Материал: Основы алгебры и анализа . курс лекций по математике. Муштенко В.С., Сербулов Ю.С

Продифференцировав предыдущий ряд почленно ряд, получим

Этот ряд также сходится к данной функции на интервале ( , ) .

1. Разложениеврядфункции f (x) (1 x)a , где a любоевещественноечисло. Имеем

1)f (x) a(1 x)a 1 , f (x) a(a 1)(1 x)a 1,... f (n) (x)

a(a 1)...(a n 1)(1 x)a n ,.n N.

Можно доказать, что этот ряд сходится к данной функции при x 1.

Этот ряд называется биномиальным. Если a n N , то все члены ряда с (n 1) го номераранынулю, таккаксодержатмножитель (a n) n n 0.

ВэтомслучаеполучаемизвестнуюформулубиномаНьютона:

Рассмотрим некоторые частные случаи биномиального ряда.

5.При a 1:

1( 1)n xn . 1 x n 1

Разложение этой функции получим путем интегрирования ряда (9.17) в промежутке от 0 до x при x 1:

§ 5. Приложения степенных рядов

Степенные ряды являются мощным вычислительным средством. С их помощью можно, например, приближенно вычислять значения различных функций, приближенно вычислять неберущиеся определенные интегралы, решать дифференциальные уравнения.

136

5.1. Приближенное вычисление значений функций

Пусть требуется вычислить значение функции f (x) при x x1 с заданной

точностью 0.

Если функцию f (x) в интервале ( R, R) можно разложить в степенной

Точность этого равенства увеличивается с увеличением числа членов. Абсолютная погрешность этого приближенного равенства равна модулю

остатка ряда, т. е.

Для знакочередующихся рядов, согласно признаку Лейбница, имеем rn (x1 ) un 1 (x1 ) un 2 (x1 ) ... un 1 (x1 ) .

то 3 124 5 3725 5 0,0134 4,9866.

Пример 2. Вычислить число e с точностью до 0,001. Решение. Подставляя x 1 в формулу (9.16) получим

e 1 1!1 2!1 ... n1! ...

137

Остается подобрать наименьшее натуральное число n , чтобы выполнялось неравенство n1!n 0.001. Нетрудно проверить, что это неравенство выпол-

няется при n 6. Поэтому имеем

e 1 2!1 3!1 4!1 5!1 6!1 2,718.

5.2. Приближенное вычисление определенных интегралов

Степенные ряды применяются также для приближенного вычисления неопределенных и определенных интегралов в случаях, когда первообразная не выражается через элементарные функции (неберущиеся интегралы) либо, когда нахождение первообразной довольно сложно.

b

Пусть, например, требуется вычислить f (x)dx с точностью до 0.

a

Если подынтегральную функцию f (x) можно разложить в ряд Тейлора

(Маклорена), то для вычисления заданного интеграла можно воспользоваться свойством почленного интегрирования этого ряда. Ошибку вычисления определяют так же, как и при вычислении значений функций.

1

Пример. Вычислить определенный интеграл 3 e x2 dx с точностью до 0,001.

0

Решение. Применить для вычисления этого интеграла формулу НьютонаЛейбница мы не можем, так как первообразная для e x2 не выражается в элементарных функциях ( e x2 dx неберущийся интеграл).

Поэтому разложим подынтегральную функцию в ряд Маклорена, заменяя

138

5.3. Приближенное решение дифференциальных уравнений

Если решение дифференциального уравнения не выражается через элементарные функции или способ его решения довольно сложен, то для приближенного решения уравнения можно воспользоваться рядами Тейлора или Маклорена.

Имеется различные способы приближенного решения дифференциальных уравнений.

5.3.1. Способ последовательного дифференцирования

Пусть требуется решить уравнение

удовлетворяющее начальным условиям

Первые два коэффициента находим из начальных условий (9.19). Подставив в уравнение (9.18) значения x x0 , y y0 , y y0 , находим

третий коэффициент: y (x0 ) f (x0 ; y0 ; y0 ) . Значения y (x0 ), y(n) (x0 ),... нахо-

дим путем последовательного дифференцирования уравнения (9.18) по x и вычисления производных при x x0 . Найденные значения производных (коэффи-

циентов) подставляем в равенство (9.20).

пять членов (отличных от нуля) разложения в ряд Тейлора.

139

дения последующих коэффициентов дифференцируем данное дифференциальное уравнение:

y 2x 2 yy ,

y(4) 2 2( y )2 2yy ,

y(5) 4y y 2y y 2yy 6y y 2yy ,....

При x 1 имеем

y ( 1) 2 2 2 12 0,

y(4) ( 1) 2 2 14 2 2 5 22,5,

Подставляя найденные коэффициенты в искомый ряд, получим y 2 12 (x 1) 52 (x 1)2 1615 (x 1)4 18 (x 1)5 ....

ПРИЛОЖЕНИЕ

§ 6. Способ неопределенных коэффициентов решения дифференциальных уравнений

Пусть, например, требуется решить задачу Коши:

y p (x) y q(x) y f (x) ; y(x0 ) y0 , y (x0 ) y0.

Предполагая, что коэффициенты p(x), q(x) и свободный член f (x) разлагаются в ряды по степеням (x x0 ) , сходящимися в некотором интервале (x0 R, x0 R) , искомое решение y y(x) ищем в виде степенного ряда с неопределенными коэффициентами:

Коэффициенты c0 y0, c1 y0 определяютсяприпомощиначальныхусловий.

Для нахождения последующих коэффициентов дифференцируем ряд (9.22) два раза (каков порядок ДУ) и подставляем выражения для функции y и

ее производных в уравнение (9.21), заменив в нем p(x), q(x), f (x) их разложе-

140