Материал: Основы алгебры и анализа . курс лекций по математике. Муштенко В.С., Сербулов Ю.С

y 2sin x cos2

x sin3 x.

y''

y'

ln

y'

,

x

x

y

2cos x

0.

sin3 x .

y( 2 ) 1, y ( 2 )

3. Найти частное решение уравнения

y

y

y(x

1)

e, y (x

1)

e

2

.

y

ln

,

x

x

4. Решить уравнения:

(1 ln(2 y 3) C x C

1)

y (2 y 3) 2 y

2

0.

)

2

1

2

2)

yy

y

2

0, y(0)

1 , y (0) 2,

( y e

),

2 x

3) x3 y x2 y 1 ,

( y C1 ln x

1

C2 )

x

4) x y

y x 2 e x .

( y ex (x 1) C1x2 C2 )

,

5.

yy

Решить задачу Коши:

( y

2x 1, y 1.)

y

0 , y(0)

1, y (0) 1.

2

Найти общие решения ЛОДУ:

6. y 10y 25 0.

( y e5x (C1 C2 x) ).

1

7. 2y 3y 2y 0 .

( y C1e 2 x C2 e 2 x ).

8.

y 2 y 10 y 0.

( y ex (C1 cos3x C2 sin 3x).

9. y

5y

6y

0, y(0)

1 , y (0)

6.

y 4e 3x 3e 2x .

10.

9y

y 0 ,

y(

3

) 2 , y (

3

) 0.

(y 2sin

x

)

2

2

3

11.

1

y y

0,

y(0)

1 ,

y (0)

3 .

( y sin x

3

cos x).

12.

Найти общее решение уравнений:

y y 2x 1. .

( y C1 C2e x x2

3x.)

13.

y 12y 36y 14e6 x .

( y C1e6 x C2 xe6 x

7x2 e6 x ).

14.

y 3y 2 y (34 12x)e x .

( y C1ex C2e2 x (4 2x)e x ).

15.

y 8 y 17 y 10e2 x .

( y e4x (C1 cos x C2 sin x) 2e2x ).

16. y 2 y 8y 12sin 2x 36cos 2x.

( y C1e 2 x C2e4 x 3cos 2x).

17. y 6 y 10 y 51e x .

( y e3x (C1 cos x C2 sin x) 3e x ).

18. y 4 y 5y 5x2 32x 5.

( y e 2x (C1 cos x C2 sin x) x2

8x 7).

19. y 4y 15ex .

( y C1 C2 e 4 x 3ex ).

Возможны следующие случаи в зависимости от величины q :

1. Если

q

1,

то

qn 0 при n . Поэтому S lim

Sn

a

.

1

q

n

2. Если

q

1 ,

то

qn при n . Поэтому S , сумма равна бесконечности.

3. Если

q

1, то при q 1 , Sn a a ... a n a , lim

Sn .

n

При q 1 , Sn a a a ...a 0

при n − четном и Sn

a при n − не-

четном, следовательно, сумма не существует.

q 1

Итак, геометрическая прогрессия имеет сумму при

S

a

,

(8.3)

1

q

u1,u2 ,u3 ,...un ,... .

(8.4)

Определение. Числовым рядом называется выражение вида

un u1 u2 u3 ... un ...,

(8.5)

n 1

u1,u2 ,...,un ,... называются членами ряда;

в частности u1 первый член, u2 −

второй член, un − ( n –й) или общий член ряда.

Ряд считается заданным, если известен общий член ряда un как функция

его номера n , un f (n) .

частичной

Сумма Sn первых n членов ряда

(8.5) называется n ой

суммой ряда:

Sn u1 u2

u3 ... un .

Теорема (критерий Коши). Ряд un

(8.5) сходится тогда и только тогда,

n 1

n p

un un 1 ... un p

или

uk

.

k n

ное выражение представляет собой произвольный набор чисел.

2. Ряд 0 + 0 + 0 +… – сходящийся ряд, его сумма равна нулю.

3. Ряд 1 + 1 + 1 +… − ряд расходится, так как Sn

n , lim Sn

lin

n .

n

n

4. Ряд 1 − 1 + 1− 1 +… расходится, так как последовательность его час-

тичных сумм 1,0,1,0,1,….( S1 1, S2

0, S3

1...)

не имеет предела.

5. Ряд

1

1

1

...

1

...

1

сходится.

1

2 3

3

4

n (n 1)`

2

n 1n(n 1)

Действительно,

S 1 1 1

, S

2

1

1

(1 1) (

1 1) 1 1 , S

n

1

1

.

1

2

2

1 2

2 3

2

2 3

3

n 1

Следовательно,

lim

Sn

lim (1

1

) 1 и ряд сходится.

n

n

n 1

2.2. Простейшие свойства числовых рядов

Свойство 1. Если ряд

u1 u2 ... un ...

(8.6)

сходится и имеет сумму S , то ряд

cu1 cu2 ... cun ...,

(8.7)

u1 u2

u3 ...,

(8.8)

v1 v2

v3 ...

(8.9)

(u1 v1 ) (u1 v2 ) ...

(un vn ) ...,

(8.10)

Доказательство.

Обозначим n ые частичные суммы рядов (8.8),

(8.9),

(8.10) соответственно через Sn , Sn * , n .

Тогда

n (u 1 v1 ) (u 2 v 2

) ... (u n v n ) ... S n S n

* .

Переходя к пределу, получаем

lim n

lim (Sn vn ) lim Sn lim Sn * S S * .

n

n

n

n

Ряд (8.10) сходится. Ряд (8.10) называется суммой рядов (8.8) и (8.9).

Замечание. Аналогично можно доказать, что ряд

(u1 v1 ) (u2 v2 ) ... (un vn ) ...

(8.11)

будет сходиться и его сумма будет равна S S * .

Ряд (8.11) называется разностью рядов (8.8) и (8.9).

Рассмотрим ряд

u1 u2 ... un un 1

un 2 ... .

(8.12)

Отбросим из него конечное число первых n членов. Получим ряд

un 1 un 2

... un m ... .

(8.13)