Материал: Основы алгебры и анализа . курс лекций по математике. Муштенко В.С., Сербулов Ю.С

Применяя интегральный признак Коши, доказать сходимость или расходимость ряда:

Исследовать, сходятся или расходятся знакопеременные ряды:

126

Подставляя вместо x какое-либо значение x0 из области определения функций un (x) , получим числовой ряд

Этот ряд может сходиться или расходиться. Если он сходится, то точка x0 называется точкой сходимости функционального ряда (9.1), а сам ряд – схо-

дящимся в этой точке. Если при x x0 ряд (9.2) расходится, то x0 называется

точкой расходимости функционального ряда.

Определение. Совокупность всех точек сходимости функционального ряда называется его областью сходимости.

В области сходимости функционального ряда его сумма является некоторой функцией от x: S S(x). Определяется она в области сходимости равенст-

вом S(x) nlim Sn (x) ,где Sn (x) u1 (x) u2 (x) ... un (x) частичная сумма ряда.

Пример 1. Найти область сходимости ряда xn .

n 1

Решение. Данный ряд является рядом геометрической прогрессии со знаменателем q x. Следовательно, этот ряд сходится при x 1, т. е. при всех

x ( 1,1) и сумма ряда:

§ 2. Степенные ряды

Среди функциональных рядов в математике и ее приложениях особую роль играют ряды, членами которых являются степенные функции аргумента x , т. е. ряды вида

Этот ряд называется рядом по степеням (x x0 ).

Частным видом степенного ряда является степенной ряд по степеням x , получаемый из ряда (9.3) при x0 0 :

n 1

Действительные числа a0 ,a1,...an... называются коэффициентами степен-

ного ряда. При изучении степенных рядов мы можем ограничиться степенными рядами (9.4), т. к. степенной ряд (9.3) приводится к ряду (9.4) заменой перемен-

ной: x x0 X .

127

Область сходимости степенного ряда содержит по крайней мере одну точку: x 0 (ряд (9.3) сходится в точке x x0 .).

Об области сходимости степенного ряда можно судить, исходя из следующей теоремы.

Теорема Абеля. Если степенной ряд (9.4) сходится при x x0 0 , то

он абсолютно сходится при всех значениях x , удовлетворяющих неравенству x x0 .

lim a xn 0. Следовательно, существует такое число C >0, что для всех n вы-

n n 0

таком, что x x1 . Тогда по теореме Абеля ряд сходится и при значении x1 ,

что противоречит условию.

2.1. Интервал и радиус сходимости степенного ряда

Из теоремы Абеля следует, что если x0 0 есть точка сходимости сте-

данного ряда; при всех значениях x вне этого интервала ряд (9.4) расходится.

Интервал ( x0 , x0 ) называется интервалом сходимости степенного ряда. Обозначив x0 R , интервал сходимости можно записать в виде ( R, R).

Число R называют радиусом сходимости степенного ряда, т. е. R 0 − это такое число, что при всех x , для которых x R ряд (9.4) абсолютно схо-

дится, а при x R ряд расходится (рис. 9.1).

128

В частности, когда ряд (9.4) сходится лишь в одной точке x0 0 , то считаем, что R 0. Если же ряд (9.4) сходится при всех значениях x ( , ) , т. е. во

Аналогично, воспользовавшись признаком Коши, можно получить сле-

Замечания.

1. Для степенного ряда (9.4) интервал сходимости симметричен относительно начала координат: R x R.

129

2. Для степенного ряда an (x x0 ) интервал сходимости симметричен

n 1

относительно точки x0 , определяется из неравенства x x0 R и равен интер-

определения радиуса сходимости ряда лучше воспользоваться формулой (9.7):

R lim n 31n 3 .

n

Интервалом сходимости является интервал ( 3,3). Этот же результат можно получить и по формуле (9.6):

Решение. Воспользуемся формулой (9.6):

Следовательно, данный степенной ряд сходится на всей числовой оси и областью сходимости является интервал ( , ).

Пример 3. Найти область сходимости степенного ряда (x 2)n .

n 1

n 2n 1

Решение. Находим радиус сходимости по формуле (9.6):

130