Материал: Основы алгебры и анализа . курс лекций по математике. Муштенко В.С., Сербулов Ю.С

то lim ul l 0 ux cos uy cos uz cos .

Таким образом, мы получили формулу для вычисления производной функции по направлению:

Производная функции по направлению равна сумме произведений её ча-

стных производных на направляющие косинусы.

Замечание 1. Частные производные функции являются частным случаем производной по направлению.

Например, если 0, 2 , то есть l i , то

6.1. Градиент скалярного поля

При изучении скалярных полей наряду с функцией поля (потенциалом) u F (x, y, z) рассматривается некоторый вектор, тесно связанный с этой функ-

цией – градиент скалярного поля.

Определение. Градиентом скалярного поля в точке P(x, y, z) , заданного дифференцируемой функцией u F(x, y, z) , называется вектор, равный

gradF(x, y, z) gradF(P) Fx (x, y, z)i Fy (x, y, z) j Fz (x, y, z)k

Другими словами, градиент функции – это вектор, проекциями которого являются частные производные данной функции в данной точке.

Таким образом, в каждой точке пространства задаётся вполне определённый вектор – gradu (векторное поле):

Пример. Найти градиент функции u x2 2y2 z 2 5 в точке P(2, 1,1).

71

Решение. Находим частные производные функции

ux 2x, uy 4y, uz 2z , xux(P) 4,uy(P) 4,uz( p) 2. grad u(P) 4i 4 j 2k.

Между градиентом функции u F(x, y, z) в данной точке и производной по направлению ul в той же точке имеется связь, которая устанавливается

следующей теоремой.

Теорема. Производная функции u u(x, y, z) по направлению вектора l равна проекции градиента этой функции на этот вектор.

Следствие. Производная функции в точке по направлению вектора l имеет наибольшее значение, если этот вектор совпадает с направлением градиента.

Это наибольшее значение равно модулю вектора grad u.

Действительно, из равенства (3.29) видно, что наибольшее значение производной по направлению достигается при 0 . В этом случае

Другими словами, в направлении градиента скалярная функция изменяется быстрее, чем в других направлениях.

Таким образом, мы приходим к следующему выводу: gradu – есть вектор,

указывающий направление наибольшего возрастания скалярного поля в данной точке и имеющий модуль, равный скорости этого возрастания.

72

4. Найдите размеры открытого прямоугольного бассейна объёма V , на облицовку которого надо затратить минимум материала.

[x y 3 2V , H 3 22V , где x, y, H – длина, ширина, высота бассейна].

5.Найти наибольшее и наименьшее значения функции z x2 y xy2 xy

взамкнутой области, ограниченной линиями.

Глава 5. ПОНЯТИЕ ДВОЙНОГО ИНТЕГРАЛА § 1. Понятие двойного интеграла 1.1. Задача об объеме криволинейного цилиндра.

73

Рассмотрим тело, ограниченное областью x0y , цилиндрической поверхностью С с направляющей и с образующими, параллельными оси 0z и поверхностью S, уравнение которой z f (x, y) (рис. 5.1).

Для решения поставленной задачи разобьем область произвольным образом на n элементарных (малых) площадок 1 , 2 ,... n . Внутри каждой из

этих площадок выберем по произвольной точке Pk (xk , yk ) , проведем аппликату,

равную значению функции в этой точке, т. е. zk f (Pk ) f (xk , yk )

и построим цилиндр с основанием, равным площади k , а высотой,

равной zk f (Pk ) .

Объем этого цилиндра равен Vk f (xk , yk ) k .

Тело, построенное из таких цилиндров, представляет собой ступенчатое цилиндрическое тело, а его объем V приблизительно равен объему данного

цилиндроида:

n

V V f (xk yk ) k .

k 1

За точное значение объема криволинейного цилиндра примем предел этой интегральной суммы при условии, что число элементарных площадок неограниченно увеличивается, а каждая площадка стягивается в точку:

n

V lim f (xk yk ) k . (5.1)

n k 1

Итак, задача о вычислении объема V цилиндрического тела свелась к нахождению предела некоторой интегральной суммы (5.1).

1.2. Понятие и определение двойного интеграла

Отвлечемся теперь от конкретного содержания задачи и проведем аналогичные рассуждения в общем виде.

Итак, пусть в области плоскости x0y , ограниченной замкнутой линией, задана функция z f (x, y).

Выполним следующие действия.

1. Разобьем область на n малых площадок 1 , 2 ,..., n так, чтобы

сумма площадей этих площадок была равна площади всей области .

2. В каждой малой площадке k выберем произвольную точку Pk (xk , yk ).

Такая сумма называется интегральной суммой, составленной для функ-

ции z f (x, y) .

74

4. Рассмотрим предел интегральной суммы (5.2) при неограниченном увеличении числа n малых площадок и при стягивании каждой из них в точку. Если этот предел существует и не зависит ни от способа разбиения области на малые элементарные области k , ни от выбора в каждой из них точек

Функция f (x, y) называется подынтегральной функцией, f (x, y)d по-

дынтегральным выражением, область – областью интегрирования, d – дифференциалом площади.

Если существует конечный предел (5.3), то функция z f (x, y) называет-

ся интегрируемой в области .

Возвращаясь теперь к задаче об объеме, мы видим, что объем криволинейного цилиндра численно равен двойному интегралу от функции z f (x, y) , взя-

1.3. Свойства двойного интеграла

Двойной интеграл обладает свойствами, аналогичными свойствам определенного интеграла. Приведем основные свойства двойного интеграла.

1. Если функции f1(x, y) и f2 (x, y) интегрируемые в области , то интегрируемы в ней их сумма и разность, причем

[ f1(x, y) f2 (x, y)]d f1 (x, y)d f2 (x, y)d .

2.Постоянный множитель можно выносить за знак двойного интеграла:

kf (x, y)d k f (x, y)d .

3. Если область интегрирования разбита на две непересекающиеся области 1 и 2 , то

f (x, y)d f (x, y)d f (x, y)d .

75