Материал: Основы алгебры и анализа . курс лекций по математике. Муштенко В.С., Сербулов Ю.С

При (M 0 ) 0 в точке M 0 экстремума нет.

В случае (M 0 ) 0 точка M 0 может быть, а может не быть точкой экс-

тремума (сомнительный случай). В этом случае необходимы дополнительные исследования (теорему оставляем без доказательства).

Пример. Найти экстремумы функции f (x, y) x3 3xy2 30x 18y. Решение. Находим первые частные производные:

точках M 2 , M 3 экстремумов нет.

Минимум f (M1 ) 72, максимум f (M 4 ) 72.

3.1. Наибольшее и наименьшее значения функции двух переменных

Пусть функция z f (x, y) непрерывна в ограниченной замкнутой облас-

ти D и дифференцируема внутри этой области.

Теорема. Функция z f (x, y) в области D достигает наименьшего и

наибольшего значения либо внутри области, либо на ее границе. Если наименьшее и наибольшее значения функция принимает внутри области, то эти точки будут точками экстремума этой функции. Точки, в которых функция имеет наибольшее и наименьшее значения, будут либо точками экстремума (критическими), либо граничными точками области D .

Таким образом, для того, чтобы найти наименьшее и наибольшее значения функции в ограниченной замкнутой области D , следует найти значения функции в критических точках, а также её наибольшее и наименьшее значения на границе области. Наибольшее из всех этих значений будет наибольшим значением функции z f (x, y) в области, самое маленькое – наименьшим значением.

Правило нахождения наибольшего и наименьшего значений дифференцируемой в области D функции z f (x, y) состоит в следующем.

1.Найти все критические точки функции, принадлежащие области D и вычислить значения функции в них.

2.Найти наибольшее и наименьшее значения функции z f (x, y) на гра-

нице области.

3. Сравнить все найденные значения и выбрать из них наибольшее M и наименьшее m .

66

§ 4. Эмпирические формулы. Метод наименьших квадратов

Вестествознании, в частности в физических, химических, биологических,

аособенно в экономических науках, при обработке результатов наблюдений часто встречается следующая задача: получен ряд значений переменных x и y ,

например, в виде некоторой таблицы, однако характер функциональной зависимости между ними остается неизвестным. По полученным данным требуется найти аналитическое выражение зависимости между этими переменными. Формулы, получаемые при решении таких задач, называются эмпирическими. Один из наиболее эффективных методов получения таких формул – это метод наименьших квадратов.

Пусть мы хотим установить зависимость между величинами x и y (на-

пример, между температурой и длиной металлического стержня). Производим измерения и результаты заносим в табл. 5:

плоскости. Предположим, что точки, изображённые на плоскости соответствующими координатами, лежат почти на некоторой прямой (рис. 4.4).

Рис. 4.4

Естественно в этом случае считать, что между переменными существует приблизительно линейная зависимость, то есть что y есть линейная функция

от x , выражающаяся формулой

где a и b – некоторыепостоянныекоэффициенты, подлежащиеопределению. Перепишем формулу (3. 35) в другом виде:

Поскольку точки M k (xk , yk ) только приближенно лежат на прямой, определяемой уравнением (4. 16), то и формула эта будет приближённой.

67

Следовательно, подставляя в левую часть формулы (4. 16) вместо x и y их значения xk , yk (k 1,2,3,...n) , взятые из данной таблицы 4, получаем систему равенств

возможности малыми по абсолютной величине. Метод наименьших квадратов состоит в следующем: нужно подобрать коэффициенты a и b так, чтобы сумма квадратов уклонений (погрешностей), то есть

была наименьшей. Если эта сумма окажется достаточно малой, то и сами уклонения будут малыми по абсолютной величине.

Подставляя равенства (4.18) в формулу (4.17), получаем

u (ax1 d y1 )2 (ax2 b y2 )2 ... (axn b yn )2 . (4. 19)

Переменная величина u является функцией двух переменных a и b, которые подлежат определению.

Подберем параметры (неизвестные) a и b так, чтобы функция u получила наименьшее значение, то есть минимум. Для этого необходимо, чтобы ее частные производные равнялись нулю:

u 0, u 0.

x y

Находя частные производные функции u по a è b и приравнивая их к нулю, получаем следующую систему уравнений:

из которой определяют параметры a и b эмпирической формулы (4. 15) и подставляют их в формулу (4.20).

§ 5. Функции нескольких переменных в экономике

Рассмотрим некоторые приложения функций нескольких переменных в экономической теории.

68

Значительная часть экономических механизмов иллюстрируется на рисунках, изображающих линии уровня функции двух переменных z f (x.y) .

y

факторов x и y . На рис. 4.5 линии уровня f (x, y) Q изображены сплошными

линиями, а штриховкой выделена так называемая экономическая область, которая характеризуется тем, что высекаемые ею части изоквант представляют собой графики убывающих функций, т. е. увеличение количества одного фактора позволяет уменьшить количество другого, не меняя размера выпуска. Иными словами, экономическая область – это множество значений факторов, допускающих замещение одного из них другим.

Очевидно, что все «разумные» значения x и y принадлежат экономиче-

ской области.

Изокванты позволяют геометрически иллюстрировать решение задачи об

оптимальном распределении ресурсов.

Линии уровня функции полезности, называемые кривыми безразличия,

также позволяют рассматривать вопросы замещения одного товара другим и иллюстрировать решение задачи об оптимальном потреблении.

Понятие частной производной также находит применение в экономической теории. Ранее было введено понятие эластичности функции одной переменной Ex ( y) . Аналогично можно ввести понятие частной эластичности

функции нескольких переменных z f (x1, x2 ,...xn ) относительно переменной xi :

69

Так, например, в производственной функции Кобба-Дугласа z b0 xb1 yb2 , как легко убедиться, Ex (z) b1, Ey (z) b2 , т. е. показатели b1 и b2 приближенно

показывают, на сколько процентов изменится выпуск продукции при изменении только затрат труда x или только объема производственных фондов y на 1 %.

ПРИЛОЖЕНИЕ § 6. Производная функции по направлению в скалярном поле

Рассмотрим функцию u F(x, y, z) , определенную и дифференцируемую в некоторой области D . Возьмем точку M (x, y, z) в этой области и про-

ведём вектор l , выходящий из этой точки MN l , образующий с координатными осями углы , . соответственно. Пусть точка N имеет координаты

N(x x, y y, z z) .

Назовем приращением этой функции в направлении l разность

u F(x x, y y, z z) F(x, y, z) .

Определение. Производной функции u F(x, y, z) по направлению l

Производная функции по направлению равна сумме произведений её ча-

стных производных на направляющие косинусы.

Замечание. Для плоского поля, т. е. для функции двух переменных z f (x, y) формула (4.22) принимает более простой вид.

Так как cos cos( 2 ) sin , то

где i 0,i 1,2,3 при x 0, y 0, z 0 .

70