Материал: Основы алгебры и анализа . курс лекций по математике. Муштенко В.С., Сербулов Ю.С

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

Теорема 2. Если для знакопеременного ряда
u1 u2 ... un ...						(8.26)
сходится ряд, составленный из абсолютных величин его членов
	u1	u2
			...	un	...,	(8.28)
			...	un	...,	(8.28)

то данный знакопеременный ряд также сходится.

Доказательство. Поскольку ряд (8.28) сходится, то в силу критерия Коши, для любого 0 существует такой номер N N ( ) , что при всех n N и

любом целом p 0 выполняется неравенство

n p

k n

Так как

, то ряд (8.26) сходится.

k n

Замечание. Из сходимости ряда (8.26) не следует сходимость ряда (8.37). Например, ряд Лейбница сходится, а ряд, составленный из абсолютных

величин его членов (гармонический ряд), расходится.

Знакопеременный ряд называется абсолютно сходящимся, если сходит-

ся ряд из абсолютных величин его членов.							1
		n 1	1			1	1
Например, ряд	( 1)				1				... является абсолютно сходя-
Например, ряд	( 1)		2	n	1	2	2	2	... является абсолютно сходя-
				n		2		2
	n 1										1
щимся, поскольку сходится ряд из модулей его членов, то есть ряд											1	, как


										n 12n

геометрическая прогрессия со знаменателем q 12 1.

Знакопеременный ряд называется условно сходящимся (не абсолютно сходящимся), если он сходится, а ряд из абсолютных величин его членов расходится.

Например, ряд Лейбница сходится условно. Пример 4. Исследовать, сходится или расходится ряд

									1	1		1		1	1	1	...	( 1)n(n 1)	...
									1	3	32		33		34	35	...	3n	...
										3	32		33		34	35		3n
		Решение. Составляем ряд из абсолютных величин членов данного ряда:
1	1		1	...			1		....
1	3			...		3n			....
	3	32				3n
		Этот			ряд			сходится,			как		геометрическая прогрессия со знаменателем

q 13 1. Следовательно, данный ряд сходится, причем сходится абсолютно.

121

Примечание. Различие между абсолютно сходящимися и условно сходящимися рядами заключается в следующем: абсолютно сходящиеся ряды сходятся в основном в силу того, что их члены быстро убывают, а условно сходящиеся − в результате того, что положительные и отрицательные слагаемые уничтожают друг друга.

ПРИЛОЖЕНИЕ § 6. Геометрическая прогрессия

Пусть дана геометрическая прогрессия a, aq, aq2 ,..., aqn 1,... , где q −

знаменатель прогрессии.

Найдём сумму членов этой прогрессии:

a aq aq2 ... aqn ... .

(8.29)

Естественно, обычным образом, прибавляя слагаемое к слагаемому, сумму найти нельзя, так как слагаемых имеется бесконечное множество.

Поэтому возникает вопрос: что надо понимать под суммой бесконечного числа слагаемых?

Для этого поступим следующим образом: берем первый член прогрессии, затем сумму первых двух, затем сумму трех и т. д., наконец сумму первых n членов прогрессии, которая называется n −ой частичной суммой прогрессии:

S a ,	S	2	a aq		, S	3	a aq aq2 , ...,
1								(8.30)
Sn a	aq			... aqn 1.

Если с ростом числа слагаемых, т. е. при неограниченном увеличении числа членов прогрессии, частичная сумма Sn имеет конечный предел, то этот

предел принимают

за

сумму

всех членов геометрической

прогрессии:

S lim Sn . (8.31)

... aqn (8.32), то, вычитая из (8.32) почленно ра-

Так как Snq aq aq2

венство (8.30), получим

S S q a aqn , S (1 q) a(1 qn ) ,

a(1 qn )

, q 1.

1 q

Найдем предел этой суммы:

a(1 qn )

lim Sn lim

a lim

1 q

n 1 q

Рассмотрим следующие случаи в зависимости от величины q :

1. Если

то

qn 0

при n . Поэтому S

lim

122

2. Если	q		1 ,		то qn при n . Поэтому S , сумма

равна бесконечности.
3. Если		q		1 ,	то при q 1 , Sn a a ... a n a ,	lim Sn , а при

						n

q 1 , Sn a a a ...a 0 при n − четном и Sn a при n − нечетном, следовательно, сумма не существует.

Итак, если геометрическая прогрессия при

q 1

имеет сумму

(8.33)

такая геометрическая прогрессия называется убывающей, а при

сумма

геометрической прогрессии равна или не существует − это возрастающая геометрическая прогрессия.

§ 7. Интегральный признак сходимости

Пусть дан ряд


			un u1 u2 ... un ... .		(8.34)
			n 1
Теорема 5. Дан ряд с положительными членами					и несобственный
Теорема 5. Дан ряд с положительными членами				un	и несобственный
				n 1
интеграл		f (x)dx .	Если при x 1 функция f (x) непрерывна, положительна и
интеграл		f (x)dx .	Если при x 1 функция f (x) непрерывна, положительна и
	1

не возрастает, а в точках x n принимает значения f (n) un , т. е. имеют место

неравенства f (1) f				(2) f (3) ... , то данный ряд и несобственный интеграл
одновременно сходятся или расходятся.
	Доказательство. Если n x n 1, то f (n) f (x) f (n 1) ,
	n 1		n 1		n 1
тогда		f (n)dx		f (x)dx	f (n 1)dx ,
	n		n		n
						n 1
				f (n)		f (x)dx f (n 1) .	(8.35)

Суммируя члены неравенств (8.35) от n 1 до n m , получаем

m		m 1		m	m
f (n)		f (x)dx f (n 1);
n 1		1		n 1	n 1
	m		m 1	m 1
т.е.	un			f (x)dx un u1,
	n 1		1	n 1

			m 1
f (n) 1m 1 f (x)dx f (n) f (1),
			n 1
		m 1
или	Sm		f (x)dx Sm 1 u1.
		1

123

				m 1
Если несобственный интеграл сходится и f (x)dx I , то				f (x)dx I при
любом натуральном m . Тогда		1		1
любом натуральном m . Тогда
m 1
Sm 1 u1 f (x)dx u1	I C	или Sn C	(n 1,2,3,...,		C 0).
1

Так как Sn последовательность монотонно возрастающая и ограниченная, то существует nlim Sn S , т. е. ряд (8.34) также сходится.

Если ряд сходится и un B , то Sm B при любом m . Несобственный

n 1

интеграл также сходится.

Примечание. Большое практическое применение имеет так называемый обобщенный гармонический ряд (или ряд Дирихле):

	1		1	1		1
	1	1	1	1	...	1	...,
	p	1	p	p	...	p	...,
n 1	n		2	3		n
где p любое вещественное число. Этот ряд сходится при								p 1 и расходится
при p 1.

УПРАЖНЕНИЯ

1. Найти сумму геометрической прогрессии

12 13 92 274 ... .

Написать первые пять членов рядов, если общий член задан формулой:

2.an n22n 1.

3.an 1 n 1 2n1 1.

4.an 2nn! 1 .

То же для рядов, заданных суммой:

5. 1 2 n 1 . n 1 n 3

	n	n
6.			.

n 1	(2n 1)!

Написать формулу для общего члена ряда:

7.12 24n 38n 164n ...

8.2 ln1 2 3ln4 3 4 ln9 4 516ln 5 ...

124

9. 1		3		5			7		...
		2		3		4
1
Найти сумму ряда:
10. 1+		1	1		1		... (указание: это геометрическая прогрессия).
		3	9		27
	1			1		1
11.									... .
	2	4	4	6		6		8

Определить поведение ряда (сходимость или расходимость), используя необходимый признак:

12.	1				2				3		...						n	...				(расходится).
12.	2				3				4		...					n 1		...				(расходится).
	2				3				4		1					n 1

13.	arccos												.									(расходится).
13.	arccos									2n			.									(расходится).
	n 1									2n
С помощью признаков сравнения определить поведение ряда.
14.1					2								22				...			2n	...	(сходится)
14.1		1 22										1 24					...		1	22n	...	(сходится)	1
		1 22										1 24							1	22n
(указание: сравнить с геометрической прогрессией, у которой an																								) :
																							2n	) :
			1							1				1									2n
15.1			1							1				1			...					(расходится).
15.1					2						3				4		...					(расходится).
					2						3				4
					3n
16.	1 n										.											(сходится).
16.	1 n			1 32n							.											(сходится).
						1
17.						1				.												(сходится).
17.					n		n			.												(сходится).
	n 1		3				n
					1
18.					1			.														(расходится).
18.								.														(расходится).
	n 1			ln n

С помощью признаков Даламбера или Коши исследовать поведение рядов:

19.	1	8							27			64			125	...	(сходится).
		2								6		24			120
20.	1 16										81			256 ...			(сходится).
	3			9							27			81
					n
21.	n 1		n						.								(расходится).
21.	n 1		2n n!						.								(расходится).
				n
22.	n 1	2					.										(сходится).
22.	n 1		nn				.										(сходится).
			n
23.			n			.											(сходится).
23.			n			.											(сходится).
	n 1	3
								5		n
24.								5					.				(расходится).
24.				n	(2n 1)								.				(расходится).
	n 1	3			(2n 1)
25.									2 n								(расходится).
25.		1							n		.						(расходится).
	n 1								n

125

Источник: https://studfile.net/preview/16563519/

Смотрите также:


ЦЕНОВАЯ ПОЛИТИКА ПРЕДПРИЯТИЯ НА ПРИМЕРЕ ООО «ДНС РИТЕЙЛ»
_archivetempпротивовоспалительные
- Обратный порядок следования фаз 4
- Сопротивление изоляции 25
!_Лабораторные_работы_1_сем_ОУТС
!Контрольная работа (задание)
!Фармакология препаратов для терапии заболеваний дыхательных путей
'Electronics Workbench' – алгоритм инструмента моделирования электронных схем
'Новая экономика': российская специфика