сумма S(x) в любой точке равна нулю, а не f (x). Пусть функция f (x) в интервале (x0 R, x0 R) имеет производные любо-

гопорядка.

133

ТогдарядТейлорадляэтойфункцииможнопредставитьввиде

ся по существу к определению значений x , при которых rn (x) 0.

Если сделать это трудно, то следует каким-нибудь способом убедиться, что написанный ряд Тейлора сходится к данной функции.

Теорема. Если в окрестности точки x0 все производные функции f (x) ограничены одним и тем же числом M 0 , т. е. f (n) (x) M , то для всех x из

этой окрестности ряд Тейлора для этой функции сходится, и его сумма равна f (x). (без доказательства).

4.1. Разложение некоторых элементарных функций в ряд Тейлора (Маклорена)

Для разложения функции f (x) в ряд Маклорена (9.15) нужно:

1)найти производные f (x) , f (x) , ..., f (n) (x),...;

2)вычислить значения производных в точке x0 0;

3)написать ряд (9.16) для данной функции и найти интервал сходимости;

4)найти интервал ( R, R ) , в котором остаточный член ряда Маклорена

rn (x) 0 при n .

Если такой интервал существует, то в нем функция f (x) и сумма ряда

совпадают.

Получим разложения в ряд Маклорена основных элементарных функций. 1. Разложение в ряд Маклорена функции f (x) e x .

Получаем

1)f (x) ex , f (x) ex ,..., f (n) (x) ex ,... ;

2)f (0) 1, f (0) 1,... f (n) (0) 1,...;

134

5) имеем для всех x ( R, R) , f (n) (x) ex eR M , то есть все про-

изводные в этом интервале ограничены одним и тем же числом M eR . Следовательно, по рассмотренной выше теореме nlim rn 0.Таким образом, в разло-

жении функция ex является суммой ряда, т. е.

Нетрудно проверить, что R и ряд сходится на всей числовой оси, т. е. при всех x ( , ).

4) любая производная функции f (x) sin x по модулю не превосходит

3. Разложение в ряд функции f (x) cos x .

Формулу разложения этой функции в ряд Маклорена можно получить аналогично. Однако проще получить разложение функции cos x , воспользовавшись свойством 3 степенных рядов.

135