Материал: Основы алгебры и анализа . курс лекций по математике. Муштенко В.С., Сербулов Ю.С

(остатки ряда). Аналогично можно доказать, что если к ряду добавить конечное число членов, то полученный ряд будет сходиться.

Из этих свойств следует, что если ряд (8.12) сходится, то его остаток rn S Sn un 1 un 2 ... стремится к нулю при n , т. е.

nlim rn 0 .

Таким образом, на сходимость ряда не влияет отбрасывание любого конечного числа его первых членов.

§ 3. Необходимый признак сходимости ряда

Нахождение n ой частичной суммы Sn и ее предела для произвольного

ряда во многих случаях является трудной задачей. Поэтому для выяснения сходимости ряда устанавливают специальные признаки сходимости: необходимый и достаточный признаки сходимости.

Рассмотрим числовой ряд

Теорема. Если ряд сходится, то его общий член un стремится к нулю,

т. е. nlim un 0.

Доказательство. Пусть ряд (8.14) сходится и его сумма равна S . Рассмотрим его частичные суммы

Итак, nlim un 0 .

Следствие (достаточный признак расходимости ряда). Если общий член ряда не стремится к нулю при неограниченном возрастании его номера n , то ряд расходится.

Действительно, если бы ряд сходился, то по предыдущей теореме его общий член обязан стремиться к нулю, что противоречит условию.

111

Рассмотрим еще ряд:

(1 11)1 (1 12)2 ... (1 1n)n ...

Этот ряд тоже расходится, т. к.

lim un lim (1 1)n e 0.

n n n

Примечание. Рассмотренная теорема дает необходимое условие сходимости, но не достаточное: из условия nlim un 0 не следует, что ряд сходится. Это

означает, что существуют расходящиеся ряды, у которых limun 0 .

n

В качестве примера рассмотрим ряд, называемый гармоническим:

части неравенств, получим

1 12 ... 1n ln(n 1) , Sn ln(n 1).

§ 4. Достаточныепризнакисходимости

Необходимый признак сходимости не дает, вообще говоря, возможности судить о том, сходится ли данный ряд или нет. Сходимость и расходимость ряда во многих случаях можно установить с помощью так называемых достаточных

признаков.

Рассмотрим некоторые из них для знакоположительных рядов, т. е. рядов с неотрицательными членами (знакоотрицательный ряд переходит в знакоположительный путем умножения его на (−1), что, как известно, не влияет на сходимость ряда).

112

4.1. Признаки сравнения рядов

Сходимость или расходимость знакоположительного ряда часто устанавливается путем сравнения его с другим («эталонным») рядом, о котором известно, сходится он или нет. В основе такого сравнения лежат следующие теоремы.

Теорема 1. Пустьданыдвазнакоположительныхряда:

u1 u2 u3 ... un (8.16)

n 1

и

то из сходимости ряда (8.17) следует сходимость ряда (8.16), из расходимости ряда (8.16) следует расходимость ряда (8.18).

Доказательство. Обозначим n −e частичные суммы рядов (8.16) и (8.18) соответственно через Sn (u) и Sn (v) . Из неравенства (19) следует, что

Пусть теперь ряд (8.16) расходится. Так как члены ряда неотрицательны, то в этом случае имеем lim Sn(u) . Тогда, с учетом неравенства (8.19), получаем

lim S (v) , т. е. ряд (8.17) расходится.

n n

Замечание. Теорема 1 справедлива и в том случае, когда неравенство (8.18) выполняется не для всех членов рядов, а начиная с некоторого номера N. Это вытекает из свойства 3 числовых рядов.

113

расходится (гармонический ряд). Имеем 31n 1n .

Следовательно, данный ряд расходится.

Отметим «эталонные» ряды, часто используемые для сравнения:

при p 1.

Нестандартность применение признаков сравнения заключается в том, что надо не только подобрать «эталонный» ряд, но и доказать неравенство un vn (un vn ) , для чего часто требуется преобразование рядов (отбрасыва-

ние или приписывание определенного числа членов и т. п.). В ряде случаев более простым оказывается применение предельного признака сравнения.

Теорема 2. (Предельный признак сравнения). Пусть даны два зна-

менно сходятся или расходятся.

Доказательство. По определению предела последовательности для всех n , кроме, возможно, конечного числаих, длялюбого 0 выполняетсянеравенство

un A vn

или

114

Если ряд (8.16) сходится, то из левого неравенства (8.20) и теоремы 1

вытекает, что ряд (A )vn также сходится. Но тогда, согласно свойству 1

n 1

числовых рядов, ряд (8.17) сходится.

Если ряд (1.16) расходится, то из правого неравенства (8.20), теоремы 1, свойства 1 вытекает, что и ряд (8.17) расходится.

Аналогично, если ряд (8.17) сходится (расходится), то сходящимся (расходящимся) будет и ряд (8.16).

ческим рядом.

4.2. Признак Даламбера

В отличие от признаков сравнения, где все зависит от догадки и запаса известных сходящихся и расходящихся рядов, признак Даламбера (1717—1783 гг., французский математик) позволяет часто решить вопрос о сходимости ряда, проделав лишь некоторые операции над самим рядом.

Теорема 3. Пусть дан ряд un с положительными членами и сущест-

n 1

115