Материал: Основы алгебры и анализа . курс лекций по математике. Муштенко В.С., Сербулов Ю.С

Так как xz [dxdz ]y const MNNK tg , на основании геометрического смысла обычной производной имеем xz tg .

Аналогично yz tg , где угол, образованный с осью 0 y , касательной к линиипересеченияповерхностиплоскостью, перпендикулярнойкоси 0 y.

2.2. Дифференциал функции

Согласно (3.3) полное приращение функции двух переменных имеет вид

z f (x x, y y) f (x, y).

Проведем следующие преобразования:

z [ f (x x, y y) f (x, y y)] [ f (x, y y) f (x, y)] x z y z . (4.4)

Частные приращения x z, y z можно рассматривать как приращения

функции одной переменной.

Для функции двух переменных получаем равенства

Подставляя (4.5) в (4.4), получим

Таким образом, полное приращение представлено в виде двух частей (слагаемых) (4.6). Сумма первых двух слагаемых [ xz x yz y] представляет собой

главную часть приращения функции, а вторая часть – бесконечно малую более высокого порядка малости, чем приращения аргументов x и y .

Определение. Главная часть приращения функции z f (x, y) , линейная относительно приращений аргументов x , y , называется дифференциалом функции и обозначается символом dz или df (x, y) .

Таким образом,

61

Таким образом, дифференциал функции двух переменных равен сумме произведений ее частных производных на соответствующие дифференциалы аргументов.

2.3. Геометрический смысл дифференциала

Пусть функция z f (x, y) имеет в точке P0 (x0 , y0 ) дифференциал

dz f x(x0, y0) x f y (x0, y0) y

или

здесь Z – аппликатакасательнойплоскости, а z – аппликатаповерхности. Правые части уравнений (4.9) и (4.10) совпадают, следовательно, левые

части этих равенств тоже равны. В равенстве (4.9) левая часть есть дифференциал функции z f (x, y) в точке P0 , а в уравнении (4.10) левая часть означает

соответствующее приращение аппликаты касательной плоскости (рис. 4.2).

z

касательная плоскость

Рис. 4.2

2.4. Производная по направлению

Как уже отмечалось ранее, частная производная выражает скорость изменения функции в направлении соответствующей переменной (оси).

Пусть функция z f (x, y) определена в некоторой окрестности точки M (x, y), l некоторое направление, задаваемое единичным вектором

e {cos ; cos }, где e cos2 cos2 1, так как 2 .

62

cos , cos направляющие косинусы вектора l (рис. 4.3).

Рис. 4.3

Если MM1 l , то x l cos , y l cos ,

следовательно, l z f (x l cos , y l cos ) f (x, y) .

Определение. Производной zl по направлению l функции двух пере-

менных z f (x, y) называется предел отношения приращения функции в этом направлении к величине перемещения l при стремлении последней к нулю, т. е.

Производная zl характеризуетскоростьизмененияфункциивнаправлении l .

Очевидно, что рассмотренные ранее частные производные zx , zy пред-

ставляют производные по направлениям, параллельным соответственно осям

0x и 0y .

63

2.5.Градиент функции

Определение. Градиентом функции z f (x, y) называется вектор, проекциями которого являются частные производные функции, т. е.

grad z izx jzy .

Рассмотрим скалярное произведение вектора grad z и единичного вектора e i cos j cos . Получаем

Сравнивая равенства (4.12) и (4.13), получим, что zl (gradz,e ), т. е. про-

изводная по направлению есть скалярное произведение градиента функции и единичного вектора, определяющего это направление.

Из свойств скалярного произведения двух векторов известно, что оно принимает максимальное значение, если эти векторы одинаково направлены.

Следовательно, градиент функции в данной точке характеризует макси-

мальную скорость изменения функции в этой точке.

Пример. Найти наибольшую скорость возрастания функции z x2 y 5y3 в точке P0 (2,1) .

Решение. Наибольшая скорость возрастания функции равна модулю градиента этой функции. Находим grad z 2xyi (x2 15y2 ) j , а в точке

P0 (2,1) grad z 4i 11 j . Следовательно, наибольшая скорость возрастания функции равна gradz P0 42 112 137 .

Зная градиент функции в каждой точке, можно, по крайней мере, приближенно строить линии уровня функции. Линии уровня можно построить следующим образом. Предположим, мы начинаем с точки M 0 (x0 , y0 ). Построим

градиент в этой точке. Задаем направление, перпендикулярное этому градиенту. Оно позволяет построить малую часть линии уровня. Далее рассматриваем близкую к ней точку M1(x1, y1) и строим градиент в этой точке.

Продолжая процесс, можно с определенной погрешностью построить линии уровня.

§ 3. Экстремум функций двух переменных

Понятия максимума и минимума для функции двух переменных аналогичны этим понятиям для функции одной переменной.

Пусть функция двух переменных z f (x, y) задана в некоторой области D.

64

Определение. Наибольшее (наименьшее) значение функции z f (x, y) в окрестности точки M 0 (x0 , y0 ) называется максимумом (минимумом) функции в

этой точке, т. е. для всех точек из данной окрестности выполняется неравенство f (M ) f (M 0 ) ( f (M ) (M 0 )) .

Точка M 0 называется точкой максимума (минимума). Максимум и мини-

мумназываютэкстремумом(локальным), аточку M 0 – точкойэкстремума.

Теорема (необходимый признак существования экстремума). В точке экстремума дифференцируемой функции z f (x, y) все ее частные производ-

ные равны нулю

Доказательство. Частная производная функции z f (x, y) по x в точке M 0 (x0 , y0 ) есть производная функции одной переменной (x) f (x, y0 ) в точке x x0. Но в этой точке функция (x) имеет, очевидно, экстремум. Следовательно, (x0 ) 0 , то есть fx (x0 y0 ) 0 . Аналогично можно показать,

что f y (x0 , y0 ).

Заметим, что функция может иметь экстремум также в тех точках, где хотя бы одна из частных производных не существует. Например, функция

z x2 y 2 имеет минимум в точке 0(0, 0), но не имеет в этой точке частных

производных.

Точки, в которых первые частные производные функции обращаются в нуль или не существуют, называются критическими точками этой функции.

Из сказанного следует, что точки экстремума функции находятся среди её критических точек. Однако существуют критические точки, не являющиеся точками экстремума. Например, для функции z xy её первые частные произ-

водные zx y , z y x обращаются в нуль в точке M 0 (0,0) , следовательно это

критическая точка. Но в этой точке экстремума нет, так как в любой окрестности этой точки функция принимает как положительные так и отрицательные значения.

Этотпримерпоказывает, чторассмотренныйпризнакнеявляетсядостаточным. Теорема (достаточный признак существования экстремума). Пусть первые частные производные функции z f (x, y) в точке M 0(x0 , y0 ) равны нулю

( M 0 (x0 , y0 ) критическая точка), а вторые принимают значения

65