Материал: Основы алгебры и анализа . курс лекций по математике. Муштенко В.С., Сербулов Ю.С

Так как один из корней совпадает с 4 k2 и n 2, то общее решение

НЛДУ надо находить в виде (68) y* (Ax2 Bx C) x e4x .

2. Пусть правая часть НЛДУ имеет вид

где M , N , b заданные числа.

В этом случае частное решение y * следует искать в виде

Поэтому общее решение ОДУ имеет вид

y* e 2x (C1 cos x C2 sin x) .

Так как bi i 2 i не является корнем соответствующего характеристическогоуравненияЛОДУ, то частное решение НЛДУ надо искать в виде (7.18):

y* Acos x B sin x.

Подставляя последние три равенства в исходное уравнение, группируя слагаемые и приводя подобные члены, получим

101

Для получения частного решения данного уравнения используем началь-

ные условия: y(0) 1 , y (0) 2.

Находим производную найденного решения:

y 83 sin x 81 cos x 2e 2x (C1 cos x C2 sin x) e 2x ( C1 sin x C2 cos x).

Подставляя начальные условия в y и y , получаем систему

1 83 C1 , 2 18 2C1 C2.

Отсюда C1 85 , C2 258 .

Таким образом, искомое частное решение данного уравнения имеет вид

с одной и той же левой частью, то сумма частных решений y1 * y2 * будет частным решением уравнения

Таким образом, ( y1 * y2 *) есть решение уравнения (7.22).

ПРИЛОЖЕНИЕ

§ 5. Свойства решений линейных однородных дифференциальных уравнений

Рассмотрим некоторые основные свойства решений линейных однородных дифференциальных уравнений второго порядка (ЛОДУ)

102

Свойство 1. Если y1 и y2 − два решения дифференциального уравнения (7.23), то их сумма тоже является решением этого уравнения.

Доказательство. Пусть y1 и y2 есть решения уравнения (7.23), т. е. выполняются равенства

y1 ay1 by1 0 , y2 ay2 by2 0, (7.24)

Пусть y y1 y2.

Подставим (7.24) в (7.23):

( y1 y2 ) a( y1 y2 ) b( y1 y2 ) ( y1 ay1 by1 ) ( y2 ay2 by2 ) 0.

Следовательно, ( y1 y2 ) есть решение уравнения (7.23).

Свойство2. Если y естьрешение(6), то Cy – тожерешениеэтогоуравнения. Доказательство. Подставим Cy в уравнение (7.23):

(Cy) a(Cy) b(Cy) C( y ay by) 0.

Что и требовалось доказать.

Выражение c1 y1 c2 y2 называется линейной комбинацией функций y1 и y2. Следствие. Если функции y1 , y2 являются решениями уравнения (7.23), то

их линейная комбинация c1 y1 c2 y2 также является решением этого уравнения. Определение. Функции y1 y1(x) и y2 y2 (x) называются линейно неза-

где c1 ,c2 − произвольные числа, выполняется тогда и только тогда, когда c1 c2 0. Если хотя бы одно из чисел c1 0, c2 0 и выполняется равенство (7.25), то функции y1 , y2 называются линейно зависимыми на (a,b) .

Очевидно, что функции y1 и y2 линейно зависимы тогда и только тогда,

= tg 2x const.

103

где a и b заданные функции или постоянные коэффициенты.

Пусть y1 и y2 − два частных решения уравнения (7.27), образующие фун-

даментальную систему, т. е. линейно независимые решения этого уравнения. Тогда общее решение этого уравнения (ЛОДУ) имеет вид (по свойству о

структуре общего решения ЛОДУ)

Подберем эти функции так, чтобы функция (7.29) была решением неоднородного уравнения (ЛНДУ) (7.26). Эта функция должна быть решением

104

Таким образом, учитывая равенства (7.30) и (7.33), приходим к системе уравнений

находим общее решение уравнения (7.26), зависящее от двух произвольных постоянных. При c1 c2 0 получим частное решение уравнения (7.23).

5.2. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка со специальной правой частью (ЛНДУ)

Рассмотрим дифференциальное уравнение второго порядка (ЛНДУ):

где a(x), b(x) , f (x) заданные непрерывные на (a,b) функции.

Свойство. (о структуре общего решения ЛНДУ).

Общим решением уравнения (7.35) является функция y равная сумме его

Доказательство. Так как y * есть решение уравнения (7.26), а y - реше-

ние уравнения (7.27), то

( y*) a( y*) b( y*) f (x) , ( y) a( y) b( y) 0.

В таком случае получаем

( y * y) a( y * y) d( y * y) [( y*) a( y*) b( y*)][( y) a( y) b( y)] f (x) 0 f (x).

Это означает, что функция y y * y является решением уравнения (7.35).

105