Материал: Основы алгебры и анализа . курс лекций по математике. Муштенко В.С., Сербулов Ю.С

§ 1. Первообразная функции и неопределенный интеграл

Определение. Функция F(x) , определенная на интервале (a,b) , называется первообразной данной функции f (x), если для любого значения x ( a,b ) выполняется равенство

где C – произвольнаяпостояннаятакжеявляетсяеепервообразной, поскольку

Ф (x) [F(x) C] F (x) 0 f (x).

Это следует из того, что если производная функции равна нулю, то сама функция есть постоянная величина, т. е., если [Ф(х) F(x)] 0 , то

Ф(x) F(x) C .

Таким образом, выражение (2.2) определяет множество первообразных данной функции f (x) в заданном промежутке (a,b) .

Определение. Неопределенным интегралом от данной функции f (x)

называется совокупность (множество) всех ее первообразных, которая обозначается символом

где F (x) f (x). Знак называется знаком неопределенного интеграла; функция f (x) – подынтегральной функцией; выражение f (x)dx – подынте-

гральным выражением, x переменной интегрирования.

Операция нахождения первообразной данной функции называется ин-

тегрированием этой функции.

11

Геометрически неопределенный интеграл представляет собой семейство «параллельных» кривых y F(x) C (каждому числовому значению C соот-

ветствует определенная кривая семейства). График первообразной называется

интегральной кривой.

Возникает вопрос: для всякой ли функции f (x) существует первообраз-

ная, а значит, и неопределенный интеграл. Приведем без доказательства теорему, отвечающую на этот вопрос.

Теорема. Если функция f (x) непрерывна на отрезке [a,b], то на этом от-

резке существует первообразная этой функции.

Мы будем рассматривать только непрерывные функции. Поэтому приводимые нами далее интегралы всегда существуют.

1.1. Свойства неопределенного интеграла

Неопределенный интеграл обладает следующими основными свойствами.

1. Производная от неопределенного интеграла равна подынтегральной функции: [ f (x)dx] f (x).

2. Дифференциал неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению: d[ f (x)dx] f (x)dx.

3.Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен этой функции с точностью до постоянного слагаемого:

df (x) f (x) C .

4.Постоянный множитель можно выносить за знак неопределенного интеграла:

kf (x)dx k f (x)dx. ( k – const.)

5.Если функции f1(x) , f2 (x) имеют первообразные, то и функция f1(x) f2 (x) также имеет первообразную, причем [ f1 (x) f2 (x)]dx f1 (x)dx f2 (x)dx.

Другими словами, неопределенный интеграл от алгебраической суммы функций равен алгебраической сумме интегралов от этих функций.

Первое свойство следует из определения неопределенного интеграла, второе – из определения дифференциала.

Четвертое и пятое свойства доказываются сравнением производных от обеих частей приведенных равенств.

Чтобы доказать третье свойство, обозначим df (x) f (x)dx F(x) . Тогда на основании первого свойства получаем f (x) F (x) , откуда

F(x) f (x) C , т. е. df (x) f (x) C.

Из свойств 2 и 3 следует, что операции дифференцирования и интегрирования – взаимообратные, а знаки d и взаимно уничтожают друг друга.

12

1.2. Таблица основных неопределенных интегралов

Таблицу простейших неопределенных интегралов нетрудно получить, воспользовавшись тем, что интегрирование является операцией, обратной дифференцированию.

Интегралы в приведенной таблице называются табличными. Замечание. Неопределенный интеграл не зависит от той буквы, которой

Из формулы (2.5) следует справедливость формулы (2.6), которая получается из первой формулы формальной заменой x на u .

13

На основании этой формулы получаем обобщённую табл. 2 простейших интегралов: (надовсеформулытабл. 1 переписатьсбуквой u вместо x ).

Замечание. При использовании формул табл. 2 для приведения подынтегрального выражения к виду f (x)dx g(u)du применяются свойства дифференциалов.

Основные простейшие выражения, приводящие к формулам табл. 2. Таблица 3

1.d(x b) dx , где b – const, то dx d(x b) .

2.d(ax b) = adx; a 0 , то dx = 1a d(ax b).

3.d(x2 b) 2xdx , xdx 12 d(x2 b).

4.d(sin x) cos xdx , cos xdx d(sin x) .

5.d(ln x) = dxx ., dxx d(ln x ).

14

Окончание табл. 3

9. d(a x ) a x ln a dx, a x dx d(a x ) . ln a

Заменяя выражение, стоящее под знаком дифференциала, буквой u , получаем соответствующую формулу табл. 2.

Примеры.

arctg4 4x C.

Метод вычисления неопределенных интегралов путем замены некоторого выражения дифференциалом определенной функции называют методом под-

ведения под знак дифференциала.

Выше было замечено, что операция интегрирования – это операция обратная дифференцированию. Но все обратные операции намного сложнее, с точки зрения их осуществления, чем прямые. Это относится и к интегрированию. Если производную любой функции можно найти всегда, пользуясь правилом дифференцирования сложной функции, то единого метода вычисления неопределенных интегралов не существует, даже имеются интегралы, которые нельзя вычислить. О таких интегралах будет сказано в дальнейшем.

§ 2. Основные методы интегрирования

Наиболее важными методами интегрирования являются, кроме уже рассмотренного метода подведения под знак дифференциала, метод разложения, метод замены переменной, метод интегрирования по частям, а также специальные методы интегрирования рациональных функций и выражений, содержащих тригонометрические функции.

15